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Groupe des inversibles de Z/mZ

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  posté le 09/05/2008 à 16:10Groupe des inversibles de Z/mZ
 posté par :  Camélia (Correcteur)
Pour tout entier strictement positif m, on note G(m) le groupe multiplicatif de l'anneau .

1) (facile) Montrer que si la décomposition en facteurs premiers de m est  le groupe G(m) est isomorphe à 

2) (moins facile) Montrer que si p est premier impair, le groupe G(pn) est cyclique pour tout n.

3) a) (facile) Décrire G(2), G(4) et G(8)

b) (pas si facile que ça). Soit n > 3. Montrer que G(2n) est isomorphe au produit d'un groupe d'ordre 2 et d'un groupe cyclique.
  posté le 09/05/2008 à 18:44re : Groupe des inversibles de Z/mZ
posté par : 1 Schumi 1
Bonsoir Camélia, 

Il y avait longtemps...  Je me demandais quand on y aurait droit... 

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1) Théorème chinois ou un truc du genre. Bref, c'est du cours...

2) On sait que le groupe multiplicatif de Fp est cyclique. On note g un générateur.

On revient au cas général. Pour G(p^n), on considère gn(1+p). Sauf erreur il convient... (sans grande conviction, prière de ne pas fusiller en cas d'ânneries ).

Ayoub.
  posté le 10/05/2008 à 09:48re : Groupe des inversibles de Z/mZ
posté par : 1 Schumi 1
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2 )Erratum :

Ce n'est pas  qu'il faut considérer mais . Erreur de frappe... 

3) a) G(2) ne possède qu'un élément 1.

G(4) possède 2 éléments: 1 et 3.

G(8) possède 4 éléments: 1,3,5 et 7.

b) Faut que je réfléchisse là... 
  posté le 10/05/2008 à 15:05re : Groupe des inversibles de Z/mZ
posté par :  Camélia (Correcteur)
Salut Ayoub. Continue... 

citation :
Moi, je crois avoir un générateur sans utiliser le fait que c'est cyclique pour n=1; je vérifierai le tien...
  posté le 10/05/2008 à 15:17re : Groupe des inversibles de Z/mZ
posté par : 1 Schumi 1
Salut Camélia, 

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Ah oups alors... Le mien est à prendre avec des pincettes, je ne garantis rien.

Le 3 b)... faudra nous laisser un peu de temps par contre... 

  posté le 11/05/2008 à 17:16re : Groupe des inversibles de Z/mZ
posté par : 1 Schumi 1
Fin de l'histoire...

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3 b) On remarque que G(2)={1}, G(4)=Z/2Z, G(8)=Z/2Z * Z/2Z.

On peut donc conjecturer et on aura raison de le faire: G(2r)=Z/2Z* Z/2r-1Z. Sauf erreur... 

Je reviens par contre sur la 2). Il me semble qu'en fait on ait même pas besoin d'exhiber de générateur... En fait, il me semble (mais j'ai pas vérifié si toutes les hyp étaient réunies) que la démo de Fp* est cyclique est complètement adaptable à ce problème. Je parle de la démo classique, celle qui utilise phi l'indicatrice d'Euler. Faudrait que je vérifie ça bien mais à première vue je dirai qu'on peut le faire.

  posté le 12/05/2008 à 14:10re : Groupe des inversibles de Z/mZ
posté par :  Camélia (Correcteur)
>Ayoub

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C'est ça, conjecture, puis démontre... (Indication: regarde la classe de 5)
   posté le 12/05/2008 à 15:23re : Groupe des inversibles de Z/mZ
posté par : 1 Schumi 1
Camélia >>

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Ok, merci de confirmer.  Je vais essayer de démontrer maintenant.

citation :
Moi, je crois avoir un générateur sans utiliser le fait que c'est cyclique pour n=1; je vérifierai le tien...

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