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réflexion du plan (leçon 38 oral capes)

Posté par
orelo 04-06-08 à 22:08

Bonjour,

je cherche en vain une démonstration de la proposition:

"les réflexions du plan inversent les angles orientés"

Ceci connaissant seulement la définition d'une réflexion d'axe D ( MM' = 2 MH  (en vecteurs...) où H est le projeté de M sur D ) et à la limite on peut montrer assez vite qu'une réflexion est une isométrie ( donc affine, conservation des barycentres, du rapport de mesure, des angles non orientés...), et quelques propriétés sur les angles orientés (Chasles...)

Cette démonstration concerne la leçon 38 de l'oral du capes, j'ai vu une démonstration qui revient régulièrement sur plusieurs leçons trouvées sur internet mais je ne sais pas si elle est vraiment valable... mais je me suis peut être trompé...

Merci et bonne préparation pour ceux qui passent l'oral prochainement...

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 14:40

bon j'ai l'impression que ce post a fait un bide, est-ce que quelqu'un aurait la moindre idée, ou un avis sur la question ?

Posté par
Nightmarere : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 14:46

Bonjour,

peut-on parler de déterminant?

Posté par
io re : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 14:52

Avez-vous essayer au moyen de calculs avec les nombres complexes ? Cf livre spé maths terminal. Bonnes révisions...

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 14:52

j'essaie d'éviter le chemin analytique, mais s'il n'y a que cette solution je suis preneur, mais les notions d'antidéplacement et de déplacement sont limites à ce niveau là...

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 14:55

pour les complexes c'est trop... complexe pour cette leçon... vu que la leçon ne considère de connu que les projections orthogonales du plan, le theoreme de pythagore, thales pourquoi pas, et le calcul vectoriel (chasles pour vecteurs et angles orientés). les complexes seraient hors sujet.

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 14:56

et les fonctions affines avec application vectorielle associée

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 15:54

à priori c'est pas évident, en utilisant le sinus , montrer sin(A'B', A'C')= - sin(AB, AC) en utilisant le déterminant et les expressions analytiques des vecteurs serait le plus simple.

C'est ce que tu voulais faire Nightmare ?

Posté par
Nightmarere : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:06

Voici comment je ferais vu qu'on a le droit aux applications affines et aux applications vectorielles associées.

Soit f une reflexion.

On veut montrer que 3$\rm (\vec{f}(\vec{u}),\vec{f}(\vec{v}))=(\vec{u},\vec{v})[2\pi]

Si l'on calcule le produit scalaire, en utilisant Al-Kashi et la conservation de la norme:
3$\rm \vec{f}(\vec{u})\cdot \vec{f}(\vec{v})=\frac{1}{2}\(||\vec{f}(\vec{u})+\vec{f}(\vec{v}\)||^{2}-||\vec{f}(\vec{u})||^{2}-||\vec{f}(\vec{v})||^{2}\)=\(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||-||\vec{v}||^{2}\)=\vec{u}\cdot\vec{v}

Mais 3$\rm \vec{f}(\vec{u})\cdot\vec{f}(\vec{v})=||\vec{u}||.||\vec{v}||cos(\vec{f}(\vec{u}),\vec{f}(\vec{v}))

On en déduit que 3$\rm cos(\vec{f}(\vec{u}),\vec{f}(\vec{v}))=cos(\vec{u},\vec{v})

Ensuite on sait qu'une reflexion est indirecte, donc de déterminant négatif et 3$\rm \det\;_{B}(\vec{f}(\vec{u}),\vec{f}(\vec{v}))=\det(\vec{f})\det\;_{B}(\vec{u},\vec{v}) avec B la base dans laquelle on travaille.

Par conséquent 3$\rm \det\;_{B}(\vec{f}(\vec{u}),\vec{f}(\vec{v})) et 3$\rm \det\;_ {B}(\vec{u},\vec{v}) sont de signe contraire et il en va de même pour 3$\rm sin(\vec{f}(\vec{u}),\vec{f}(\vec{v}) et 3$\rm sin(\vec{u},\vec{v}) CQFD

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:09

une réflexion est indirecte, le déterminant est négatif donc les sinus sont opposés donc les angles aussi

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:11

ça marche, le seul soucis c'est que je dois démontrer qu'une réflexion est indirecte (dans le plan)

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:14

joli tour de magie dis donc !

Posté par
Nightmarere : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:15

Une reflexion n'est rien d'autre qu'une symétrie, montrer qu'une symétrie est indirecte n'est pas compliqué.

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:16

en montrant que le determinant de la matrice est égal à -1...
c'est vrai

Posté par
Nightmarere : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:18

Oui par exemple

Posté par
orelore : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:20

ok, je retiens la démo, j'aurais aimé trouver une démo avec moins d'outils mais je ne pense pas que ce soit faisable  en fait, ce qui est surprenant pour un résultat aussi classique...

En tout cas merci beaucoup pour ton aide !

Posté par
Nightmarere : réflexion du plan (leçon 38 oral capes) 05-06-08 à 16:21

Je t'en prie


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