Posté par
watik watikOK Jamo
Mais je présente qq indications pour les solutions.
Exo 3
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Proposition 1: Juste
y=2(1-e^-x) donc y(0)=0 et la tangente à Cf en 0 est
y/x=y'(0)=-y(0)+2=2 donc y=2x
Proposition 2: fausse
considéré A=1 et f(x)=1/x et g(x)=x sur [1,+oo[
on a f(x)g(x)=1 et limf(x)=0
Proposition 4: juste
les événements A et B sont indépendants donc P(AetB)=0
comme P(AUB)=p(A)+p(B)-p(AetB)
donc p(AUB)=p(A)+p(B)=0,4+0,4=0,8
Exo3 : Spécialité
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Proposition 1: Vraie
car (2n+1)-2n=1 et d'après Besout donc n et 2n+1 sont premiers entre eux
Proposition 2 fausse
déjà postée
proposition 3: Vraie
N=1000a+100b+10a+7
10=3 (7)
100=2 (7)
1000= 6 (7)
donc
N=6a+2b+3a (7)
=2(a+b) (7)
7 divise N donc 7divise 2(a+b) donc 7 divise (a+b) d'après Th Gauss car 7 et 2 sont premiers entre eux
Proposition 4 fausse
s(1-i)=(V3+i)(1-i)+V3-iV3
=V3-iV3+i+1+V3-iV3=(1+2V3)+i(1-2V3) différent de 1-i
donc 1-i ne serait pas point fixe
Proposition 5: Vraie
la symétrie d'axe (O,u) est celle qui transforme z en zbarre
la symétrie de centre A est celle qui transforme z en sA(z) telle que A est le milieu de [MsA(M)] donc:
a=(z+sA(z))/2 donc sA(z)=2a-z
et s(z)=z* ; z*=zbarre
donc
sosA(z)=(2a-z)*=2a*-z*
sAos(z)=2a-z*
sosA(z)=sAos(z) ssi 2a*-z*=2a-z*
ssi a*=a
ssi a est réel
Exo4
Partie A
considère la fonction h(x)=g(x)-f(x)
alpha=1 et Béta=-1
d'après le propriété 2 :
Int(aàb)h(x)dx=Int(aàb)g(x)dx-Int(aàb)f(x)ds
comme h(x)>=0 donc d'après le première propriété:
Int(aàb)h(x)dx>=0
donc Int(aàb)g(x)dx-Int(aàb)f(x)dx>=0
d'où le résultat
PartieB
f(x)=x+Ln(1+e^-x)
f est définie sur R en particulier sur [0,+oo[
f est dérivable sur R+ et
f'(x)=1-e^-x/(1+e^-x)
=(1+e^-x-e^-x)/(1+e^-x)
=1/(1+e^-x)
donc f'(x)>0 sur R+ donc f est strictement croissante sur R+
f(0)=Ln2>0
x>=0 ==> f(x)>=f(0) ; car f est st croissante
==> f(x)>Ln2>0 donc f est positive sur R+
2a) f(x)-x=ln(1+e^-x)
lim(1+e^-x)=1 en +oo
donc
lim Ln(1+e^-x)=0 sur +oo
donc y=x est assymptote à C en +oo
b)f(x)-x=Ln(1+e^-x)
1+e^-x>1 donc Ln(1+e^-x)>0 ; car la fonction Ln est st croissante sur R*+
donc
C est "au-dessus" de D sur R+
3)
I=Int(0à1)Ln(1+e^-x) et
a ) I est l'aire comprise entre C, D, la droite x=0 et la droite x=1
b)
Pour u>=0 alors 1/(1+u)<=1
d'après Partie A (a=0 et b=t) donc Int(0àt)(du/(1+u)) <= Int(0àt)(du)
donc
Ln(1+t)<=t
en résumé pour t>=0 t/(1+t)<=Ln(1+t)<=t
c) en prenant t=e^-x>0 on a d'après b)
e^-x/(1+e^-x)<=Ln(1+e^-x)<=e^-x
d) d'après partie A:
Int(0à1)[e^-xdx/(1+e^-x)]<=Int(0à1)Ln(1+e^-x)dx<=Int(0à1)e^-xdx
comme
e^-x= - (1+e^-x)'
donc
[-Ln(1+e^-x)](0à1)<=I<=(-e^-x)(0à1)
Ln2-Ln(1+e-1)<=I<=1-e^-1
Ln(2/(1+e-1)<=I<=1-e^-1
e) c'est du calcil
4) MN=f(x)-x =Ln(1+e^-x)<=0,05/2=0,025
1+e-x<=exp(0,025)
e-x<=exp(0,025)-1
-x<=Ln(exp(0,025)-1)
x>=Ln(1/(exp(0,025) -1))
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voila