prodiut scalaire et diagonalisation

Posté par tyrael tyrael

bonjour j'ai un exercice que je n'arrive pas a finir. voila mon sujet:
soit a un vecteur d'n espace vectoriel euclidien E et un reel. on considere f(x)=x + <x,a>.a.
on me demande si cette aplication est diagonalisable.

Posté par tyrael tyrael

pour ma part j'ai considerer le cas ou =0  cas trivial puis le cas ou 0. mais dans se cas je trouve qu'un vecteur propre a de valeur propre associe 1

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Sauf erreur, est la projection orthogonale sur qui est donc diagonalisable (Dans une bonne base B,

Par chance, l'identité commute avec cette projection. Ils sont donc simultanément diagonalisables. Leur somme est donc diagonalisable.

Posté par Nightmare Nightmare

Bon j'ai le petit facteur d'oublié mais il ne change rien à la diagonalisabilité.

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour

L'espace euclidien est-il réputé de dimension finie?

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Jeanseb > Un espace Euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie non?

Posté par jeanseb jeanseb

Oui!

Posté par Nightmare Nightmare

Sinon, peut être plus naturel : Cet endomorphisme est symétrique réel donc diagonalisable. (Théorème spectral)

Posté par orelo orelo

salut,

juste un détail qui ne change rien à l'exercice mais, pour l'expression de la projection, est-ce qu'il faut diviser par llall² ? j'ai un doute, je sais pas comment le retrouver...

Posté par Nightmare Nightmare

Si effectivement mais ça ne change rien à la diagonalisabilité

Posté par Nightmare Nightmare

De toute façon je crois que la preuve avec le théorème spectral est mieux car la diagonalisation simultanée je ne crois pas que ce soit censé être dans les propriétés connues en spé.

Posté par jeanseb jeanseb

Bonsoir



Si a est non nul, on peut le compléter en une base de E (...puisque la dimension est finie )

On peut même construire une base orthonormale, de premier vecteur a.

L'image de a est a (1+ ||a||²)

Les autres vecteurs étant orthogonaux à a, leur image par p est 0 et leur image par f est eux-même.

On a donc trouvé une base de vecteurs propres. C'est une CNS de diagonalisabilité, vue en spé.

Posté par orelo orelo

bonsoir

d'ailleurs la matrice de f dans la base créée est directement diagonale

Posté par jeanseb jeanseb

Voui, mais c'est justement pour ne pas parler de matrice que je suis passé par la base. Par exemple, ce type de démonstration marche même en dimension dénombrable.

ex: l'endomorphisme de R[X] : P(X) ----> X P'(X)  est diagonalisable, car la base constituée par les Xⁿ est une base de vecteurs propres.

Posté par orelo orelo

d'accord, autant pour moi... merci pour ces explications

Posté par tyrael tyrael

:merci beaucoup pour toute vos explications mais cela me semble surtout etre des th de spé en tout cas des th que je ne connais pas et je suis en sup. donc je ne compte pas repondre a vec de th non vue en cours.
pour ma aprt je comptais chercher des valeurs propres et puis determiner la dimension de leur ensemble associee ( ker(f- id) etant une valeur propre.)

donc dans le cas ou x=a on a pour valeur propre (1+ ||a||²)
deplus tout vecteur othogonal à a est une vecteur propre.  maintenant ils ne me reste plus qu'a montrer que si l'on note n la dim de E alors il y a n vecteur. mais je trouve pas cela facil. donc si qqun pouvais m'aider.( je pense avoir une idée mais je prefere pas l'ecrire si c'est totalement faux)

Posté par Nightmare Nightmare

Euh, depuis quand on voit la diagonalisation en sup?

Posté par monrow monrow

Salut

Pour montrer qu'un projecteur est diagonalisable sans avoir recours à la diagonalisation simultanée ou au endomorphismes symétriques, on peut remarquer que 0 et 1 sont ses seuls vap associées respectivement au Ker et à l'image. Or ces deux espaces sont supplémentaires pour une projection donc il est diagonalisable

Posté par tyrael tyrael

depuis que ma super prof enseigne...
non mais pour en revenir a ce que je comptait faire : je comptais considerer  le sev A=vect(a) puis son orthogonal que je note B comme on est en dim finie ils sont tous de dim finie et donc par un th de cour on a que A et B sont supplementaire dans E.
ainsi dim (B)=n-1
ensuite en notant C=(c1,.....cn-1) une base de E ils sont tous vecteur propres de E
ainsi on a n vecteur propre f est diagonalisable.
bon je suppose que la fin est tres mal fait  mais voila mon idée

Posté par tyrael tyrael

je vois pas comment 0 peut etre valeur propre puis que les vecteurs prores sont tous non nul

Posté par Nightmare Nightmare

Monrow > Pour montrer qu'un projecteur est diagonalisable je ne suis pas passé par la diagonalisation simultanée ni les endomorphismes symétriques, ça c'était pour f tout entier (qui n'est pas un projecteur).

Mais pour montrer qu'un projecteur est diagonalisable, il est quand même plus simple de compléter une base de Im(p) avec une base de Ker(p) et de dire que dans cette base, la matrice de p est diagonale (celle que j'ai écrite plus haut)

Posté par monrow monrow

Désolé Jord, j'ai lu en diagonale

Posté par Nightmare Nightmare

Pas de problème

Posté par Nightmare Nightmare

tyrael > La solution de jeanseb est simple et limpide.

Posté par tyrael tyrael

en meme temps en faite c'est la meme chose que ce que j'ai fait j'ai juste preciser en plus qu'il y avait n vecteur au total. main bon tu (ou vous) as raison c bien plus claire que ce que j'ai ecris....  mais bon monroe a parler de la valeur propre nul je n'arrive pas a voire qu'elle sont les vecteurs qui lui sont associés si quelqu'un pouvais juste me donner un exemple pour que je puisse voire mieu. merci d'avance

Posté par Nightmare Nightmare

Monrow parlait d'une projection.