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Calcul d'intégrales+théorème des résidus

Posté par
paulinette 07-06-08 à 11:10

Bonjour,
Voici des intégrales que j'aimerais calculer. Pouvez vous me dire si ma méthode est la bonne ou si je pars dans une fausse direction.
\int_{\partial D_{8}(0)}\frac{1}{1-\cos z}dz
\int_{\partial D_{8}(0)}\frac{z-\frac{\pi}{2}}{1-\sin z}dz
\int_{\partial D_{8}(0)}\frac{1+z}{1-\exp z}dz
J'ai pensé au théorème des résidus dans D8(0), chaque intégrale vaut alors 2iRes(f,a), où a est un point qui pose problème.
Seulement je ne suis pas sure qu'il faille utiliser ce théoreme. Et comment calculer les résidus? Faut il faire un DL au point ou une autre méthode plus simple?
Merci pour vos réponses

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul d'intégrales+théorème des résidus 07-06-08 à 14:44

Bonjour

D8(0) est-ce le disque de centre 0 et de rayon 8?

Si oui, le théorème des résidus est adapté. Pour calculer un résidu, il faut en général faire un développement en série de Laurent. Dans le cas d'un pôle simple, on peut aussi utiliser le fait que si f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} avec g(a)0 et a zéro simple de h, on peut écrire h(z)=(z-a)k(z) avec k(a)=h'(a)\neq 0. Pour un pôle simple, on a
res(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=\lim_{z\to a}\frac{g(z)}{k(z)}=\frac{g(a)}{h'(a)}

Posté par
paulinettere : Calcul d'intégrales+théorème des résidus 07-06-08 à 20:10

Oui, c'est bien le disque de centre 0 et de rayon 8.
Pour la premiere, je n'arrive pas à calculer le résidu en 2. Pouvez-vous m'indiquer comment procéder s'il vous plait?


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