Calcul d'intégrales+théorème des résidus

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Calcul d'intégrales+théorème des résidus

Posté le 07-06-08 à 11:10

Posté par paulinette

Bonjour,
Voici des intégrales que j'aimerais calculer. Pouvez vous me dire si ma méthode est la bonne ou si je pars dans une fausse direction.
$\int_{\partial D_{8}(0)}\frac{1}{1-\cos z}dz$
$\int_{\partial D_{8}(0)}\frac{z-\frac{\pi}{2}}{1-\sin z}dz$
$\int_{\partial D_{8}(0)}\frac{1+z}{1-\exp z}dz$
J'ai pensé au théorème des résidus dans D₈(0), chaque intégrale vaut alors 2i

Res(f,a), où a est un point qui pose problème.
Seulement je ne suis pas sure qu'il faille utiliser ce théoreme. Et comment calculer les résidus? Faut il faire un DL au point ou une autre méthode plus simple?
Merci pour vos réponses

re : Calcul d'intégrales+théorème des résidus

Posté le 07-06-08 à 14:44

Posté par Camélia

Bonjour

D₈(0) est-ce le disque de centre 0 et de rayon 8?

Si oui, le théorème des résidus est adapté. Pour calculer un résidu, il faut en général faire un développement en série de Laurent. Dans le cas d'un pôle simple, on peut aussi utiliser le fait que si $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ avec g(a)

0 et a zéro simple de h, on peut écrire h(z)=(z-a)k(z) avec $k(a)=h'(a)\neq 0$ . Pour un pôle simple, on a
$res(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=\lim_{z\to a}\frac{g(z)}{k(z)}=\frac{g(a)}{h'(a)}$

re : Calcul d'intégrales+théorème des résidus

Posté le 07-06-08 à 20:10

Posté par paulinette

Oui, c'est bien le disque de centre 0 et de rayon 8.
Pour la premiere, je n'arrive pas à calculer le résidu en 2

. Pouvez-vous m'indiquer comment procéder s'il vous plait?

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