Forum : analyse :
Convergence d'une suite

Bonjour,

Je voulais savoir si, pour démontrer que la suite suivante est convergente,



on peut utiliser les séries numériques ?
Parce qu'en fait, je ne vois pas trop si, dans ce cas, qu'elle serait la suite des sommes partielles pour cette série...

Merci d'avance pour votre aide.

Salut

Juste une idée : tu peux montrer que la suite est décroissante et minorée.

Salut

Gui_tou > elle converge ?

J'ai rien dit, je retourne me coucher

salut FF

vi vi vers zeta(1/2) selon maple

zeta ?

Bonjour Madcs

Tu dois montrer que u(n) converge ou tu dois trouver la limite ?

Parce que si tu veux seulement montrer que u(n) converge, je te conseil de former :

u(n+1) - u(n) et d'en chercher un équivalent en +oo

Car si (u(n+1) - u(n)) converge alors u(n) converge (il y a équivalence).

A bientôt

Je dois juste montrer que la suite u converge.

Merci pour cette idée, mais si j'obtiens un équivalent de u(n+1)-u(n), cela signifie que la série (u(n+1)+u(n)) converge ?

Si tu as    et   converge alors   converge,  donc la suite converge.

D'accord.
Donc une fois un équivalent trouvé, il faut que je démontre que ça converge.
Merci.

Non mais tu risque de trouver un truc du genre :

u(n+1) - u(n) ~ A/n^p avec p > 1

Et tu pouras alors conclure en n'oubliant pas de dire que u(n+1) - u(n) est de signe constant pour tout n.

oK ?

gui_tou > (bonjour au passage)

Il faut de plus s'assure dans le théorème que les séries sont à termes positifs (ou négatifs).

Madcs >

Je trouve :

u(n+1) - u(n) = O(1/n^3/2)   grand O

Donc (u(n+1) - u(n)) converge absolument donc converge d'après ce que l'on a dit.

A bientôt

Salut lyonnais

Arf effectivement Merci!

Salut lyonnais !

Qu'est-ce qui t'as fait penser à cette caractérisation pour montrer la convergence ?

Gui_tou >> ta méthode a abouti ?

Bonjour FF

On en a fait plein des comme ça cette année, donc je commence à avoir le coup de main.

J'ai d'abord essayé les sommes de Riemann en écrivant :



Avec :



Donc j'ai vu qu'il fallait pousser le développement plus loin.

Sinon on peut retrouver le résultat de Gui_tou

On a :



Par application du théorème de sommation des relations de Comparaisons, on a :



Avec par comparaison avec une intégrale,



D'où :



Sauf erreur

Ok, c'est la majoration classique du reste de la série.

Merci lyonnais !

Bonjour tout le monde !

Le résultat fourni par Maple est par contre étonnant.
Quelqu'un a une idée pour le démontrer ? (même si cela dépasse très probablement mes capacités, car je n'ai pas fait d'analyse complexe )

Re

Le résultat semble bizarre à vrai dire.

Si c'est zéta(1/2) ça diverge par contre si c'est gamma(1/2) = sqrt(Pi) ça converge bien.

Auncune idée de comment on trouve cela.

C'est un peut comme avec lorsque l'on considère :

v(n) = 1/1 + ... + 1/n - ln(n)

lim v(n) = -gamma  mais on ne peut pas donner la valeur exacte ...

A voir.

zeta(1/2) peut-etre défini par extension de la fonction zeta en une fonction analytique sur le plan complexe privé de 1. Donc, zeta(1/2) est bien défini.
Mais cette définition fait appel a beaucoup trop de connaissances pour moi (je crois que on exprime zeta(1-s) en fonction de zeta(s), et d'autres facteurs, comme la fonction gamma)

Re Bonjour,

Lyonnais, peux-tu m'expliquer comment tu trouves que :

u(n+1) - u(n) équivaut au voisinnage de + à -1/(2n^(3/2)) ?

Merci.

Re

Il faut que tu fasses un développement asymptotique :

u(n+1) - u(n) = 1/(n+1)^1/2 - 2.(n+1)^1/2 + 2n^1/2

u(n+1) - u(n) = (1/n^1/2).(1+1/n)^-1/2 - 2n^1/2.[(1+1/n)^1/2-1]

u(n+1) - u(n) = (1/n^1/2).[1-(1/(2n))+o(1/n)] - 2n^1/2.[1+(1/(2n))+o(1/n)-1]

u(n+1) - u(n) = -1/(2n^3/2) + o(1/n^3/2)

Ok ?

OK merci beaucoup!

Et par contre je ne vois pas trop comment tu as utilisé le théorème de sommation des relations de Comparaisons dans ton message de 13h01...

Et en fait dans ta dernière ligne, ça serait pas petit o de (1/n) ?

Tu crois que ça marche si je dis (avec ce que tu disais au début) que comme u_n+1 - u_n est équivalent à -1/(2n^3/2), et que -1/(2n^3/2) converge vers 0 en +, alors la série des u_n+1 - u_n converge, donc la suite (u_n)_n converge aussi ?

?

Bonjour à tous.

Quelques indications sur une démonstration de l'égalité:



Je rappelle d'abord que, pour s>1:



On peut démontrer que, pour s>1:



Cette formule permet de définir la fonction zeta pour s>0. On a donc, pour s=1/2:



Or:



Or, grâce à Lyonnais, on a démontré que:

      avec L réel

Donc, en passant à la limite dans l'égalité que j'ai écrite 3 lignes plus haut:



Voilà. La démonstration est terminée.

Merci perroquet

Ca reste accessible pour moi

Félicitations perroquet

Très belle démonstration !

A bientôt