Forum : capes :
arithmétique

Bonjour je travaille sur l'oral2 d'arithmétique de 2007 et je ne sais absolument pas faire l'exercice pourriez vous m'aider? Je bloque toute les question sauf l'implication facile de la question 1.

On se propose d'étudier l'existence des solutions (x; y) dans N² de l'équation (E) : x2-y2 = n, où n est un entier naturel non nul.
1) a) Montrer que (E) admet au moins une solution si et seulement s'il existe deux
entiers naturels p et q de même parité tels que n = pq (on pourra utiliser
l'identité x²-y² = (x + y)(x - y)).
b) En déduire que si n est un entier impair, (E) admet au moins une solution.
2) Montrer que n est un nombre premier impair si et seulement si le couple ((n+1)/2;(n-1)/2) est l'unique solution de (E).

Bonjour,

Pour la b) (et aussi pour la 2): avec impair,  

la b je lai fai en posant x=k+1  et y= k on tombe sur x²-y²=2k+1 donc c'est un nombre impair je ne vois pas ce que ça donne n=1xn?

Si est impair, avec impair et impair

Donc, d' après 1)a), (E) a au moins une solution...

Ok et pour la 1 comment on fait pour l'implication non triviale?

Et je vois pas comment ce que tu me dis répond a la 2?

Tu peux procéder par équivalence:

le système équivalent à ton équation de départ:

  n' a de solutions que si et ont même parité. La somme et la différence de 2 entiers de parités différentes sont impaires.

C'est la réponse a quel question ça? Si ça t'embète pas tu veux pas me détaillé la réponse de chacune des 3 questions car je suis perdu la?

2) premier impair donc la seule décomposition pour en un produit de deux entiers est où est impair.

Il en résulte que l' équation est équivalente à: qui a pour solution unique et

oui mais dire que (x-y)(x+y)=nX1 pourquoi c'est équivalent a x+y=n    x-y=1  car par exemple si on di que 12X1=6X2 c'est pas pour sa que 12=6 et 2=1?

Plus exactement pour la 1)a):

E admet au moins une solution il existe et tels que et et ont même parité.

La réciproque est immédiate.

Es-tu d' accord ?

Pour ta remarque de 19h36, n' oublie pas que dans la question 2) est premier impair donc que la seule décomposition en un produit de deux facteurs pour est

si n=pq avec n=(x-y)(x+y) on n' pas nécessairement x-y=p et x+y=q? je suis d'accord apres quand n est premier  mais dnas la 1a il n'est pas premier

Oui, j' étais un peu "rapide"   mais 19h52 répond à la question, non ?

non je ne suis pas d'accord c'est exactement ce que je dis c'est pas parce que 6X2=12X1 que necessairement les valeurs sont égales deux a deux

A 19h52, l' implication porte sur l' existence d' au moins un et un tels que...

  Ce n' est pas la même chose.

ce que tu écris est fau si n=pq et n=(x-y)(x+y) on a pas pas nécessairement p ou q égal a x-y et x+y c'est même faux dans le cas général. C'est la grosse erreur a évité d'ailleurs

Relis attentivement 19h52; ce n' est pas ce qui est écrit; il est question d' existence, rien de plus.