dévlopement limité ??!!

Posté par ma-t-h ma-t-h

quelle est la méthode la plus simple pour définir et expliquer a quelqu'un le développement limité merci ! d'avance j'essaye de le comprendre mais je trouve beaucoup de méthode d'explication !

Posté par Johnw Johnw

Salut,

le développement limité permet d'exprimer différemment une fonction sous la forme d'une somme de terme.
Ainsi tu peux dire que, par exemple, e^x= 1 + 1/x + 1/x² + 1/x³ + ...
Tu peux vérifier par toi-meme en utilisant une calculette graphique. Plus tu auras de terme plus tu seras proche de la realité.

Imaginons que tu as une fonction qui n'est pas dans un formulaire et que tu voudrais l'exprimer un peu plus simplement. Tu peux faire son developpement limité en utilisant la serie de Taylor:
f(x)= f(a) + (f'(a)/1!)x + (f''(a)/2!)x² + (f'''(a)/3!)x³ + ...

Ca peut etre utilise pour calculer certaines limites.

Donc finalement, si tu veux une image c'est comme si tu avais un chat et au lieu de dire "un chat", tu disais une bestiole a 4 pates avec des poiles qui... et plus tu mets d'adjectif plus tu t'approches de la definition du "chat".

Posté par Nightmare Nightmare

Bonjour,

Un développement limité au final c'est assez intuitif. On peut autour d'un point approcher une courbe par celle d'un polynôme. En fait, plus la fonction est "sympathique" autour de ce point(plus sa classe est importante), plus on peut obtenir une approximation précise de cette fonction par des polynômes.

Tout d'abord, pour une fonction simplement dérivable, le plus simple est de dire qu'autour d'un point, elle est quasiment égale à sa tangente. En fait, elle est égale à sa tangente plus un reste qui devient de plus en plus négligeable au fur et à mesure que l'on s'approche du point considérer.

On écrit alors par exemple au voisinage de 0 : où o(x) (le reste) est tel que

Voila pour une approche. Après tout ceci se définie rigoureusement, et on a des résultats assez beaux sur les développements limités (par exemple, une fonction qui admet un DL à l'ordre 1 est automatiquement dérivable, ce qui est pratique pour montrer qu'une fonction est dérivable en un point embêtant)

N'hésite pas si tu as d'autres questions.

Posté par Nightmare Nightmare

johnw : il vient d'où ton développement de exp(x) ? (Qui est d'une part faux, et d'autre part pas du tout un développement limité).

Posté par ma-t-h ma-t-h

très intéressant mais sa nous servira a quoi ? comme étant un résulta mathématique ou un outil??, une approche de fonction très compliquer par des fonctions plus simple?!  comme l'approche de fonction par des fonctions escalier sauf que la elle ne sont pas exprimer sous forme de ^^ merci je comprend un peu mieux j'aime comprendre l'idée de chaque résulta ou outil mathématique avant de le travailler en vigueur

Posté par Johnw Johnw

Oui toutes mes excuses, je me suis trompé dans l'écriture du développement :/

e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...

Posté par simon92 simon92

ma-t-h >> ca sert a calculer des limites plus facilement entre autres, mais y'a surement plein d'autres applications...

Posté par Johnw Johnw

C'est un outil.

Comme je te l'ai dit, on peut l'utiliser lors de calcul de limite. On peut pas forcement dire que c'est une fonction compliquée qui devient une fonction simple. En general, le developpement est fastidieux et propice au erreur de calcul.

Personnellement, je l'ai utilisé tres rarement. Et dans ces peu de cas, se fut pour un calcul de limite.

Posté par ma-t-h ma-t-h

avant de connecter le développement limité il faudrait maitriser quelque chose ( une notion )?

Posté par Nightmare Nightmare

ma-t-h > On vit quand même dans un monde d'optimisation, lorsqu'on ne peut pas avoir de résultat précis, on cherche à avoir la meilleure approximation possible.

Les développements limités sont très bien pour ça. Comme tu l'as dit, on peut approcher des fonctions compliquées par des fonctions beaucoup plus simples qui sont les polynômes.

Tu vas me dire " A quoi sert d'approcher l'exponentielle par un polynôme, l'exponentielle est déjà une fonction usuelle simple".

Eh bien, si je te demande de me donner une approximation à 10^-6 près de exp(0,2) à la main, comment fais-tu? Pas commode... par contre, en introduisant un développement de Taylor, là ça devient tout de suite plus simple!

Il n'y a pas vraiment de rapport avec les fonctions en escaliers. Effectivement, on peut approcher toute fonction continue par une suite de fonctions en escaliers, ça nous donne une idée globale de la fonction, mais lorsqu'on se rapproche d'un point, on est perdu.

Un développement limité a la particularité d'être local, et c'est souvent ce qui nous intéresse, avoir une idée locale d'une fonction, autour d'un point.

En fait, il faut se retirer vite de la tête que le monde des fonctions est merveilleux, qu'on peut les tracer, qu'on peut faire des tableaux de variation et que tout va bien... Lorsqu'on commence à appliquer les maths à haut niveau, par exemple en physique, on se retrouve vite confronté à des équations différentielles dont les solutions sont souvent très moche à voir et même souvent on ne sait même pas à quoi elle ressemble globalement. Par contre on peut se donner une bonne idée de leur tête en faisant des approximations.

Posté par ma-t-h ma-t-h

se comme pour la police un portrait robot d'un criminelle très moche lol ! tu ne connais pas son vrai visage mais tu as un portait qui lui ressemble ! un peu d'humour pour faire coller les idées !

Posté par Nightmare Nightmare

Oui, c'est tout à fait ça

Posté par Nightmare Nightmare

Bienvenu dans le monde du supérieur, où on commence à faire des trucs abstrait pour au final se rapproche des choses les plus concrètes