Enigmo 56 : La course de fourmis

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Une dernière petite énigme pource mois d'aout ...

Deux fourmis ont décidé de faire une course ; mais c'est bien connu, les fourmis sont sympathiques, donc elles ont décidé de finir ex-aequo.

On dispose d'un tronc de cône de révolution dont les rayons de bases sont dans un rapport de 2.

Les deux fourmis partent d'un même point situé sur le cercle de base le plus grand.
La 1ère fourmi fait simplement un tour de ce cercle (trajet rouge).
La 2ème fourmi monte sur le petit cercle le long d'une génératrice ; elle fait ensuite un tour de ce petit cercle, puis redescend le long de la même génératrice (trajet bleu).
On suppose que les deux fourmis se déplacent à la même vitesse qui reste constante.

Question : calculer la valeur de l'angle au sommet du cône pour que les deux trajets aient exactement la même longueur.
Je veux le résultat avec une précision au centième de degré par rapport à la valeur exacte.

Si vous pensez que le problème est impossible, vous répondrez "problème impossible", en me précisant pour quelle raison.

Bons calculs !

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Sauf erreur , je trouve un angle au sommet du cône de 37,12 ° (au centième de degré près).

Posté par Flo08 Flo08

Bonsoir  



On pose R le rayon du petit cercle de base. Le rayon du grand cercle de base est 2R.
On pose a la longueur de la portion de génératrice et le demi-angle au sommet du cône.  sin = R/a  
  a = R/sin.

La distance parcourue par la première fourmi (en rouge) est égale à 4R.
La distance parcourue par la seconde fourmi (en bleu) est 2R + 2a = 2R + 2R/sin

il faut donc résoudre l'équation suivante :











L'angle au sommet du cône est donc    

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

sachant que les points sont diamétralement opposés (tour complet),
ils forment avec le sommet du cône un triangle contenu dans un plan passant par le centre des bases du tronc de cône.

De l'argument d'égalité des fourmis, on tire que l'apothème vaut , ensuite dans un demi-triangle (rectangle), on a le demi-angle a=Arcsin()

Ainsi l'angle marqué vaut a=2Arcsin()37,12°.

PS: L'angle du patron du cône vaut lui °.

Merci pour l'Enigmo.

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
l'angle au sommet du cône est 37,12 degrés au centième de degré près.
si 1 est le rayon de la petite base
la moitié du trajet rouge est 2pi
la moitié du trajet bleu est pi + 1/(sinus de la moitié de l'angle)
la moitié de l'angle a pour sinus 1/pi et vaut 18,560745 degrés

Posté par Matouille2b Matouille2b

Bonjour

Modulo le théorème de Thales et un peu de trigo je trouve en notant l'angle au sommet :

° à près

Merci pour l'enigme ...

Posté par Arnaud0674 Arnaud0674

Je dirais que : =0.88(06) enfin tout dépend de la précision. J'espère ,que pour cette premiere vraie enigme, que mon résultat soit bon.

Posté par Nyavlys Nyavlys

Bonjour,

Soit le demi angle au somment, a le côté (pente) du cône complet, et r le rayon de la base du cône.

r = a sin

La première fourmi parcourt 2 r = 2 a sin
La seconde ....             a + a sin

En simplifiant on arrive à sin = 1

soit = Asin(1/) 18.56

d'où   = 2 =   37.12 degrés

Merci pour l'énigme

Posté par akub-bkub akub-bkub

Bonjour à tous,

La réponse que je propose est : 37,12°.

Démarche :
Trajet rouge = trajet bleu

...


Merci. Bien à vous.

Posté par veleda veleda

bonsoir Jamo
je n'ai pas eu le temps de beaucoup participer ce mois ci,je vais quand même répondre
soit r le rayon du cercle bleu
périmètre du cercle bleu  2r
périmètre du cercle rouge 4r

S


O____A


O'___H____B   0A=r=HB =

les trajets des deux fourmis ont la même longueur on doit donc avoir: 4r=2r+2AB
d'où
AB=r
r/AB=sin=1/=>=18,560degrés
l'angle au sommet du cône est égal à 2 il vaut donc 37,12degrés au centième de degré prés
merci pour ce dernier enigmo des vacances en espérant ne pas avoir fait d'étourderies

Posté par Poldenys Poldenys

Soient d le diamètre de la petite base et g la génératrice
Trajet de la 1ère fourmi : 2d
trajet de la 2ème fourmi : d + 2g
Je calcule g en fonction de d et de   angle au sommet du cône
sin(/2) = d/2g et donc 2g = d/sin(/2)
l'égalité des 2 trajets me donne  sin(/2) = 1/
1 solution entre 0 et : = 0,64789221 Radians soit 37,12 degrés

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour à tous,

ma réponse:  

avec l'accent ça donne 37,12 degrés

soit r le rayon du petit cercle,
son périmètre est 2r celui du grand cercle est le double
la différence entre les deux périmètres est le petit périmètre
la génératrice est parcourue 2 fois, sa longueur doit être la moitié du petit périmètre donc r
on détermine le demi-angle au sommet à partir de son sinus,
en remarquant que le cône est coupé à la moitié de sa hauteur:

pas si sympathiques que ça les fourmis, surtout les rouges !

Posté par Eric1 Eric1

je trouve 9,13° environ

Posté par jugo jugo

Bonjour,

Si a est l'angle du cône, r est le rayon "d'en haut" et x la longueur de la montée, il faut :

x + 2Πr = 4Πr
soit x = 2Πr

et comme sin(a/2) = r/x = 1/2Π, on tombe sur a = 2.Arcsin(1/2Π)

Ce qui donne un angle de 18.32°.

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonsoir,

La distance parcourue par la fourmi rouge en fonction de l'angle et de la demi génératrice d est : .

La distance parcourue par la fourmi bleue en fonction de l'angle et de la demi génératrice d est : .

Comme les vitesses des deux fourmis sont égales et constantes, et qu'elles arrivent en même temps, on a :

.

D'où :.

Comme le résultat est demandé au centième et en  degrés, cela donne :

Sauf erreur

Merci pour l'énigme

Posté par rogerd rogerd

Merci Jamo pour cette dernière énigme estivale.

Je trouve que le demi-angle au sommet du cône vérifie . J'en déduis

L'angle au sommet est donc égal à 37,12 degrés

Posté par kioups kioups

Je trouve un angle d'environ 37,12°.

Posté par marcv76 marcv76

Bonjour jamo et félicitations pour tes énigmes!!
L'angle "a" recherché est tel que :
sin(a/2)=(1/pi)
L'angle est donc :
a=37,12°

Posté par davidh davidh

Bonjour,

Si le cercle de base a un rayon R, le cercle du sommet du tronc de cône a un rayon R/2.

La fourmi rouge fait un trajet de longueur égale à 2R et la bleue doit donc en faire de même.

Le cercle parcourue par la bleue fait R et la portion de circuit rectiligne qu'elle parcourt deux fois doit donc faire R/2.

Coupons le tronc de cône par un plan médian. On a un trapèze dont la base fait 2R, le sommet R et les segments sur les cotés R/2.

Donc, le sinus de l'angle demandé est 1/.

Cet angle fait 18,56 degrés.

Merci pour l'énigme.

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

Soient le rayon de la base , la longueur d'une génératrice et l'angle au sommet.
Le trajet rouge vaut
Le trajet bleu vaut

On a donc:
Ce qui donne
On regarde ensuite le triangle rectangle d'hypoténuse passant par le sommet et le centre de la base.
On a la relation
Ce qui donne

L'angle au sommet vaut donc : _{arrondi au centième (18,31569...)}


Merci pour l'énigme.

Posté par infophile infophile

Bonjour

Je note une génératrice, le rayon de la grande base et l'angle recherché.

Dans le triangle rectangle formé par cette génératrice, la hauteur et le rayon de la grande base on a

Le périmètre du cercle de la grande base est et celui de la petite car les rayons sont en rapport de moitié.

On a donc l'égalité

D'où en simplifiant par : soit

Avec la précision demandée je trouve 37,12°.

Sans vérification, merci pour l'énigme

Posté par Judeau Judeau

La valeur de l'angle au sommet du cône pour que les deux trajets soient de même longueur est 37,12 degrés.

Merci pour l'énigme

Posté par totti1000 totti1000

Appelons R1 le petit rayon et R2 le grand rayon
Nous avons d'après l'énoncé : R2=2*R1
On appelle '' l'angle au sommet de la pyramide et h le 'coté' du solide.

En décomposant le trajet des 2 fourmis on obtient:
2R2=2R1+2h

soit h=(R2-R1)=R1

Avec le théorème de Thales et un peu de trigo, on établi:
h=R1/sin(/2)

d'où l'égalité : R1=R1/sin(/2)

et donc =2Arcsin(1/)
soit =37.12°

Posté par matovitch matovitch

Bonjour à tous !

Sauf erreur de calcul je trouve un angle tel que :

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

L'angle plan est égal à arrondi au centième de degré.

La valeur exacte est

Merci et A+, KiKo21.

Posté par jver jver

gentilles, les fourmis??? Quelle vision de la gentillesse!
18,56 degrés (= arcsin(1/pi))

Posté par eltrai eltrai

Pour que les deux trajets aient la même longueur, il faut que l'angle au sommet du cône ait pour valeur 79,08°

Merci pour l'énigme

Posté par gilles89 gilles89

Après une résolution théorique, on trouve pour l'angle au sommet:

=2arcsin(1/)


soit numériquement:
=37,12°

Posté par isisstruiss isisstruiss

Bonjour,

Je me demande pourquoi on donne une indication quant au rapport des rayons, le résultat est le même sans cette information.

Soir le grand rayon, le petit rayon, l'angle recherché.

Longueur du chemin rouge:


Longueur du chemin bleu:


Comme on a

d'où

degrés

Isis

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

L'angle au sommet vaut soit environ 37,12°

Merci pour l'énigme

Posté par torio torio

angle = 2*Asin(1/pi)=37.1214894338°

                   =37,12° (arrondi au centième)

A+
Torio

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

L' angle au sommet du cône est de 37,12°.

Posté par Tolokoban Tolokoban

Soit r le petit rayon et 2r le grand.
Le trajet aller-retour le long d'une génératrice est donc de :


Le sinus étant le côté opposé sur l'hypoténuse, on obtient :


D'où degrés

Posté par piepalm piepalm

si a est le demi angle du cône et r le rayon du petit cercle, donc 2r celui du grand, le trajet sur la génératrice a pour longueur r/sina donc r/sina+2pi*r=4pi*r et sina=1/2pi soit un demi-angle au sommet de 9,158° donc un angle au sommet de 18,32°

Posté par Kacs Kacs

Si on note l'angle au sommet du cône, alors la valeur exacte pour que les fourmis arrivent ex-aequo est .

En valeur approchée, cela donne degrés.

Posté par evariste evariste

angle au sommet :
sin(/2)= 1/
=37,12°

Posté par mitchXIV mitchXIV

bonjour,

l'angle du sommet du cône est 18,56°

A+

Posté par PIL PIL

Bonjour Jamo,

L'angle cherché vaut 37,12^o.  Partant de  2R = 2r + 2a  avec  R = 2r  et  a = r/sin(/2), on obtient sin(/2) = 1/ d'où .

Posté par yoyodada yoyodada

je dirais arcsin(1/pi) = 18,56 degrès.

Posté par yoyodada yoyodada

zut, j'ai donné la valeur de l'angle de demi-ouverture, et non l'angle au sommet... Ca donne donc une valeur de 37.12 degrés, et non 18.56...

Posté par geo3 geo3

Bonsoir

En partant de 2r + 2g₁ = 2R
avec R = g.sin( /2)  ,  r = g₂ sin (/2)  et  g - g₂ = g₁
il suffit de calculer 2.arcsin((1/ )  ce qui donne 0.6478922138 rad c-à-d
37°121489 soit
37,12°
A+

Posté par 1emeu 1emeu

Bonsoir,

Voici ma réponse :

il s'agit de résoudre le système suivant
4.Pi=l+2.Pi
sin(theta/2)=2/l

Je trouve un angle de 36.48 degrés

Merci pour l'énigme

1emeu

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Une même erreur a été faite plusieurs fois : certains ont oublié de multiplier par 2 leur résultat pour avoir l'angle au sommet du cône !!

Fin du suspens pour le mois d'aout : c'est donc Flo08 qui remporte haut la main ce mois, avec non seulement un sans-faute, mais aussi avec un temps moyen plutôt faible. Bravo !

Posté par Arnaud0674 Arnaud0674

Lol je savais que j'avais faux (j ai repondu trop vite) ^^ Je m'en souviendrais pour la prochaine Encore merci jamo pour cette énigme

Posté par Flo08 Flo08

Bonjour,

Et merci Jamo  
J'ai eu de la chance, pour une fois toutes les énigmes du mois étaient à ma portée
_{(j'ai quand-même failli me planter sur quelques-unes )}

Posté par lo5707 lo5707

bonjour,

est-ce que quelqu'un pourrait expliquer où est ma faute? tout comme celle de isiss et piepalm par exemple

merci

Posté par jamo jamo

lo5707 >> tu écris que la longueur du trajet bleu est de 2*PI*r+l, or c'est 2*PI*r+2*l !

Posté par Daniel62 Daniel62

toutes mes félicitations Flo  

Posté par Flo08 Flo08

Merci Daniel