fonction circulaire inverse

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fonction circulaire inverse

Posté le 30-08-08 à 21:25

Posté par moua93800

Bonjour j'ai un petit soucis avec une dérivé ma fonction se présente comme tel:

f(x)= arcsin[(2x)/(1+x²)] lors de la dérivé on obtient 2/(1+x²) et -2/(1+x²) ces deux valeurs en fonction de la valeur de "la valeur absolue" de x. Et je ne comprend pas pourquoi ces deux conditions?

Merci pour l'aide.

re : fonction circulaire inverse

Posté le 30-08-08 à 21:51

Posté par lafol

Bonjour
ça ne viendrait pas d'une simplification de racine de truc² par hasard ?

fonction circulaire inverse

Posté le 30-08-08 à 22:45

Posté par moua93800

c'est ce que je pense, mais en refaisant les calculs je ne vois pas d'où viendrait le moins.

re : fonction circulaire inverse

Posté le 31-08-08 à 03:00

Posté par PloufPlouf06

Bonsoir,

$f'(x)=\frac{2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2^}\times\frac1{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2^})^2}}$

$\Leftrightarrow f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2^}\times\frac1{\|\frac{x^2-1}{x^2+1}\|}$

$\Leftrightarrow f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)|x^2-1|}$ .

$\left{\rm x^2-1 \le 0 \Leftrightarrow |x^2-1|=1-x^2 \Leftrightarrow f'(x)=\frac2{1+x^2^}\\x^2-1 \ge 0 \Leftrightarrow |x^2-1|=x^2-1 \Leftrightarrow f'(x)=\frac{-2}{1+x^2}$ .

La condition naît dès lors que la valeur absolue apparaît c'est-à-dire lors du passage : $\sqrt{$\frac{x^2-1}{x^2+1}$^2}=\|\frac{x^2-1}{x^2+1}\|$

Sauf erreur

fonction circulaire inverse

Posté le 31-08-08 à 12:03

Posté par moua93800

ok merci je vois. Si à la place de x²-1 on aurait x²+1, est-ce que on se soucierait du signe comme-même étant donné que sa ne s'annule pas?

re : fonction circulaire inverse

Posté le 31-08-08 à 21:22

Posté par PloufPlouf06

Euh si on avait $x^2+1$ , ça ferait $\sqrt{$\frac{x^2+1}{x^2+1}$^2}=1$

re : fonction circulaire inverse

Posté le 31-08-08 à 23:54

Posté par lafol

à la base, ça vient de $4$ \sqrt{a^2}=|a|$ .

x²+1 étant toujours positif, la valeur absolue ne sert à rien, alors que 1-x² peut changer de signe ....

re : fonction circulaire inverse

Posté le 01-09-08 à 00:25

Posté par sloreviv

bonjour!rappel $\sin(x)={2t\over 1+t^2}$ avec $t=\tan({x\over 2})$
autre méthode:f est impaire ;calcul de f(x) si $x\geq 0$
poser $x=tan(\varphi);\varphi\in [0;{\pi\over 2}[$
$f(tan(\varphi))=Arcsin(sin(2\varphi))$
= $2\varphi$ ssi $\varphi\in ]0;{\pi\over 4}[\\$

$=\pi-2\varphi$ ssi $\varphi\in [{\pi\over 4};{\pi\over 2}[\\$
$f(x) =2\arctan (x)$ si $x\in [0;1]$

$f(x) =\pi-2\arctan (x)$ si $x\in [1;+\infty[$
donc f est non derivable en x=1, il y a une derivee à gauche et à droite .
et f'(x) c'est bien ca que vous avez trouvé.

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