Bonjour
La direction de la 1ère droite est donnée par (3,4,5)
celle  de la 2ème est (6,8,10) . Comme cette dernière est multiple de (3,4,5) c'est la même direction.
Pour chercher la distance il suffit de prendre 1 point de la 1ère A = (1,2,4) par ex. , de mener par ce point le plan perpendiculaire à la direction (3,4,5) qui est 3.(x-1) + 4.(y-2) + 5.(z-4) = 0 ( voir ta théorie) et de prendre son intersection avec la 2ème droite  x+8=6t , y+5=8t , z+6=10t (3)
*
résolvons ce système
=> 3.(6t-8-1) + 4.(8t-5-2) + 5.(10t-6-4) = 0
=> t = 105/100 ( sauf erreur ) ( à vérifier)
que tu remplaces dans (3) pour trouver le point B
Il reste à chercher la distance AB
A+

Bon sang, c'est un peu comme si j'avais passé une heure à chercher des clefs qui se trouvaient au fond de ma poche...

En ce qui concerne l'équation du plan passant par les deux droites, je trouve le résultat en utilisant le fait que la normale au plan recherché est produit du vecteur directeur d'une des droites et d'un quelconque vecteur reliant respectivement p1 de droite1 et p2 de droite2, avec p1 appartenant au plan.

ainsi, avec p1(1,2,4) p2(-8,-5,-6),
p1p2=u=(-9,-7,-10) et v=(3,4,5)
alors v x u = (1,3,-3) et pi: 1(x-1)+3(y-2)-3(z-4)=0.

Est-ce la bonne méthode, ou alors la aussi je passe à coté d'une résolution plus précise?

Bonjour
As-tu lu mon post de 8h32  oui non ??
Si l'on veut une équation du plan contenant les 2 droites on peut faire comme tu as fait et son équation est bien  1(x-1)+3(y-2)-3(z-4)=0. ( avec v x u = produit vectoriel )
et après ?
l'équation de pi ne sert à rien
que faire ?
comme dans mon post de 8h32
A+

Si si je l'ai bien lu et d'ailleurs j'ai mis quelques bonnes minutes pour me relever après cet uppercute infligé à mon amour porpre.... Mon second poste concernait la TROISIEME partie de l'énoncé, et je me demandais juste si la méthode que je décris est la plus "précise", je suis d'accord c'est un peu superflu mais visiblement d'avoir tellement tourné autour du pot au sujet de la distance j'en viens à ne plus distinguer mon pied gauche de mon oreille droite. Je voulais juste être sure de ne pas passer à coté d'un concept important.

En tout cas merci pour ton aide geo3

A+

Re
Une autre démarche consiste : à prendre 1 point de la 1ère droite A = ( 1,2,4) , 1 point B fixe de la 2ème droite B = (-8,-5,-6) , un autre point mobile de la 2ème droite C = (-8 + 6t, -5 + 8t , -6 + 10t)
Ensuite cherchons t tel que CA est perpendiculaire à BC
CA = (9 - 6t , 7 - 8t , 10 - 10t)
BC = (6t , 8t , 10t)
CA.BC = 0  <=> 54t -36t² + 56t - 64t² + 100t - 100t² = 0 <=>  t(210 - 200t) = 0
<=> t = 105/100  ( la valeur t = 0 correspond à B = C à rejeter évidemment )
qui est la même valeur du paramètre t ( cette valeur n'est pas sympa ni jolie )
Enfin cherchons  la distance AC pour voir si le résultat est gentil
C = (-8-630/100 , -5 + 840/100 , -6 + 1050/100 ) = (-8 + 63/10 , -5 + 84/10 , -6 + 105/10) = (-17/10 , 34/10 , 45/10)
AC² = ( 1 - 17/10 )² + ( 2 - 34/10 )² + ( 4 - 45/10)² = 49/100 + 196/100 + 25/100 = 270/100 = 27/10
AC = 3(3/10)  ( bouf il y a + joli )
A+