problème.

Posté par Bangs Bangs

Bonjour!

Je suis en train de faire un DM en maths, mais je bloque vraiment sur cette partie.

Alors voilà le problème:
Soit n un entier naturel non nul. On considère l'équation d'inconnue x, réel strictement inférieur à 1:
x est compris entre ]0;1[ : (X^n)+x-1=0

les questions sont les suivantes:
1) Résoudre l'équation lorsque n=1, puis lorsque n=2.
2) Démontrer que lorsque n=3, cette équation possède une unique solution dans ]0;1[
3) Démontrer que si n est quelconque, cette équation possède une unique solution appartenant à l'intervalle ]0;1[. On désigne par An cette solution.
4) On définit ainsi une suite de réels ( An)  (n supérieur ou égal à 1)
a) Démontrer que f(An) =n

J'espère que vous pourriez m'aider
Merci d'avance.

Posté par mperthuisot mperthuisot

c'est x^n ou X^n?
qu'est ce que tu n'as pas compris?

Posté par raymond raymond

Bonjour.

Qu'as-tu réussi à faire ?

Posté par Bangs Bangs

Ah oui c'est x^n (excusez moi)

Donc ça c'est le problème en entier.

J'ai fais la question 1 et 2

Pour le 3eme, je voie le résultat, c'est à dire que c'est une fonction strictement croissante et continue donc elle possède qu'une seule et unique solution.
Mais je sais pas comment le prouver.
Peut être avec le théorème des valeurs intermédiaires non?

Posté par raymond raymond

Tu as f_n(x) = xⁿ + x - 1. Fonction continue.

f_n'(x) = nx^n-1 + 1 : strictement positive sur I = [0,1]

Donc, f_n est strictement croissante sur I.

Comme f_n(0) = - 1 et f_n(1) = 1, applique le théorème des valeurs intermédiaires.

Posté par Bangs Bangs

Oh merci!

Mais par contre pour la question 4, je suis vraiment bloqué. Je sais vraiment pas quoi faire!

La question c'est: On définit ainsi une suite de réels (An)   (n>= 1)
a) Démontrer que f(An)=n.
b) Démontrer que, pour tout n>=1, An+1>An

Encore merci de votre aide

Posté par raymond raymond

Par définition, (A_n)ⁿ + A_n - 1 = 0

Je ne comprends donc pas f(A_n) = n

Qu'appelles-tu f ?

Posté par Bangs Bangs

Ok
Pour f je sais pas

Ah si! Peut être que c'est f(x)=(ln(1-x))/(lnx)
C'est une des fonction de la partie A du problème.