Niveau terminale

Tableau variation

Posté par
yopdu59 28-02-09 à 20:33

Hello!
Voilà, j'ai besoin d'aide pour un DM
on a fn(x)=(ln(x))ⁿ/x
En posant u = x^1/n exprimer fn(x) en fonction de u
Ca j'ai trouvé, j'ai posé fn(u)=(ln(uⁿ))ⁿ/(uⁿ)
Et ensuite, on me demande les tableaux de variations pour n pair et n impair et je vois pas la méthode.
Merci d'avance

Posté par re : Tableau variation 28-02-09 à 21:01

Salut,

Il suffit de faire une étude de fonction simple en sachant que n est fixé (enfin je pense que c'est comme ça dans ton énoncé)

Posté par re : Tableau variation 28-02-09 à 21:29

Bonsoir,

$F_n(u)=\frac{\left(\ln(u^n)\right)^n}{u^n}=\frac{(n\ln(u))^n}{u^n}=n^n\left(\frac{\ln(u)}{u}\right)^n$

En appelant $F_n$ la fonction $u\,\mapsto n^n\left(\frac{\ln(u)}{u}\right)^n$

et $u$ la fonction $x\,\mapsto x^{\frac{1}{n}}$ ,

on a $f_n=F_n\circ u$

comme $u$ est croissante sur $]0,+\infty[$ à valeurs dans $]0,+\infty[$ , $f_n$ aura les mêmes variations que $F_n$ sur $]0,+\infty[$ .

A partir de là, plusieurs solutions...

Tu n' aurais pas étudié la fonction $x\,\mapsto \frac{\ln(x)}{x}$ dans une question précédente ?

Posté par re : Tableau variation 28-02-09 à 21:31

Merci beaucoup cailloux !
Je fais ça demain et je reposte dès que possible !
Et sinon on a seulement étudier la limite en plus l'infini de fn(x)

Posté par re : Tableau variation 01-03-09 à 21:46

Bon la limite j'ai trouvé 0 c'était pas très dur
Mais là pour l'étude de fn, je peux faire celle de Fn mais quand je dérive, je trouve rien d'intéressant et je vois pas la différence quand n est pair ou impair
Il doit y avoir une astuce mais je vois rien ^^

Posté par re : Tableau variation 02-03-09 à 13:03

Citation :
Bon la limite j'ai trouvé 0 c'était pas très dur

Oui en $+\infty$

En suivant ton énoncé:

$F_n(u)=n^n\,\left(\frac{\ln(u)}{u}\right)^n$

$F'_n(u)=n^{n+1}\,\left(\frac{\ln(u)}{u}\right)^{n-1}\,\frac{1-\ln(u)}{u^2}$

$F'_n(u)=n^{n+1}\,\frac{\left[\ln(u)\right]^{n-1}[1-\ln(u)]}{u{n+1}}$

- n pair:

Alors $n-1$ est impair et $F'_n(u)$ est du signe de $\ln(u)[1-ln(u)]$

Sur $]0,1]\cup [e,+\infty[$ , $F'_n(x)\leq 0$ et $F_n$ est décroissante.

Sur $[1,e]$ , $F'_n(x)\geq 0$ et $F_n$ est croissante.

En revenant à la variable $x$ avec $x=u^n$ :

Sur $]0,1]\cup [e^n,+\infty[$ , $f_n$ est décroissante.

Sur $[1,e^n]$ , $f_n$ est croissante.

- n impair:

Alors $n-1$ est pair et $F'_n(x)$ est du signe de $1-\ln(u)$

Sur $]0,e]$ , $F'_n(x)\geq 0$ et $F_n$ est croissante.

Sur $[e,+\infty[$ , $F'_n(x)\leq 0$ et $F_n$ est décroissante.

En revenant à la variable $x$ avec $x=u^n$ :

Sur $]0,e^n]$ , $f_n$ est croissante.

Sur $[e^n,+\infty[$ , $f_n$ est décroissante.

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