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nombre d'or + suites <= approximation du nombre d'or
Bonjour !
J'aurais besoins d'indication pour effectuer mon travail
Voici l'ennoncé:
A] Le nombre d'or
1) Résoudre dans l'équation x²-x-1 = 0
La solution positive, notée est appelée "nombre d'or"
2) Démontrer les égalités:
²= +1
1+1/=
(1+)=
(²+1)/(2-1)=
B] La suite (an)
On pose a0=2, pour tout n
0, an+1= 1+(1/an).
1) Montrer que, pour tout n1, 3/2
an2
2) Prouver que, pour tout n1, |an+1-| 4/9 |an-|. (Utiliser la question A]2))
3) En déduire, par récurrence, que pour n1 :
|an-|(4/9)n-1|a1-| puis que:
|an-| (4/9)n (pour n1)
4) Prouver que (an) est convergente et déterminer sa limite.
5) Déterminer un entier n1, tel que, si nn1, alors:
|an-|10^-6
si quelsu'un pouvait m'aider a corriger cet exo en m'expliquant cela serait gentil 
j'ai deja cherché ce sujet dans le forum maintes fois mais les reponses apportées né sont pas celle que je cherche ^^ merci de maider
merci de me repondre lehibou ! oui dsl c'est vrai ^^ le nombre d"or je l'ai trouvé il s'agit de Phi = (1 + V5)/2
pour la 2) jaimerai savoir si cette reponse est suffisante : 1 + (1/Phi) = 1 + (2/(1+V5)) = (3+V5)/(1+V5) = (3+V5)(1-V5)/[(1+V5).(1-V5)] = (3-3V5+V5-5)/(1-5) = (-2-2V5)/-4 = (1+V5)/2 = Phi
On a donc bien Phi = 1 + (1/Phi)
le B] me pose probleme par contre :/ merci de me repondre
ah javais pas vu merci aussi a labo ... ^^si vous pouvez continuer a m'aider ca serait sympathique ^^
On m'a un peu aidé et finalement voila ce qu'on trouve: supposons que 3/2 <= a(n) <= 2
On a alors: 1/2 <= 1/a(n) <= 2/3
1 + (1/2) <= 1 + 1/a(n) <= 1 + (2/3)
3/2 <= 1 + 1/a(n) <= 5/3
et a fortiori:
3/2 <= 1 + 1/a(n) <= 2
3/2 <= a(n+1) <= 1
Donc si 3/2 <= a(n) <= 2, on a aussi 3/2 <= a(n+1) <= 2
Comme 3/2 <= a(0) <= 2, on a aussi 3/2 <= a(1) <= 2
Comme 3/2 <= a(1) <= 2, on a aussi 3/2 <= a(2) <= 2
Et ainsi de proche en proche, on a 3/2 <= a(n) <= 2 pour tout n de N.
Dois-je detailler le " et ainsi de proche en proche " ou est ce que je peux le noter sur ma copie ??
SI oui je peux peux-tu m'aider a effectuer le raisonnement par recurrence de la prochaine 2)et 3) en m'expliquant ! pour la 3) je sais que je devrais trouver que lim(n-> oo) a(n) = Phi mais je ne sais pas comment faire 
merci a toi
Tu présentes la récurrence à l'envers, il faut commencer par l'initiation - la propriété est vraie pour a0 et a1. Ensuite tu la suppose vraie pour a(n) et tu en déduis qu'elle est aussi vraie pour a(n+1). Ca suffit, il n'y a pas à ajouter de "de proche en proche"...
d'accord ... je te remercie par contre pour les 2 autres j'ai besoin d'aide parce que je ne vois pas du tout ... Pouvons-nous le faire ensemble tout en m'expliquant ?? merci
Pour B,2), utilise A,2) :
a(n+1) - = 1 + 1/a(n) - (1 + 1/)
= 1/a(n) -1/
= ( - a(n))/a(n)
donc
|a(n+1) - | = |a(n) - |/a(n)
Il reste à montrer que 1/a(n) est < 4/9
Or 3/2 < a(n) < 1 implique1 < 1/a(n) < 2/3
et tu peux vérifier que = (1+5)/2 est > 3/2
(ou tu le démontres : 5 > 4 donc 5 > 2 donc 1+5 > 3 donc (1+5)/2 = > 3/2)
donc 1/ < 2/3
donc 1/a(n) < (2/3)(2/3) = 4/9,
et c'est gagné pour B,2)
ok d'accord j'ai compris ... et je te remercie pour ta précieuse aide ... Pouvons-nous faire le 3) si tu as le temps ... parcontre je remarque que j'ai fait une petite erreur dans l'énoncé ! la question est En déduire, par récurrence, que pour n1 |an-|(4/9)n-1|a1-| puis que:
|an-| (4/9)n (pour n1)
merci d'avoir pris le temps de m'aider je galérais vraiment 
La suite, c'est de la récurrence descendante :
|a(n)-| (4/9)|a(n-1)-|
mais
|a(n-1)-| (4/9)|a(n-2)-|
donc
|a(n)-| (4/9)²|a(n-2)-|
et on descend comme ça jusqu'à :
|a(n)-| (4/9)^(n-1)|a1-|
|a(n)-| (4/9)^n|a0-|
Reste à voir que :
|a0-| = |2-(1+5)/2| = |4-1-5)/2| = |(3-5)/2|
Il faut donc montrer que (3-5)/2 < 1, ou 3-5 < 2, ou 5 > 3-2 = 1, ou 5 > 1² = 1 ce qui est vrai, et on a gagné.
salut leHibou pour les 2 dernieres questions qu'il reste est - ce qu'il faut trouver lim(n-> oo) a(n) = Phi ??? je cherche mais je en trouve pas pouvons -nous le faire ensemble tout en m'expliquant grand merci leHibou !
c'est 0 ? donc il faut que je dise que la limite de 4/9)^n =0 et donc que la suite (an) est convergente vers 0 ? c'est ca ?
Mais ca me parait bizarre car la question est de d'abord prouver que (an) est convergente et ensuite de determiner sa limite... qu'en penses-tu?
Non... La limite de (4/9)^n est bien 0 (car 0 < 4/9 < 1), donc la limite de |a(n)0-| est 0, donc a(n) est convergente et sa limite est .
Il faut que tu trouves le plus petit entier n tel que :
(4/9)^n 10^(-6)
Tu peux y arriver en prenant le ln des deux côtés...
le ln des 2 cotés je te remercie beaucoup pour ton aide leHibou malheureusement je dois aller dormir l'école m'attend demain 
J'espere que tu me feras parvenir la reponse pour ma curiosité ! encore merci et bonne nuit !!!!
Mouais. J'ai l'impression d'avoir tout fait dans cet exercice, J'espère qu'au moins tu auras appris quelque chose !
Bon, au point ou j'en suis, je vais le finir.
n.ln(4/9) = (-6)ln(10)
ln(4/9) = -ln(9/4) = -ln((3/2)²) = -2ln(3/2), d'où :
n = (-6/-2)ln(10)/ln(3/2) = 3ln(10)/ln(3/2)
n 
17,04
donc n = 18.
Bonsoir a tous j'ai un travail a effectuer dans le but de reviser un controle j'ai reussi a resoudre les 2/3 de l'execice mais je n'arrive pas du tout a faire le c] quelqu'un pourrait-il le faire avec moi ? j'ai resolu le A] et le B] (j'ait marqué <= fait a coté de toutes les questions resolus ) merci d'avance ^^
1)resoudre dans R l'equation x^2-x-1=0
la sol positive et notee .<= FAIT
2) demontrer les egalités :
^2= +1
1+(1/ )=
(1+ )=
( ^2+1)/(2 -1)=
<=FAIT
B)la suite (an)
on pose ao=2 et pour tout n0, (an+1)=1+(1/an)
1)montrer que , pour tout n1, (3/2)an2. <=FAIT
2)prouver que,pour tout n1,|(an+1)-|(4/9)|an-|<= FAIT
3)en deduire,par recurrence, quepour tout n1
|an-|((4/9)^(n-1))*|a1-|
puis que
|an-|(4/9)^n (pour n1)<=FAIT
4)prouver que (an) est convergente et determiner sa limite.
5)determiner unentier n1 tel que, si nn1, alors
|an-|10^-6
<=FAIT
C) la suite (bn)
on pose b0=2 et, pour tout n0,(bn+1)=(bn+1)
1)montrer que pour tout n0,(bn+1)(bn)2.
2)endeduire que la suite(bn) est convergente.
3) a l'aide de la question A)2) et de l'expression conjuguée,montrer que,pOur tout n1:
0(bn+1)-(1/3)*((bn)-).
4)en deduire que , pour tout n1, 0(bn)-((1/3)^n).
quelle est la limite de (bn)?
5)determiner un entier n2 tel que , si nn2,alors:
|(bn)-|10^-6
*** message déplacé ***
salut comment vas-tu nan pas du tout lehibou ^^ il y a d'autres parties ... la je souhaite faire le fait le c] et grace a toi j'ai compris le A et le B . tu m'as aidé pour A] Le nombre d'or et B] La suite (an) ... et la je cherche C] la suite (bn) voili voilou ^^
Et il est où, l'énoncé du C] ?
Tu n'as pas suivi les règles du forum, et Marcel l'a déplacé, mais où ?
That is the question...
c] la suite (bn)
on pose bo=2et pour tout n0, b(n+1)=(bn+1)
1) montrer que pour tout n0, b(n+1)b(n)2
2) En deduire que la suite bn est convergente
3) a l'aide de la question A2 et de l'expression conjuguée montrer que pour tout n1 : 0b(n+1)-1/3(bn-)
(La question A2 JE LAVAIS RESOLU DANS LES TOUTS PREMIERS MESSAGES )
4) en deduire que pour tout n 1, 0bn-(1/3)^n. quelle est la limite de bn ?
5) determiner un entier n2 tel que si n n2 alors |bn-|10^-6
voila jai recopié le C] ^^merci
OK, le C,1) se fait par récurrence, et il faut traiter séparément l'inégalité de gauche et celle de droite.
Pour la gauche :
Il faut d'abord vérifier l'initialisation, b0, je te laisse faire.
Ensuite, tu supposes bn.
Donc
+1 bn+1
donc
(+1) (bn+1)
Mais tu as démonteé au début que ² = +1, donc = (+1). D'autre part, le terme de droite est bn+1
Finalement tu as bien
bn+1
Je te laisse faire la partie droite de l'inégalité (initialisation + hérédité), elle est plus facile.
tu veux dire su'il faut faire un resonnement par recurrence por b(n+1) et un autre pour b(n)2 c'est ca ?
Le premier, je te l'ai fait. Maintenant il faut que tu démontres :
initialisation : b0 2
hérédité : si bn 2, alors bn+1 2
c'est assez facile...
Salut à tous voici la suite et fin de mon exercice !
Si quelqu'un pouvait m'aider ca serait sympa car apres un debut laborieux, là jsuis vraiment bloqué je continue a chercher malgré tout ... merci
D] la suite (cn)
on pose c0=2 et pour tout n 0 : cn+1=(c²n+1)/(2cn-1)
1) calculer c1 et c2
2a ) on pose pour tout x>1/2 f(x)=(x²+1)/(2x-1)
verifier que f()= et f'()=0 puis montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [,+
[.
b)b) en deduire que pour tout n0 : cn+1cn2
(raisonner par recurrence )
c) prouver alors que (cn) est convergente
3)montrer que pour tout n 0 : cn+1-1/2(cn-)²
4) en deduire que pour tout n0 : 0cn-(1/2)1+2+2²+...+2^n a l'aide dun raisonnement par rescurrence . quelle est la limite de (cn) ?
5) le resultat obtenu sur tableur montre que u8 a 10^14. montrer qu'en fait d'apres le resultat de la question d4 on a c8 a 10-153pres !!!!!!!!
voici mes resultats pourrais-je en avoir une correction ?
en dérivant f je toruve f'(x)= [2(x²-x-1)]/(2x-1)²
je trouve alors f'() = (-3)/5
le raisonnement suivant est-il correcte etant donné mon niveau je ne suis sur de rien mdr :
initialisation:
C0=2 et C1 = 5/3 donc C1 plus petit que C0 dc p. vérifiée.
hérédité:
on suppose que pour un certain rang n on a: C(n+1) Cn 2
on sait que (Cn) est décroissante d'où Cn+1 Cn de plus C0=2 donc Cn+1 Cn C0 <=> Cn+1 Cn 2
de plus la fonction f est croissante sur [; +[
donc f() f(2) <=> f(2) (car f() =
et f(2) = 5/3 = C1
donc Cn+1 Cn 2
Bonsoir,
Ton f'(x) est juste, mais ton f'() est faux, d'ailleurs on te dit que tu dois trouver 0 et tu trouves -3/5 !
En fait, au numérateur de f'(x)tu as le facteur (x2-x-1). Sachant que tu as montré dès le début que 2 = + 1, qu'en déduis-tu ?
ok mon probleme c'est que je vais pas assez loin dans mon raisonnement ... en parlant de raisonnement , mon raisonnement par recurrence est-il bon ou faut-il le corriger ?
C'est insuffisant. La récurreence c'est supposer que Cn+1 < Cn, et en déduire que Cn+2 < Cn+1.
Je ne vois pas apparaître Cn+2 dans tes calculs...
est-ce ceci qu'il faut que je rajoute ? ou faut-il le rajouter dans mon raisonnement?
comme (Cn) est décrooissante on a bien Cn+2Cn+1Cn
de plus Cn2 (c'est l'hypothèse de récurrence)
et Cn+2=f(Cn+1) or Cn+1 et f est croissante
Non, f est croissante sur ],+[ mais elle est décroissante sur [0,[, c'est cela qu'il faut montrer et utiliser.
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