Soit ABC un triangle, A', B', C' les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.


Partie A :Droite d'Euler d'un triangle

1) Soit H le point du plan défini par : OH = OA+OB+OC ( ce sont des vecteurs je n'arrive pas à mettre les flèches )

a) Montrer que : OB+OC = 2OA'
b) En déduire AH en fonction de OA'
c) Montrer que la droite (AH) est perpendiculaire à la doirte (BC)
d) Pourquoi a t-on aussi (BH) perpendiculaire à (AC) ?
En déduire la nature du point H pour le triangle ABC.

2) On note G le centre de gravité du triangle ABC.

a) Montrer que OH = 3OG
b) Dans quel cas a t-on O = G = H ?
c) Le cas précédent excepté, montrer que les points O, G et H sont alignés sur une droite qu'on appelle la droite d'Euler du triangle ABC.
d) Montrer que le résultat précédent reste valable si le triangle est rectangle.


Partie B : Cercle d'Euler d'un triangle, ou cercle des neuf points

On note P, Q et R les milieux respectifs des segments [AH], [BH] et [CH].
Et Ω est le milieu du segment [OH].

1) Exprimer OB + OC en fonction de OA'
En déduire que ΩP = -ΩA'
2) Montrer que ΩP = -0,5 OA
3) Etablir quatre égalités analogues concernant les points Q, R, B, C, B' et C'.
4) Soit (Γ) le cercle de centre Ω et de rayon R/2, où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
Montrer que P, Q, R, A', B' et C' appartiennent à (Γ).
5) On note A1, B1 et C1 les pieds des hauteurs du triangle ABC.
En considérant le triangle PA1A', montrer que A1 appartient à (Γ).
Montrer de même que B1 et C1 appartiennent à (Γ).

(Γ) est appelé le cercle d'Euler du triangle ABC, ou cercle des neuf points.

Voilà si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment gentil parce que je suis dessus depuis 2 semaines et je n'arrive à rien je tourne en rond ..
Merci !