Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres

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 Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 12:28
Posté par castoriginal castoriginal

De nombreuses cathédrales possèdent, gravé dans le sol, des labyrinthes. Le plus connu est celui de Chartres.

On peut définir le labyrinthe comme avant tout « un chemin de prière » et de méditation pour celui qui fait un pèlerinage.

Le labyrinthe de Chartres est également connu sous le nom de «  Chemin de Jérusalem » . Car au temps des croisades, nombreux étaient ceux qui, ne pouvant aller en Terre Sainte, parcouraient le labyrinthe par substitution.

La question que je me suis posée et que je vous propose également :

Quelle est la longueur du chemin parcouru à Chartres ?

Je vous aide en vous donnant ci-dessous la reproduction graphique du labyrinthe et en précisant :

1°) que le cheminement se fait sur l'axe du chemin

2°) que la valeur de pi choisie est de 3,14159

3°) que le départ se fait sur le cercle extérieur et l'arrivée au centre de la rose

4°) que le centre de la rose est dans l'alignement de l'axe du chemin y accédant

5°) les limites du chemin sont considérées comme n'ayant pas d'épaisseur et les boucles se touchent ou touchent les alignements droits.

J'aimerais que votre solution ait la précision du centimètre.

 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 12:54
Posté par Rudi Rudi

bonjour castoriginal

intéressant ton exo mais, même avec les approximations faites, j'ai une question :

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les deux séries de circonvolutions du bas (SW et SE) sont elles approximées à 90° d'amplitude d'angle, ou faut-il diminuer cette amplitude de la largeur des deux chemins verticaux ?

Rudy
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 13:32
Posté par Rudi Rudi

Une proposition en considérant les approximations

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on peut déterminer la largeur, L, des 11 chemins concentriques :

L = ( (12,88-3,20)/2 )/11

on déduit que les rayons Rn de ces 11 chemins sont égaux à Rn = 3,20+(2n-1)L/2 pour n=1 à n=11

Si on considère les approximations consistant à dire que les circonvolutions SW se font sur 90° (c'est à dire que les chemins verticaux n'empiètent pas sur les circonvolutions), le chemin circulaire, D1, correspond à 11 circonférences de rayon R1 à R11 :

D1 = 2pi.(somme R1 à R11) = 2pi.(11*3,20 + (L/2)(1+3+5+...+21)) = 22pi(3,2+11L/2) = 22pi(3,2+(12,88-3,2)/4)

D1 = 11pi(12,88+3*3,2)/2

Ensuite, on ajoute la distance D2 = les 2 chemins verticaux qui peuvent être approximés à un diamètre moins une demi rosace moins L+L+L/2

D2 = 12,88 - 3,2/2 -5L/2 = (3,2-5L)/2 = (3,2-5(12,88-3,2)/22)/2 

D2 = (27*3,2-5*12,88)/44

soit une distance D = D1+D2

D = 11pi(12,88+3*3,2)/2 + (27*3,2-5*12,88)/44

D = ( (11*22*pi-5)*12,88 + (11*22*pi*3+27)*3,2 )/44

soit, sous toute réserve d'erreur de calcul ou de raisonnement ou d'approximation outrancière :

D = 388,93 m

qui doit être une valeur par excès vues les approximations

A suivre

Rudy
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 13:42
Posté par Rudi Rudi

Remarque :

Etant données les approximations retenues, une valeur de pi de 3,14 (au lieu des 3,14159) voire même l'approximation de pi dans la Bible valant 3 (à moins de 5% d'erreur), devrait suffire

Rudy
 Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 14:26
Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

merci à Rudi de chercher
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Il y a moyen de résoudre le problème d'une façon exacte sans approximations.

Je pense que les précisions que j'ai fournies sont suffisantes pour

trouver une solution.

Entre parenthèses, la distance parcourue est vraiment très excessive !

Bien à vous
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 14:50
Posté par Rudi Rudi

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j'ai vu une erreur dans mon calcul de D2 mais qui ne permet pas vraiment de se rapprocher de la vraie valeur de 261,50 m

Rudy
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 15:02
Posté par Rudi Rudi

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on doit/devrait trouver 261,55 m

Rudy
 Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 15:36
Posté par castoriginal castoriginal

A Rudi,

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compte tenu des précisions que j'ai avancées, il s'agit ici plutôt d'un calcul mathématique que de la longueur de 261,50m qui tient compte de coins perdus et de la largeur des séparations entre méandres.

Il y a plusieurs types d'éléments à prendre en compte:

1) les cercles déduction faite des changements de direction

2) les changements de direction à 180° (demi-cercles)

3) les changements de direction autres (cercle/alignement droit) 

4) les alignements droits

Bon calcul
 Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 15:43
Posté par castoriginal castoriginal

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J'ai oublié de dire que j'ai estimé et proposé le rayon extérieur (3,20m) de la rose qui n'était donné nulle part afin d'avoir un chemin de largeur facile (0,44m)
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 15:53
Posté par Rudi Rudi

>castoriginal

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désolé, c'est trop calculatoire

Par contre, si tu possèdes une méthode simple et élégante, je suis intéressé

Rudy
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 16:03
Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Castoriginal.
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Soit a = 0.8 m.

Moyenne des rayons des circonférences : a*(2.5-12.5)/2 = 7.5a.

Nombre de circonférences à parcourir : 11.

Longueur du labyrinthe : 11*7.5a*2pi = 132m*pi = 414.68988.36235 m.

Parcours avec le rayon intérieur de 1.6 m = 416.28988 m.
.

L'approximation d'Archimède est-elle antérieure ou postérieure à celle de la Bible ?
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 16:28
Posté par Rudi Rudi

> castoriginal 

si ça intéresse, il y a aussi celui qui se trouvait dans la Cathédrale de Reims, effacé en 1778:

En prenant le côté comme valant A, déterminer la longueur du Labyrinthe

Ta résolution a-t-elle un rapport avec la structure ou l'analyse rythmique ?

> plumemeteore

Rudy
  Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 17-10-09 à 23:02
Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

pour plumemeteore

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je n'ai pas bien compris le raisonnement exposé plus haut. En tous cas, le trajet exprimé ne correspond pas du tout à la réalité.

pour rudi

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faut-il donner la résolution sur le site de l'île des maths ou sur votre adresse e-mail ? La solution est assez volumineuse : elle sera difficile à passer sur le site de l'île des maths !

Pour le labyrinthe de la cathédrale de Reims, je pense qu'il manque des données pour calculer la longueur du labyrinthe.

Bien à vous
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 18-10-09 à 00:24
Posté par Rudi Rudi

>castoriginal

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1° pour la résolution détaillée, attends que les habitués des énigmes Détente aient répondu (veleda, dpi, gloubi...) et fournis ta résolution même si elle te paraît longue.

Souvent, après coup, un des membres trouve une solution plus expéditive et élégante (je pense à jandri avec BipBip et Coyote)

2° j'ai appelé A la distance du carré dans lequel s'inscrit le labyrinthe; dans les liens qui parlaient de ce labyrinthe, je n'ai pas trouvé de distance; tu peux, pour faire des comparaisons, dire que A=12,88 m.

Etonnant de voir, aussi ici, qu'il y a 11 chemins concentriques (ce semble être une constante que certains qualifieraient de ... mystique)

Rudy
 Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 18-10-09 à 12:39
Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

> Rudi

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Pour le moment, je n'ai pas trop le temps de me pencher sur le calcul du labyrinthe de Reims qui m'intéresse également.

En ce qui concerne la symbolique du nombre 11, j'ai trouvé un site intéressant très fouillé qui donne l'interprétation du nombre 11 à travers les traditions diverses dans le temps.

Pour la tradition religieuse chrétienne, j'en ai extrait les interprétations suivantes du nombre 11:

"Représente l'union du microcosme et du macrocosme - 5 + 6.

Nombre de la connaissance de Dieu, selon les arabes, celle-ci passant par 11 étapes.

Les onze apôtres restant du Christ-Jésus suite à la trahison et le suicide de Judas l'apôtre

Mais il représente aussi celui qui sort vainqueur des épreuves avec la connaissance qui en procède"

A bientôt
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 18-10-09 à 12:43
Posté par Rudi Rudi

bonjour castoriginal
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toutes ces symboliques de nombres alimentent des croyances, et font faire du blé à des "numérologues" comme ils se qualifient eux-même

étonnant de voir ce que l'on peut faire dire aux nombres, notamment dans le domaine religieux : pour preuve, bon nombre des mensurations de la Cathédrale de Chartres (labyrinthe y compris) qui sont "expliquées", parfois, de manière complètement loufoque mais qui impressionnent le quidam

Rudy
  Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 19-10-09 à 22:56
Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

> Rudi

j'ai encore trouvé une explication pour le nombre d'anneaux du labyrinthe

Symbolique des nombres dans les labyrinthes classiques
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Les proportions du labyrinthe suivent les procédés mathématiques établis par Leonardo Pisano en 1202. Ces proportions correspondent au nombre d'or : (1+5)/2 1,618.

Les labyrinthes sont en général de forme circulaire, même si on peut en découvrir de forme carrée ou octogonale. La position du labyrinthe, par rapport au reste de l'église ou autre lieu sacré, est déterminée par un tracé géométrique, mettant en œuvre des notions de géométrie sacrée, comme la construction dite des trois tables . D'autre part, la division du labyrinthe en quatre cadrans correspond à la croix du Christ, mais aussi aux quatre saisons, aux quatre points cardinaux...

La symbolique des nombres est très présente dans les labyrinthes. Les références peuvent être bibliques, kabbalistiques... En général, les labyrinthes possèdent onze anneaux autour d'un centre, certains dix, d'autres sept : onze pour le profane, dix pour le clergé et sept pour l'initié.

A bientôt
 Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 19-10-09 à 23:00
Posté par castoriginal castoriginal

Le labyrinthe de Reims mesurait 10,36m de large
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 20-10-09 à 13:43
Posté par gloubi gloubi

Bonjour, castoriginal, Rudy, et les autres.

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On a 11 circonvolutions de rayon moyen 4,02 m, auquel on ajoute 1,60 m au coeur de la rosace + 20,5 * 0,44 m.

On obtient 11*4,02*2*3,14159 + 1,6 + 20,5*0,44  288,4622 m.

Les virages "serrés" ont été comptés pour 88 cm par 1/2 tour au lieu de 22 cm.

Il y a 31 demi-tours (en comptant les 6 quarts de tours),

donc 31*88 cm à déduire et 31*22*3,14159 cm à ajouter.

On trouve finalement un parcours de longueur:

288,4622 + 31*(0,22*3,14159-0,88) = 288,4622 - 5,8544  282.61 m.

Aux erreurs d'approximations près (et les erreurs de raisonnement, il y en a sûrement ...   )

 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 20-10-09 à 13:57
Posté par gloubi gloubi

Encore moi ...

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Citation :

A Chartres, le chemin est constitué par des dalles claires, en calcaire de Berchères, que cloisonnent des bandes de pierre sombre mesurant 8 cm de largeur [...] 12,885 m de diamètre total, y compris les dents du pourtour, qui sont au nombre de 113.

La longueur du parcours est exactement de 261,50 m [...] A Chartres, le labyrinthe était appelé aussi le dédale, la lieue ou le chemin de Jérusalem. [...]

Dans mes calculs, j'ai  pris 12,88 m de diamètre sans compter le pourtour, il est donc normal que je trouve une vingtaine de mètres en plus.

Cela ne valide pas mon résultat pour autant.
 labyrinte Posté le 20-10-09 à 17:44
Posté par dpi dpi

je tente
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Les 11 cercles concentriques sont "perturbés" par les boucles limitées à la largeur d'un parcours (44 cm)en rajoutant les "rayons" j'arrive à 26 m 95
 virgule Posté le 20-10-09 à 17:46
Posté par dpi dpi

je remets ma virgule à la bonne place...
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269 m 54
 Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 20-10-09 à 20:36
Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

>dpi

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c'est pas mal du tout, on n'est pas loin du résultat que j'ai trouvé.

> gloubi

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le problème que j'ai posé est un peu différent du vrai labyrinthe de Chartres dans la mesure où le diamètre extérieur était bien connu de 12,88m. Le diamètre de la rose n'étant donné nulle part, j'ai pris une largeur du chemin "simple" et j'ai considéré qu'il n'y avait pas d'épaisseur aux limites.Le résultat que vous avez trouvé est plus grand que ma solution

Bonne soirée
 les boucles Posté le 21-10-09 à 09:11
Posté par dpi dpi

En refaisant de bon matin cet intéressant exercice ,
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j'ai constaté qu'en relisant l'énonce les boucles(est nord ouest) ne créent aucune rupture (voir shéma):

les boucles sud enlèvent 88 cm

Mon nouveau décompte serait : 278.12 m

 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 21-10-09 à 12:02
Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Autre méthode, autre résultat:
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L  273,59 m.

Neuf mètres de moins qu'hier ...

 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 03-11-09 à 11:26
Posté par gloubi gloubi

    Avant que ce joli problème ne passe à la trappe !  
 le labyrinthe Posté le 03-11-09 à 17:00
Posté par dpi dpi

au fait castoriginal

quelle est le longueur officielle retenue ? merci
 Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 03-11-09 à 21:39
Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

je vous remercie de l'intérêt que vous avez manifesté pour le labyrinthe de Chartres.

Je n'ai pas le temps maintenant de vous exposer en détail la méthode que j'ai développée pour ce problème ( obligations professionnelles trop absorbantes pour le moment !) 

Néanmoins je suis surpris agréablement par le calcul rapide de Gloubi.

J'ai trouvé 273,952m pour les conditions de mon énoncé.

( la valeur officielle renseignée pour le labyrinthe de Chartres était de 261,50m)

Merci, à bientôt pour une nouvelle énigme de géométrie opérative.
 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 04-11-09 à 10:39
Posté par gloubi gloubi

Bonjour castoriginal,

Dans mes calculs, j'ai fait quelques approximations en assimilant certains arcs à des cordes.

Je recommence (avec quelques arcs sinus), et je poste dès que possible une démonstration détaillée.

La même que la tienne, j'espère ...

 re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 04-11-09 à 14:42
Posté par gloubi gloubi

L'aire comprise entre le contour extérieur du labyrinthe et la partie centrale vaut (6442-1602) diminuée des parties perdues dans les virages "serrés" (en bleu sur le dessin).

En divisant cette aire par la largeur du couloir, et en ajoutant les 160 cm au cœur du labyrinthe, on obtient la longueur du parcours.

Etude des virages à 180°:

L'angle  vaut arcsin(a/(R+a)).

Aire totale des parties vertes et bleues (pour les deux demi-cercles):

Aire des parties vertes: 

Aire des parties bleues: 

Ce sont ces parties bleues qu'il faut retirer de la surface du labyrinthe.

Pour les virages à 90°, c'est plus compliqué.

D'abord parce qu'ils ne font pas rigoureusement 90°, ensuite parce que l'entrée dans le labyrinthe ne se fait pas suivant un rayon.

J'ai simplement considéré que les aires à retirer étaient la moitié de celles d'un 1/2 cercle de même centre et même rayon.

Pas très rigoureux, ça ...

A l'arrivée, je trouve:

Pour les 28 demi-cercles, aire à déduire: 23 583,5 cm2

Pour les 6 "quarts" de cercles, aire à déduire: 2 526,2  ... 100 (?) cm2

Finalement, longueur du parcours = ((6442-1602)-23 583,5-2 526,2) / 44 + 160 = 27 350,8 cm

J'arrondirais à 273,51  0,03 m. Bon, à 45 cm près ...

J'oubliais, pour  , je n'ai pas pris l'arrondi que tu suggérais, mais je ne pense pas que cela joue beaucoup.

 question de virrage Posté le 05-11-09 à 09:15
Posté par dpi dpi

à gloubi

magnifique démonstration,pour ma part j'avais compris que les virages se faisaient dans l'axe des moitiés de couloir d'où ma figure du 21 /10  9h11 et ma longueur légèrement supérieure
  re : Géométrie opérative : Le labyrinthe de Chartres Posté le 06-11-09 à 12:20
Posté par gloubi gloubi

Je m'aperçois à l'instant d'une autre imprécision dans mes calculs:

Les 8 demi-cercles "serrés" du bas du labyrinthe ne sont pas tangents à un rayon.

Décidément, comme disait Rudy:
Citation :
c'est trop calculatoire
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