bonjour castoriginal

intéressant ton exo mais, même avec les approximations faites, j'ai une question :

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les deux séries de circonvolutions du bas (SW et SE) sont elles approximées à 90° d'amplitude d'angle, ou faut-il diminuer cette amplitude de la largeur des deux chemins verticaux ?

Une proposition en considérant les approximations

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on peut déterminer la largeur, L, des 11 chemins concentriques :

L = ( (12,88-3,20)/2 )/11

on déduit que les rayons Rn de ces 11 chemins sont égaux à Rn = 3,20+(2n-1)L/2 pour n=1 à n=11

Si on considère les approximations consistant à dire que les circonvolutions SW se font sur 90° (c'est à dire que les chemins verticaux n'empiètent pas sur les circonvolutions), le chemin circulaire, D1, correspond à 11 circonférences de rayon R1 à R11 :

D1 = 2pi.(somme R1 à R11) = 2pi.(11*3,20 + (L/2)(1+3+5+...+21)) = 22pi(3,2+11L/2) = 22pi(3,2+(12,88-3,2)/4)
D1 = 11pi(12,88+3*3,2)/2

Ensuite, on ajoute la distance D2 = les 2 chemins verticaux qui peuvent être approximés à un diamètre moins une demi rosace moins L+L+L/2

D2 = 12,88 - 3,2/2 -5L/2 = (3,2-5L)/2 = (3,2-5(12,88-3,2)/22)/2
D2 = (27*3,2-5*12,88)/44

soit une distance D = D1+D2

D = 11pi(12,88+3*3,2)/2 + (27*3,2-5*12,88)/44

D = ( (11*22*pi-5)*12,88 + (11*22*pi*3+27)*3,2 )/44

soit, sous toute réserve d'erreur de calcul ou de raisonnement ou d'approximation outrancière :

D = 388,93 m

qui doit être une valeur par excès vues les approximations

A suivre

Remarque :

Etant données les approximations retenues, une valeur de pi de 3,14 (au lieu des 3,14159) voire même l'approximation de pi dans la Bible valant 3 (à moins de 5% d'erreur), devrait suffire

Rudy

Bonjour,

merci à Rudi de chercher

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Il y a moyen de résoudre le problème d'une façon exacte sans approximations.
Je pense que les précisions que j'ai fournies sont suffisantes pour
trouver une solution.
Entre parenthèses, la distance parcourue est vraiment très excessive !

A Rudi,

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compte tenu des précisions que j'ai avancées, il s'agit ici plutôt d'un calcul mathématique que de la longueur de 261,50m qui tient compte de coins perdus et de la largeur des séparations entre méandres.
Il y a plusieurs types d'éléments à prendre en compte:
1) les cercles déduction faite des changements de direction
2) les changements de direction à 180° (demi-cercles)
3) les changements de direction autres (cercle/alignement droit)
4) les alignements droits

>castoriginal

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désolé, c'est trop calculatoire

Par contre, si tu possèdes une méthode simple et élégante, je suis intéressé

Bonjour Castoriginal.

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Soit a = 0.8 m.
Moyenne des rayons des circonférences : a*(2.5-12.5)/2 = 7.5a.
Nombre de circonférences à parcourir : 11.
Longueur du labyrinthe : 11*7.5a*2pi = 132m*pi = 414.68988.36235 m.
Parcours avec le rayon intérieur de 1.6 m = 416.28988 m.

> castoriginal

si ça intéresse, il y a aussi celui qui se trouvait dans la Cathédrale de Reims, effacé en 1778:



En prenant le côté comme valant A, déterminer la longueur du Labyrinthe

Ta résolution a-t-elle un rapport avec la structure ou l'analyse rythmique ?

> plumemeteore

Rudy

Bonsoir,

pour plumemeteore

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je n'ai pas bien compris le raisonnement exposé plus haut. En tous cas, le trajet exprimé ne correspond pas du tout à la réalité.

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faut-il donner la résolution sur le site de l'île des maths ou sur votre adresse e-mail ? La solution est assez volumineuse : elle sera difficile à passer sur le site de l'île des maths !
Pour le labyrinthe de la cathédrale de Reims, je pense qu'il manque des données pour calculer la longueur du labyrinthe.

>castoriginal

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1° pour la résolution détaillée, attends que les habitués des énigmes Détente aient répondu (veleda, dpi, gloubi...) et fournis ta résolution même si elle te paraît longue.
Souvent, après coup, un des membres trouve une solution plus expéditive et élégante (je pense à jandri avec BipBip et Coyote)

2° j'ai appelé A la distance du carré dans lequel s'inscrit le labyrinthe; dans les liens qui parlaient de ce labyrinthe, je n'ai pas trouvé de distance; tu peux, pour faire des comparaisons, dire que A=12,88 m.
Etonnant de voir, aussi ici, qu'il y a 11 chemins concentriques (ce semble être une constante que certains qualifieraient de ... mystique)

Bonjour,

> Rudi

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Pour le moment, je n'ai pas trop le temps de me pencher sur le calcul du labyrinthe de Reims qui m'intéresse également.

En ce qui concerne la symbolique du nombre 11, j'ai trouvé un site intéressant très fouillé qui donne l'interprétation du nombre 11 à travers les traditions diverses dans le temps.
Pour la tradition religieuse chrétienne, j'en ai extrait les interprétations suivantes du nombre 11:
"Représente l'union du microcosme et du macrocosme - 5 + 6.
Nombre de la connaissance de Dieu, selon les arabes, celle-ci passant par 11 étapes.
Les onze apôtres restant du Christ-Jésus suite à la trahison et le suicide de Judas l'apôtre
Mais il représente aussi celui qui sort vainqueur des épreuves avec la connaissance qui en procède"

bonjour castoriginal

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toutes ces symboliques de nombres alimentent des croyances, et font faire du blé à des "numérologues" comme ils se qualifient eux-même
étonnant de voir ce que l'on peut faire dire aux nombres, notamment dans le domaine religieux : pour preuve, bon nombre des mensurations de la Cathédrale de Chartres (labyrinthe y compris) qui sont "expliquées", parfois, de manière complètement loufoque mais qui impressionnent le quidam

Bonsoir,


> Rudi

j'ai encore trouvé une explication pour le nombre d'anneaux du labyrinthe

Symbolique des nombres dans les labyrinthes classiques

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Les proportions du labyrinthe suivent les procédés mathématiques établis par Leonardo Pisano en 1202. Ces proportions correspondent au nombre d'or : (1+5)/2 1,618.

Les labyrinthes sont en général de forme circulaire, même si on peut en découvrir de forme carrée ou octogonale. La position du labyrinthe, par rapport au reste de l'église ou autre lieu sacré, est déterminée par un tracé géométrique, mettant en œuvre des notions de géométrie sacrée, comme la construction dite des trois tables . D'autre part, la division du labyrinthe en quatre cadrans correspond à la croix du Christ, mais aussi aux quatre saisons, aux quatre points cardinaux...

La symbolique des nombres est très présente dans les labyrinthes. Les références peuvent être bibliques, kabbalistiques... En général, les labyrinthes possèdent onze anneaux autour d'un centre, certains dix, d'autres sept : onze pour le profane, dix pour le clergé et sept pour l'initié.

Le labyrinthe de Reims mesurait 10,36m de large

Bonjour, castoriginal, Rudy, et les autres.

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On a 11 circonvolutions de rayon moyen 4,02 m, auquel on ajoute 1,60 m au coeur de la rosace + 20,5 * 0,44 m.

On obtient 11*4,02*2*3,14159 + 1,6 + 20,5*0,44 288,4622 m.

Les virages "serrés" ont été comptés pour 88 cm par 1/2 tour au lieu de 22 cm.

Il y a 31 demi-tours (en comptant les 6 quarts de tours),
donc 31*88 cm à déduire et 31*22*3,14159 cm à ajouter.

On trouve finalement un parcours de longueur:
288,4622 + 31*(0,22*3,14159-0,88) = 288,4622 - 5,8544 282.61 m.

Aux erreurs d'approximations près (et les erreurs de raisonnement, il y en a sûrement ...   )

Encore moi ...

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Citation :

A Chartres, le chemin est constitué par des dalles claires, en calcaire de Berchères, que cloisonnent des bandes de pierre sombre mesurant 8 cm de largeur [...] 12,885 m de diamètre total, y compris les dents du pourtour, qui sont au nombre de 113.
La longueur du parcours est exactement de 261,50 m [...] A Chartres, le labyrinthe était appelé aussi le dédale, la lieue ou le chemin de Jérusalem. [...]

Dans mes calculs, j'ai  pris 12,88 m de diamètre sans compter le pourtour, il est donc normal que je trouve une vingtaine de mètres en plus.
Cela ne valide pas mon résultat pour autant.

je tente

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Les 11 cercles concentriques sont "perturbés" par les boucles limitées à la largeur d'un parcours (44 cm)en rajoutant les "rayons" j'arrive à 26 m 95

je remets ma virgule à la bonne place...

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269 m 54

Bonsoir,

>dpi

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c'est pas mal du tout, on n'est pas loin du résultat que j'ai trouvé.

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le problème que j'ai posé est un peu différent du vrai labyrinthe de Chartres dans la mesure où le diamètre extérieur était bien connu de 12,88m. Le diamètre de la rose n'étant donné nulle part, j'ai pris une largeur du chemin "simple" et j'ai considéré qu'il n'y avait pas d'épaisseur aux limites.Le résultat que vous avez trouvé est plus grand que ma solution

En refaisant de bon matin cet intéressant exercice ,

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j'ai constaté qu'en relisant l'énonce les boucles(est nord ouest) ne créent aucune rupture (voir shéma):
les boucles sud enlèvent 88 cm
Mon nouveau décompte serait : 278.12 m

Bonjour,

Autre méthode, autre résultat:

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L 273,59 m.
_{Neuf mètres de moins qu'hier ...}

    Avant que ce joli problème ne passe à la trappe !  

au fait castoriginal
quelle est le longueur officielle retenue ? merci

Bonsoir,

je vous remercie de l'intérêt que vous avez manifesté pour le labyrinthe de Chartres.

Je n'ai pas le temps maintenant de vous exposer en détail la méthode que j'ai développée pour ce problème ( obligations professionnelles trop absorbantes pour le moment !)
Néanmoins je suis surpris agréablement par le calcul rapide de Gloubi.

J'ai trouvé 273,952m pour les conditions de mon énoncé.
( la valeur officielle renseignée pour le labyrinthe de Chartres était de 261,50m)

Merci, à bientôt pour une nouvelle énigme de géométrie opérative.

Bonjour castoriginal,

Dans mes calculs, j'ai fait quelques approximations en assimilant certains arcs à des cordes.
Je recommence (avec quelques arcs sinus), et je poste dès que possible une démonstration détaillée.
La même que la tienne, j'espère ...

L'aire comprise entre le contour extérieur du labyrinthe et la partie centrale vaut (644²-160²) diminuée des parties perdues dans les virages "serrés" (en bleu sur le dessin).

En divisant cette aire par la largeur du couloir, et en ajoutant les 160 cm au cœur du labyrinthe, on obtient la longueur du parcours.

Etude des virages à 180°:



L'angle vaut arcsin(a/(R+a)).

Aire totale des parties vertes et bleues (pour les deux demi-cercles):



Aire des parties vertes:

Aire des parties bleues:

Ce sont ces parties bleues qu'il faut retirer de la surface du labyrinthe.

Pour les virages à 90°, c'est plus compliqué.
D'abord parce qu'ils ne font pas rigoureusement 90°, ensuite parce que l'entrée dans le labyrinthe ne se fait pas suivant un rayon.

J'ai simplement considéré que les aires à retirer étaient la moitié de celles d'un 1/2 cercle de même centre et même rayon.
Pas très rigoureux, ça ...

A l'arrivée, je trouve:
Pour les 28 demi-cercles, aire à déduire: 23 583,5 cm²
Pour les 6 "quarts" de cercles, aire à déduire: 2 526,2 ... 100 (?) cm²

Finalement, longueur du parcours = ((644²-160²)-23 583,5-2 526,2) / 44 + 160 = 27 350,8 cm

J'arrondirais à 273,51 0,03 m. Bon, à 45 cm près ...

J'oubliais, pour , je n'ai pas pris l'arrondi que tu suggérais, mais je ne pense pas que cela joue beaucoup.

à gloubi
magnifique démonstration,pour ma part j'avais compris que les virages se faisaient dans l'axe des moitiés de couloir d'où ma figure du 21 /10  9h11 et ma longueur légèrement supérieure

Je m'aperçois à l'instant d'une autre imprécision dans mes calculs:
Les 8 demi-cercles "serrés" du bas du labyrinthe ne sont pas tangents à un rayon.

Décidément, comme disait Rudy: