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Amusette ensembliste

Posté par
Camélia Correcteur 04-03-10 à 14:46

Bonjour

\red\fbox{\fbox{\ 1. L'histoire\ }} Soient E et F deux ensembles et f:E\to F et g:F\to E deux applications injectives.
Le théorème de Cantor-Bernstein affirme l'existence d'une bijection de E sur F. Une démonstration possible est la construction "explicite" de l'application h:E\to F de la manière suivante:

Soit A_0 le complémentaire de g(F) dans E. Pour n entier strictement positif on pose A_n=g\circ f(A_{n-1}) et on pose A=\bigcup_{n\in{\bb{N}}}A_n.
Pour x\in A on pose h(x)=f(x); si x\notin A, on a x\in g(F) et on pose h(x)=y où y est l'unique antécédent de x par g.

On prouve (on recommande chaudement à ceux qui découvrent cette histoire de le faire) que h est bijective.

\red\fbox{\fbox{\ 2. Entrainement\ }} Bien sur je sais qu'il existe des bijections de {\bb{N}} sur {\bb{N}}. Mais c'est intéressant d'expliciter h si on prend f:{\bb{N}}\to {\bb{N}} définie par f(n)=n+1 et g:{\bb{N}}\to {\bb{N}} définie par g(n)=n+2.

\red\fbox{\fbox{\ 3. Plus\ utile\ }} Expliciter h si on prend f:]-\infty,+\infty[\to [0,+\infty[ définie par f(x)=e^x et g:[0,+\infty[\to ]-\infty,+\infty[ définie par g(y)=y.

\red\fbox{\fbox{8 4.\ Difficile\ }} Soit E l'ensemble des parties finies de \bb{N}. les éléments d'une partie non vide X=\{x_1,...,x_k\} sont numérotés de manière à ce que 0\leq x_1 < ... < x_k. Soit (p_n) la suite strictement croissante des nombres premiers. Donc p_1=2,p_2=3,...

On définit f:E\to{\bb{N}} par f(\emptyset)=0 et f(X)=p_1^{x_1}...p_k^{x_k}pour X\neq \emptyset. Soit g:{\bb{N}}\to E} définie par g(n)={n}.

Expliciter h.

Posté par
blangre : Amusette ensembliste 05-03-10 à 15:06

Bonjour Camélia

Déjà, sauf erreur :

2) 3$ h:n \mapsto \left\{ \begin{array}{l} n+1 \; \text{si} \; n \not \equiv 2 [3]\\ n-2 \; \text{si} \; n \equiv 2 [3] \end{array}

Posté par
Camélia Correcteurre : Amusette ensembliste 05-03-10 à 15:09

Bonjour blang

C'est ça! des cycles (0 1 2)(3 4 5)... (3n 3n+1 3n+2)...

Posté par
blangre : Amusette ensembliste 05-03-10 à 16:16

Si je ne m'abuse, 3$ h: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^+ consiste à envoyer les 3$ e^{e^{e^{.^.^. ^e}}} (avec 0 et 1) sur eux-mêmes et à prendre l'exponentielle des autres ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Amusette ensembliste 05-03-10 à 16:20

Oui, c'est bien ça!

Posté par
blangre : Amusette ensembliste 05-03-10 à 16:40

Pour le (8)4, l'énoncé, c'est 3$ g(n)=\{n\} ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Amusette ensembliste 05-03-10 à 16:42

Je ne sais pas pourquoi c'est 84.! Oui, c'est g(n)=\{n\}... Oublié des antislash!

Posté par
blangre : Amusette ensembliste 07-03-10 à 15:07

J'ai fini par me pencher sur le n°4 :

Y a-t-il une façon plus simple de présenter les choses que de dire que 3$ A est constitué par les parties finies de 3$ \mathbb{N} qui ne sont pas des singletons ainsi que par les singletons 3$ \{0\}, 3$ \{1\}, 3$ \{x\} et \{2^2^.^.^.^2^x\} où les 3$ x sont les entiers du type 3$ \prod_{k=1}^{K}p_k^{x_k} avec 3$ K \geq 2 et 3$ 0 \leq x_1< \cdots <x_K ?  

Posté par
Camélia Correcteurre : Amusette ensembliste 07-03-10 à 15:40

Eh non... j'ai bien dit que c'était difficile...

En fait j'avais fabriqué ces exos parce que mes étudiants disaient toujours qu'ils ne comprenaient rien à Cantor-Bernstein... (et d'ailleurs ils n'y croyaent pas trop) et ils avaient l'air de mieux comprendre après les deux premiers, et moins bien après le dernier! Je m'en suis souvenu en voyant un topic récent où on cherchait une bijection comme dans 2, et on se donnait beaucoup de mal, alors que c'est "presque" de la production automatique!

Connaitrais-tu une injection facile à définir R^2\to R ?


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