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Amusette ensembliste

   
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exercicesAmusette ensembliste

#msg2915027 Posté le 04-03-10 à 14:46
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

\red\fbox{\fbox{\ 1. L'histoire\ }} Soient E et F deux ensembles et f:E\to F et g:F\to E deux applications injectives.
Le théorème de Cantor-Bernstein affirme l'existence d'une bijection de E sur F. Une démonstration possible est la construction "explicite" de l'application h:E\to F de la manière suivante:

Soit A_0 le complémentaire de g(F) dans E. Pour n entier strictement positif on pose A_n=g\circ f(A_{n-1}) et on pose A=\bigcup_{n\in{\bb{N}}}A_n.
Pour x\in A on pose h(x)=f(x); si x\notin A, on a x\in g(F) et on pose h(x)=y où y est l'unique antécédent de x par g.

On prouve (on recommande chaudement à ceux qui découvrent cette histoire de le faire) que h est bijective.

\red\fbox{\fbox{\ 2. Entrainement\ }} Bien sur je sais qu'il existe des bijections de {\bb{N}} sur {\bb{N}}. Mais c'est intéressant d'expliciter h si on prend f:{\bb{N}}\to {\bb{N}} définie par f(n)=n+1 et g:{\bb{N}}\to {\bb{N}} définie par g(n)=n+2.

\red\fbox{\fbox{\ 3. Plus\ utile\ }} Expliciter h si on prend f:]-\infty,+\infty[\to [0,+\infty[ définie par f(x)=e^x et g:[0,+\infty[\to ]-\infty,+\infty[ définie par g(y)=y.

\red\fbox{\fbox{8 4.\ Difficile\ }} Soit E l'ensemble des parties finies de \bb{N}. les éléments d'une partie non vide X=\{x_1,...,x_k\} sont numérotés de manière à ce que 0\leq x_1 < ... < x_k. Soit (p_n) la suite strictement croissante des nombres premiers. Donc p_1=2,p_2=3,...

On définit f:E\to{\bb{N}} par f(\emptyset)=0 et f(X)=p_1^{x_1}...p_k^{x_k}pour X\neq \emptyset. Soit g:{\bb{N}}\to E} définie par g(n)={n}.

Expliciter h.
re : Amusette ensembliste#msg2917203 Posté le 05-03-10 à 15:06
Posté par Profilblang blang

Bonjour Camélia

Déjà, sauf erreur :

2) 3$ h:n \mapsto \left\{ \begin{array}{l} n+1 \; \text{si} \; n \not \equiv 2 [3]\\ n-2 \; \text{si} \; n \equiv 2 [3] \end{array}
re : Amusette ensembliste#msg2917214 Posté le 05-03-10 à 15:09
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour blang

C'est ça! des cycles (0 1 2)(3 4 5)... (3n 3n+1 3n+2)...
re : Amusette ensembliste#msg2917363 Posté le 05-03-10 à 16:16
Posté par Profilblang blang

Si je ne m'abuse, 3$ h: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^+ consiste à envoyer les 3$ e^{e^{e^{.^.^. ^e}}} (avec 0 et 1) sur eux-mêmes et à prendre l'exponentielle des autres ?
re : Amusette ensembliste#msg2917367 Posté le 05-03-10 à 16:20
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Oui, c'est bien ça!
re : Amusette ensembliste#msg2917406 Posté le 05-03-10 à 16:40
Posté par Profilblang blang

Pour le (8)4, l'énoncé, c'est 3$ g(n)=\{n\} ?
re : Amusette ensembliste#msg2917411 Posté le 05-03-10 à 16:42
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Je ne sais pas pourquoi c'est 84.! Oui, c'est g(n)=\{n\}... Oublié des antislash!
re : Amusette ensembliste#msg2921536 Posté le 07-03-10 à 15:07
Posté par Profilblang blang

J'ai fini par me pencher sur le n°4 :

Y a-t-il une façon plus simple de présenter les choses que de dire que 3$ A est constitué par les parties finies de 3$ \mathbb{N} qui ne sont pas des singletons ainsi que par les singletons 3$ \{0\}, 3$ \{1\}, 3$ \{x\} et \{2^2^.^.^.^2^x\} où les 3$ x sont les entiers du type 3$ \prod_{k=1}^{K}p_k^{x_k} avec 3$ K \geq 2 et 3$ 0 \leq x_1< \cdots <x_K ?  
re : Amusette ensembliste#msg2921702 Posté le 07-03-10 à 15:40
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Eh non... j'ai bien dit que c'était difficile...

En fait j'avais fabriqué ces exos parce que mes étudiants disaient toujours qu'ils ne comprenaient rien à Cantor-Bernstein... (et d'ailleurs ils n'y croyaent pas trop) et ils avaient l'air de mieux comprendre après les deux premiers, et moins bien après le dernier! Je m'en suis souvenu en voyant un topic récent où on cherchait une bijection comme dans 2, et on se donnait beaucoup de mal, alors que c'est "presque" de la production automatique!

Connaitrais-tu une injection facile à définir R^2\to R ?

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