logo

Exercice sur les suites

   
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » licence » analysetopics traitant de analyse » [tout]lister tous les topics de mathématiques

licenceExercice sur les suites

#msg2925093 Posté le 09-03-10 à 17:54
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Bonjour,

J'ai un exercice où je bloque vraiment. J'ai essayé plusieurs trucs pour faire une réccurence mais ça coince toujours. Si quelqu'un pouvait me donner un petit indice...

Soient a, b, c trois réels vérifiant 0 < a b c et (un)n, (vn)n, (wn)n trois suites définies par u0 = a, v0 = b, w0 = c et n
\frac{3}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n} + \frac{1}{v_n}+ \frac{1}{w_n} , v_{n+1} = (u_nv_nw_n)^{\frac{1}{3}} , w_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + v_n + w_n)


a) Calculer \frac{1}{2}( + + )[( - )2 + ( - )2 + ( - )2]

Alors, je suppose que les ,,, sont en fait a, b c...

b) Montrer que n,
0 < un vnwn

c ) En déduire que ces suites convergent vers une même limite.
re : Exercice sur les suites#msg2925177 Posté le 09-03-10 à 18:25
Posté par Profilblang blang

Bonjour

Après calcul, on trouve : 3$ \frac12 (\alpha+\beta+\gamma) \left[(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\alpha-\gamma)^2 \right]=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3 \alpha \beta \gamma.

Si 3$ u, 3$ v et 3$ w sont des réels strictement positifs, on voit donc en posant 3$ \alpha =u^{\frac13} , 3$ \beta =v^{\frac13} et 3$ \gamma =w^{\frac13} que 3$ u+v+w - 3 (uvw)^{\frac13} \geq 0.
re : Exercice sur les suites#msg2925181 Posté le 09-03-10 à 18:26
Posté par Profilblang blang

(à toi de jouer )
re : Exercice sur les suites#msg2925209 Posté le 09-03-10 à 18:34
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Merci

Je vais essayer d'avancer avec ça.
re : Exercice sur les suites#msg2925232 Posté le 09-03-10 à 18:46
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Pour montrer que un+1vn+1, on doit poser d'autres trucs pour ,, ?
re : Exercice sur les suites#msg2925283 Posté le 09-03-10 à 19:01
Posté par Profilblang blang

Ben oui
re : Exercice sur les suites#msg2925290 Posté le 09-03-10 à 19:03
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

En plus, je n'arrive pas à trouver leur limite. J'essaye de montrer que (wn) ou (un) sont croissantes ou décroissantes pour montrer qu'elles sont adjacentes ou un truc comme ça, mais je n'y arrive pas. Et on ne peut pas utiliser de fonction vu qu'elles sont dépendantes les unes des autres.
re : Exercice sur les suites#msg2925311 Posté le 09-03-10 à 19:09
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Mais il vaut mieux déjà mettre un+1 tout seul ?

Je trouve u_{n+1} = \frac{u_nv_nw_n}{v_nw_n + u_nv_n + u_nw_n}
re : Exercice sur les suites#msg2925314 Posté le 09-03-10 à 19:10
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Heu, c'est 3 fois ça.
re : Exercice sur les suites#msg2925322 Posté le 09-03-10 à 19:12
Posté par Profilblang blang

Tu peux aussi poser \alpha=\frac{1}{u^3} , \beta=\frac{1}{v^3} et \gamma=\frac{1}{w^3} .
re : Exercice sur les suites#msg2925330 Posté le 09-03-10 à 19:14
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Je trouve pas Parce que vn+1 est le même, donc comment prendre des nombres différends si on veut que ça tombe pareil pour celui là
re : Exercice sur les suites#msg2925332 Posté le 09-03-10 à 19:14
Posté par Profilblang blang

Une fois que tu as résolu complètement b), tu peux déjà assez facilement prouver que 3$ (w_n) est décroissante.
re : Exercice sur les suites#msg2925339 Posté le 09-03-10 à 19:15
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Hey, j'y étais presque, j'essayai avec = \frac{1}{u_n}
Enfin...j'vais voir ce que ça donne.

Merci en tout cas, c'est très gentils de prendre du temps pour m'aider !!
re : Exercice sur les suites#msg2925353 Posté le 09-03-10 à 19:19
Posté par Profilblang blang

Citation :
Je trouve pas


Pourtant, grâce à mon indication de 19:12, on aboutit à :
3$ \frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}-\frac{3}{(uvw)^{\frac13}} \geq 0
qui équivaut à :
3$ \frac{3}{\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}} \leq (uvw)^{\frac13}
re : Exercice sur les suites#msg2925374 Posté le 09-03-10 à 19:24
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Oui, c'était avant d'avoir vu ton indication ^^.
Mais si on prend , ça donne \frac{1}{(u_nv_nw_n)^3}, pas \frac{1}{(u_nv_nw_n)^{1/3}}, non ?
re : Exercice sur les suites#msg2925388 Posté le 09-03-10 à 19:29
Posté par Profilblang blang

Non, j'ai fait une faute de frappe à 19:12
Il faut bien sûr poser 3$ \alpha=\frac{1}{u^{\frac13}} , 3$ \beta=\frac{1}{v^{\frac13}} et 3$ \gamma=\frac{1}{w^{\frac13}} .
re : Exercice sur les suites#msg2925395 Posté le 09-03-10 à 19:32
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Ok, merci ^^

Donc, c'est vrai que ça se voit facilement que wnest décroissante, mais comment je peux le démontrer ? En disant, que comme un[sub]vn[/sub]wn, c'est plus petit que 3\frac{1}{3} de wn ?
re : Exercice sur les suites#msg2925404 Posté le 09-03-10 à 19:35
Posté par Profilblang blang

Ben tu as 3$ u_n \leq w_n, 3$ v_n \leq w_n et 3$ w_n \leq w_n. En faisant la somme membre à membre de ces trois inégalités, tu obtiens 3$ u_n+v_n+w_n \leq 3w_n...
re : Exercice sur les suites#msg2925426 Posté le 09-03-10 à 19:43
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Ok.

Heu...faut pas m'en vouloir, mais je fais des maths depuis 9h ce matin alors je commence à fatiguer

Je vais essayer de réfléchir toute seule pour la croissance de un.
re : Exercice sur les suites#msg2925445 Posté le 09-03-10 à 19:48
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

C'est bon, j'ai trouvé pour la croissance . Pour le theorème des suites adjacentes, est-ce qu'il faut montrer qu'elles sont convergente (par exmple en disant qu'une est décroissante et minorée) ou alors on dit juste que l'une est croissante, l'autre décroissante et la différence des limites fait 0 donc elle converge vers la même limite ?
re : Exercice sur les suites#msg2929034 Posté le 12-03-10 à 09:41
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Je n'arrive pas à montrer que lim ( un- wn ) = O
re : Exercice sur les suites#msg2929575 Posté le 12-03-10 à 18:43
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Quelqu'un peut m'aider ?
re : Exercice sur les suites#msg2931964 Posté le 14-03-10 à 10:36
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Personne ??
re : Exercice sur les suites#msg2932147 Posté le 14-03-10 à 11:43
Posté par Profilblang blang

Rebonjour

Ben déjà tu peux déduire que 3$ (u_n) [resp. 3$ (w_n)] converge vers une limite 3$ l_1 (resp. 3$ l_2).
Ensuite l'hypothèse n°3 peut s'écrire 3$ v_n=3w_{n+1}-u_n-w_n : on en déduit que 3$ (v_n) converge vers 3$ 2l_2-l1 et comme 3$ u_n \leq v_n \leq w_n, on aboutit à 3$ l_1 \leq 2l_2-l_1 \leq l_2. Il ne te reste pas grand chose à faire
re : Exercice sur les suites#msg2932366 Posté le 14-03-10 à 13:16
Posté par ProfilNidja05 Nidja05

Wahoo, merci !!

J'étais partis sur les suites adjacentes, je n'aurrais jamais pensé à ça

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir
    Pour plus d'options, connection connectez vous !

  • Fiches de maths

    * analyse en post-bac
    15 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » licence » analysetopics traitant de analyse » [tout]lister tous les topics de mathématiques
   

Rechercher loupe

Menu

Espace membre

membre-hors-ligne

Changer d'île



page d'accueil   favoris  imprimer
maths haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2012