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Exercice sur les suites

Posté par
Nidja05 09-03-10 à 17:54

Bonjour,

J'ai un exercice où je bloque vraiment. J'ai essayé plusieurs trucs pour faire une réccurence mais ça coince toujours. Si quelqu'un pouvait me donner un petit indice...

Soient a, b, c trois réels vérifiant 0 < a b c et (un)n, (vn)n, (wn)n trois suites définies par u0 = a, v0 = b, w0 = c et n
\frac{3}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n} + \frac{1}{v_n}+ \frac{1}{w_n} , v_{n+1} = (u_nv_nw_n)^{\frac{1}{3}} , w_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + v_n + w_n)


a) Calculer \frac{1}{2}( + + )[( - )2 + ( - )2 + ( - )2]

Alors, je suppose que les ,,, sont en fait a, b c...

b) Montrer que n,
0 < un vnwn

c ) En déduire que ces suites convergent vers une même limite.

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 09-03-10 à 18:25

Bonjour

Après calcul, on trouve : 3$ \frac12 (\alpha+\beta+\gamma) \left[(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\alpha-\gamma)^2 \right]=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3 \alpha \beta \gamma.

Si 3$ u, 3$ v et 3$ w sont des réels strictement positifs, on voit donc en posant 3$ \alpha =u^{\frac13} , 3$ \beta =v^{\frac13} et 3$ \gamma =w^{\frac13} que 3$ u+v+w - 3 (uvw)^{\frac13} \geq 0.

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 09-03-10 à 18:26

(à toi de jouer )

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 18:34

Merci

Je vais essayer d'avancer avec ça.

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 18:46

Pour montrer que un+1vn+1, on doit poser d'autres trucs pour ,, ?

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:01

Ben oui

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:03

En plus, je n'arrive pas à trouver leur limite. J'essaye de montrer que (wn) ou (un) sont croissantes ou décroissantes pour montrer qu'elles sont adjacentes ou un truc comme ça, mais je n'y arrive pas. Et on ne peut pas utiliser de fonction vu qu'elles sont dépendantes les unes des autres.

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:09

Mais il vaut mieux déjà mettre un+1 tout seul ?

Je trouve u_{n+1} = \frac{u_nv_nw_n}{v_nw_n + u_nv_n + u_nw_n}

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:10

Heu, c'est 3 fois ça.

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:12

Tu peux aussi poser \alpha=\frac{1}{u^3} , \beta=\frac{1}{v^3} et \gamma=\frac{1}{w^3} .

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:14

Je trouve pas Parce que vn+1 est le même, donc comment prendre des nombres différends si on veut que ça tombe pareil pour celui là

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:14

Une fois que tu as résolu complètement b), tu peux déjà assez facilement prouver que 3$ (w_n) est décroissante.

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:15

Hey, j'y étais presque, j'essayai avec = \frac{1}{u_n}
Enfin...j'vais voir ce que ça donne.

Merci en tout cas, c'est très gentils de prendre du temps pour m'aider !!

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:19

Citation :
Je trouve pas


Pourtant, grâce à mon indication de 19:12, on aboutit à :
3$ \frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}-\frac{3}{(uvw)^{\frac13}} \geq 0
qui équivaut à :
3$ \frac{3}{\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}} \leq (uvw)^{\frac13}

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:24

Oui, c'était avant d'avoir vu ton indication ^^.
Mais si on prend , ça donne \frac{1}{(u_nv_nw_n)^3}, pas \frac{1}{(u_nv_nw_n)^{1/3}}, non ?

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:29

Non, j'ai fait une faute de frappe à 19:12
Il faut bien sûr poser 3$ \alpha=\frac{1}{u^{\frac13}} , 3$ \beta=\frac{1}{v^{\frac13}} et 3$ \gamma=\frac{1}{w^{\frac13}} .

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:32

Ok, merci ^^

Donc, c'est vrai que ça se voit facilement que wnest décroissante, mais comment je peux le démontrer ? En disant, que comme un[sub]vn[/sub]wn, c'est plus petit que 3\frac{1}{3} de wn ?

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:35

Ben tu as 3$ u_n \leq w_n, 3$ v_n \leq w_n et 3$ w_n \leq w_n. En faisant la somme membre à membre de ces trois inégalités, tu obtiens 3$ u_n+v_n+w_n \leq 3w_n...

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:43

Ok.

Heu...faut pas m'en vouloir, mais je fais des maths depuis 9h ce matin alors je commence à fatiguer

Je vais essayer de réfléchir toute seule pour la croissance de un.

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 09-03-10 à 19:48

C'est bon, j'ai trouvé pour la croissance . Pour le theorème des suites adjacentes, est-ce qu'il faut montrer qu'elles sont convergente (par exmple en disant qu'une est décroissante et minorée) ou alors on dit juste que l'une est croissante, l'autre décroissante et la différence des limites fait 0 donc elle converge vers la même limite ?

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 12-03-10 à 09:41

Je n'arrive pas à montrer que lim ( un- wn ) = O

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 12-03-10 à 18:43

Quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 14-03-10 à 10:36

Personne ??

Posté par
blangre : Exercice sur les suites 14-03-10 à 11:43

Rebonjour

Ben déjà tu peux déduire que 3$ (u_n) [resp. 3$ (w_n)] converge vers une limite 3$ l_1 (resp. 3$ l_2).
Ensuite l'hypothèse n°3 peut s'écrire 3$ v_n=3w_{n+1}-u_n-w_n : on en déduit que 3$ (v_n) converge vers 3$ 2l_2-l1 et comme 3$ u_n \leq v_n \leq w_n, on aboutit à 3$ l_1 \leq 2l_2-l_1 \leq l_2. Il ne te reste pas grand chose à faire

Posté par
Nidja05re : Exercice sur les suites 14-03-10 à 13:16

Wahoo, merci !!

J'étais partis sur les suites adjacentes, je n'aurrais jamais pensé à ça


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