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suites

Posté par
4maths 13-03-10 à 20:01

bonjour

j'ai un exercice sur les suites , j'ai fait le 1 quelqu'un peut-il m'aider pour la suite ?
On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n par :
u0=3
un+1= (un+vn)/2
et
v0=4
vn+1= (un+1-vn)/2

1.Calculer u1, u2 , v1 et v2

j'ai trouvé
u1=7/2            v1 = 15/4
u2=29/8           v2= 59/16

2. etudiez le sens de variation de ces deux suites
quelqu'un peut il m'aider car j'ai essayé de faire
un+1-un ou un+1/un mais je tourne en rond

3. expirmer vn-un en fonction de n et en deduire la limite de cette difference. Que peut on en déduire de pour la limite de un, celle de un si on suppose que ces deux suites convergent?

4. On considère à présent la suite (tn) définie , pour tout entier naturel n , par t n= (un+2vn)/3

a)Démontrer que la suite (tn) est constante.
b)En déduire la limite des suites (un) et (vn).

Merci de votre aide

Posté par
Labore : suites 13-03-10 à 22:03

Bonjour,

V_1=(3-4)/2=-0,5

Posté par
Labore : suites 13-03-10 à 22:35

U_1=7/2 OK \\ V_1=(3,5-4)/2=-0,5/2=-1/4 \\ U_2=(3,5-0,25)/2=3,25/2=1,625 \\ V_2=(1,625+0,25)/2=0,9375 \\

Posté par
4mathsre : suites 14-03-10 à 10:04

bonjour

merci de votre aide mais je me suis "plantée" dans vn+1
v0=4
vn+1 = (un+1 +vn)/2

avec mes excuses  donc la question 1 est juste

là où je bloque c'est la question 2

Posté par
Labore : suites 14-03-10 à 10:36

bonjour,
d'après la question 4  je pense que la donnée de la suite Vn est fausse, je corrige
\rm 1) U_0=4 et V_0=3 \\ U_{n+1}=\fr{U_n+V_n}{2} et V_{n+1}=\fr{U_{n+1}+V_n}{2} \\ U_1=\fr{7}{2} U_2=\fr{29}{8} \\ V_1=\fr{15}{4} V_2=\fr{59}{16} \\ 2)U_{n+1}-U_n=\fr{U_n+V_n}{2}-U_n=\fr{V_n-U_n}{2} \\ 2U_{n+1}=V_n-U_n \\ et V_n=2U_{n+1}-U_n \\ V_{n+1}-V_n=\fr{U_{n+1}-V_n}{2} \\ V_{n+1}-V_n=\fr{U_{n+1}-2U_{n+1}+U_n}{2}=-\fr{U_{n+1}-U_n}{2}
les suites U(n) et V(n)sont de croissances opposées si l'une croit l'autre décroit.
\rm 3 )suite Vn-Un \\ V_{n+1}-U_{n+1}=\fr{U_{n+1}+V_n-U_n-V_n}{2}=\fr{U_{n+1}-U_n}{2}=\fr{\fr{U_n+V_n}{2}-U_{n}}{2}=-\fr{1}{4}(V_n-U_n) \\
suite géométrique de raison (-1/4) de premier terme 1
\lim_{n\to+\infty}(V_n-U_n)=0 \\ \lim_{n\to+\infty}(V_n)=\lim_{n\to+\infty}(U_n)=l \\
\rm 4)t_n=U_n+2V_n \\ t_{n+1}=\fr{U_{n+1}+2V_{n+1}}{3}=\fr{\fr{U_n+V_n}{2}+U_{n+1}+V_n}}{3} \\ t_{n+1}=\fr{\fr{U_n+V_n}{2}+\fr{U_n+V_n}{2}+V_n}{3}=\fr{U_n+2V_n}{3} \\
\rm la suite est constante t_0=\fr{11}{3}
\lim_{n\to+\infty}\fr{U_n+2V_n}{3}=\fr{3l}{3} \\ l=\fr{11}{3}

Posté par
Labore : suites 14-03-10 à 10:38

ton message confirme l'erreur d'énoncé

Posté par
4mathsre : suites 14-03-10 à 10:48

Déjà merci d'avoir pris le temps de reprendre après mon erreur d'énoncé
Je calais car je voulais absolument arriver à une conclusion pour la question 2 du type un est croissante et vn est décroissante

Posté par
Labore : suites 14-03-10 à 11:01

dans la définition des suites adjacentes on ne précise pas celle qui croit  ou celle qui décroit

Citation :
Deux suites réelles (an)  et (bn) sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante au sens large et si la différence des deux tend vers 0.

Posté par
4mathsre : suites 14-03-10 à 11:05

toujours à essayer de comprendre la question 2
je ne comprends pas cette partie et à quoi elle sert
2Un+1= Vn-Un j'aurais plutot dit 2Un+1= Un+Vn

Posté par
4mathsre : suites 14-03-10 à 11:21

il doit y a avoir une erreur de signe mais Vn= 2Un+1-Un
mais quand dans le calcul
Vn+1- Vn = Un+1+Vn -Vn    
                 2
si on remplace Vn par 2Un+1-Un

Vn+1 - Vn = Un+1 +2Un+1-Un  - Vn
                      2              

est ce que c'est juste ce que je fais ????

Posté par
4mathsre : suites 14-03-10 à 11:41


est ce que je peux faire

Un+1 - Un = Vn-Un
                 2

je calcule Vn+1

Vn+1= Un+1+Vn= Un+3Vn
             2               4

Vn+1-Vn = Un-Vn
                 4


j'ai donc Un+1 -Un = Vn - Un    et Vn+1-Vn = Un - Vn
                               2                               4

merci pour votre aide
les suites U(n) et V(n)sont de croissances opposées si l'une croit l'autre décroit

Posté par
Labore : suites 14-03-10 à 11:48


\rm 2eme question) \\ U_{n+1}-U_n=\fr{U_n+V_n}{2}-U_n=\fr{V_n-U_n}{2} \\ 2U_{n+1}-2U_n=V_n-U_n \\ V_n=2U_{n+1}-2U_n+U_n=2U_{n+1}-U_n
  comme on a une expression de Vn en fonction uniquement de la suite (Un)
cela permet d'obtenir Vn+1-Vn en fonction de Un+1 et de Un

Posté par
Labore : suites 14-03-10 à 11:52

je viens seulement de voir ton calcul...
c'est plus simple...

Posté par
4mathsre : suites 14-03-10 à 11:54

oui je trouve aussi

merci

Posté par
4mathsre : suites 14-03-10 à 12:06

Je ne pense pas que dire que les suites sont de croissance opposée suffise. Il faut donner le sens de variation de chacune.


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