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#msg2931459 Posté le 13-03-10 à 20:01
Posté par Profil4maths 4maths

bonjour

j'ai un exercice sur les suites , j'ai fait le 1 quelqu'un peut-il m'aider pour la suite ?
On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n par :
u0=3
un+1= (un+vn)/2
et
v0=4
vn+1= (un+1-vn)/2

1.Calculer u1, u2 , v1 et v2

j'ai trouvé
u1=7/2            v1 = 15/4
u2=29/8           v2= 59/16

2. etudiez le sens de variation de ces deux suites
quelqu'un peut il m'aider car j'ai essayé de faire
un+1-un ou un+1/un mais je tourne en rond

3. expirmer vn-un en fonction de n et en deduire la limite de cette difference. Que peut on en déduire de pour la limite de un, celle de un si on suppose que ces deux suites convergent?

4. On considère à présent la suite (tn) définie , pour tout entier naturel n , par t n= (un+2vn)/3

a)Démontrer que la suite (tn) est constante.
b)En déduire la limite des suites (un) et (vn).

Merci de votre aide
re : suites#msg2931605 Posté le 13-03-10 à 22:03
Posté par ProfilLabo Labo

Bonjour,

V_1=(3-4)/2=-0,5
re : suites#msg2931645 Posté le 13-03-10 à 22:35
Posté par ProfilLabo Labo

U_1=7/2 OK \\ V_1=(3,5-4)/2=-0,5/2=-1/4 \\ U_2=(3,5-0,25)/2=3,25/2=1,625 \\ V_2=(1,625+0,25)/2=0,9375 \\
re : suites#msg2931904 Posté le 14-03-10 à 10:04
Posté par Profil4maths 4maths

bonjour

merci de votre aide mais je me suis "plantée" dans vn+1
v0=4
vn+1 = (un+1 +vn)/2

avec mes excuses  donc la question 1 est juste

là où je bloque c'est la question 2
re : suites#msg2931965 Posté le 14-03-10 à 10:36
Posté par ProfilLabo Labo

bonjour,
d'après la question 4  je pense que la donnée de la suite Vn est fausse, je corrige
\rm 1) U_0=4 et V_0=3 \\ U_{n+1}=\fr{U_n+V_n}{2} et V_{n+1}=\fr{U_{n+1}+V_n}{2} \\ U_1=\fr{7}{2} U_2=\fr{29}{8} \\ V_1=\fr{15}{4} V_2=\fr{59}{16} \\ 2)U_{n+1}-U_n=\fr{U_n+V_n}{2}-U_n=\fr{V_n-U_n}{2} \\ 2U_{n+1}=V_n-U_n \\ et V_n=2U_{n+1}-U_n \\ V_{n+1}-V_n=\fr{U_{n+1}-V_n}{2} \\ V_{n+1}-V_n=\fr{U_{n+1}-2U_{n+1}+U_n}{2}=-\fr{U_{n+1}-U_n}{2}
les suites U(n) et V(n)sont de croissances opposées si l'une croit l'autre décroit.
\rm 3 )suite Vn-Un \\ V_{n+1}-U_{n+1}=\fr{U_{n+1}+V_n-U_n-V_n}{2}=\fr{U_{n+1}-U_n}{2}=\fr{\fr{U_n+V_n}{2}-U_{n}}{2}=-\fr{1}{4}(V_n-U_n) \\
suite géométrique de raison (-1/4) de premier terme 1
\lim_{n\to+\infty}(V_n-U_n)=0 \\ \lim_{n\to+\infty}(V_n)=\lim_{n\to+\infty}(U_n)=l \\
\rm 4)t_n=U_n+2V_n \\ t_{n+1}=\fr{U_{n+1}+2V_{n+1}}{3}=\fr{\fr{U_n+V_n}{2}+U_{n+1}+V_n}}{3} \\ t_{n+1}=\fr{\fr{U_n+V_n}{2}+\fr{U_n+V_n}{2}+V_n}{3}=\fr{U_n+2V_n}{3} \\
\rm la suite est constante t_0=\fr{11}{3}
\lim_{n\to+\infty}\fr{U_n+2V_n}{3}=\fr{3l}{3} \\ l=\fr{11}{3}
re : suites#msg2931968 Posté le 14-03-10 à 10:38
Posté par ProfilLabo Labo

ton message confirme l'erreur d'énoncé
re : suites#msg2932000 Posté le 14-03-10 à 10:48
Posté par Profil4maths 4maths

Déjà merci d'avoir pris le temps de reprendre après mon erreur d'énoncé
Je calais car je voulais absolument arriver à une conclusion pour la question 2 du type un est croissante et vn est décroissante
re : suites#msg2932036 Posté le 14-03-10 à 11:01
Posté par ProfilLabo Labo

dans la définition des suites adjacentes on ne précise pas celle qui croit  ou celle qui décroit
Citation :
Deux suites réelles (an)  et (bn) sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante au sens large et si la différence des deux tend vers 0.
re : suites#msg2932047 Posté le 14-03-10 à 11:05
Posté par Profil4maths 4maths

toujours à essayer de comprendre la question 2
je ne comprends pas cette partie et à quoi elle sert
2Un+1= Vn-Un j'aurais plutot dit 2Un+1= Un+Vn
re : suites#msg2932093 Posté le 14-03-10 à 11:21
Posté par Profil4maths 4maths

il doit y a avoir une erreur de signe mais Vn= 2Un+1-Un
mais quand dans le calcul
Vn+1- Vn = Un+1+Vn -Vn    
                 2
si on remplace Vn par 2Un+1-Un

Vn+1 - Vn = Un+1 +2Un+1-Un  - Vn
                      2              

est ce que c'est juste ce que je fais ????
re : suites#msg2932143 Posté le 14-03-10 à 11:41
Posté par Profil4maths 4maths


est ce que je peux faire

Un+1 - Un = Vn-Un
                 2

je calcule Vn+1

Vn+1= Un+1+Vn= Un+3Vn
             2               4

Vn+1-Vn = Un-Vn
                 4


j'ai donc Un+1 -Un = Vn - Un    et Vn+1-Vn = Un - Vn
                               2                               4

merci pour votre aide
les suites U(n) et V(n)sont de croissances opposées si l'une croit l'autre décroit
re : suites#msg2932159 Posté le 14-03-10 à 11:48
Posté par ProfilLabo Labo


\rm 2eme question) \\ U_{n+1}-U_n=\fr{U_n+V_n}{2}-U_n=\fr{V_n-U_n}{2} \\ 2U_{n+1}-2U_n=V_n-U_n \\ V_n=2U_{n+1}-2U_n+U_n=2U_{n+1}-U_n
  comme on a une expression de Vn en fonction uniquement de la suite (Un)
cela permet d'obtenir Vn+1-Vn en fonction de Un+1 et de Un
re : suites#msg2932171 Posté le 14-03-10 à 11:52
Posté par ProfilLabo Labo

je viens seulement de voir ton calcul...
c'est plus simple...
re : suites#msg2932179 Posté le 14-03-10 à 11:54
Posté par Profil4maths 4maths

oui je trouve aussi

merci
re : suites#msg2932215 Posté le 14-03-10 à 12:06
Posté par Profil4maths 4maths

Je ne pense pas que dire que les suites sont de croissance opposée suffise. Il faut donner le sens de variation de chacune.

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