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On suppose pour le moment la fonction continue et bijective :

Soit une telle fonction. est strictement monotone et a des limites à ses bornes, l'une est , l'autre .

La valeur n'est jamais atteinte car si elle est atteinte pour un certain alors pour tout ( ou suivant la borne ) la fonction est nulle et c'est contraire aux hypothèses.

Ainsi si est continue alors elle n'est pas bijective, elle admet donc au moins un point de discontinuité.



Soit . Supposons que ait un nombre fini de points, tous distincts, de discontinuité :

est monotone sur chaque restriction de entre (strictement) deux points de discontinuités consécutifs.

Or (où est la limite de à la borne infinie ayant une limite finie (elle est différente des ) ) car par hypothèse .   _{(Les crochets portent sur tout l'ensemble)}

Or l'application est surjective donc n'est pas bijective, et en déduit que ne peut être discontinue en un nombre fini de points.



Donc si est bijective de dans elle admet un nombre infini de points de discontinuités.

J'espère que c'est juste pour une fois ^^ Merci pour la planche.

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Solution correcte  

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Ne pourrait on pas ce ramener au cas bien connu suivant
un bijection de ]0,1[ dans ]0,1] a une infinité de pts de discontinuité ?