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Déduire une factorisation partielle de Q(x)


premièreDéduire une factorisation partielle de Q(x)

#msg3151825#msg3151825 Posté le 18-09-10 à 16:12
Posté par Profilroulien62 roulien62

Bonjour,

mon prof de math m'a donné cet exercice et je n'arrive pas a faire les question 2) 3):

"On considère le polynôme P défini par: P(x)=2x(exposant 3)+x²+2x+3

1)trouver une racine évidente de P.(j'utilise x1+x2=-b/a et je trouve la 2ème racine: [racine de 3].


2)En déduire un factorisation partielle de P(x) (sous la forme d'un produit de (x-a) par un trinôme du second degré Q(x) dont on déterminera les coefficients).


3)Factoriser si possible P(x) sous la forme d'un produit d'expressions du 1er degré".


j'ai chercher la ques 2) et 3) mais je n'ai pas trouvé... pourriez-vous m'aider? merci
Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3151872#msg3151872 Posté le 18-09-10 à 16:23
Posté par Profilhomere homere

bonsjour,
Il faut revoir la première question
Une racine évidente est une valeur simple entière , par exemple +1, -1, +2, -2.
Or ici une de ces valeurs convient.
La formule que tu as utilisé est valable pour une équation de degré 2 et non de degré 3.
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re : Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3151893#msg3151893 Posté le 18-09-10 à 16:30
Posté par Profilroulien62 roulien62

aaaah! c'est donc ça la racine évidente! donc il faut que je teste en remplaçant ces valeurs ds p(x) c'est ça?
Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3151936#msg3151936 Posté le 18-09-10 à 16:44
Posté par Profilhomere homere

c'est exactement  ce qu'il faut faire.
A toi
re : Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3151962#msg3151962 Posté le 18-09-10 à 16:52
Posté par Profilroulien62 roulien62

la racine évidente est donc -1 ?

2*(-1)+(-1)²+2*(-1)+3=0
Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3151983#msg3151983 Posté le 18-09-10 à 16:57
Posté par Profilhomere homere


D'accord.. il faut faire maintenant la seconde question..
re : Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3151999#msg3151999 Posté le 18-09-10 à 17:02
Posté par Profilroulien62 roulien62

Citation :
2)En déduire un factorisation partielle de P(x) (sous la forme d'un produit de (x-a) par un trinôme du second degré Q(x) dont on déterminera les coefficients).


mmh...donc P(x)=(x-a)Q(x)
pour trouver Q(x) il faudrait trouver les coefficients a,b,c pour faire une division euclidienne de P(x) par (x-a)?

mais comment faire pour trouver les coefficients?
re : Déduire une factorisation partielle de Q(x#msg3152046#msg3152046 Posté le 18-09-10 à 17:15
Posté par Profilhomere homere

Exact. Il faut trouver les valeurs de a,b,et c tel que:

P(x)= (x+1)(ax²+bx+c)

Tu développes P(x) , tu trouveras alors un polynome de degré 3 contenant les inconnus   a, b  et c
tu écriras ensuite que le coefficient  de x3=2, le coefficient de x²=1 ...
Tu obtiendras un petit système d'équations qu'il te faudra résoudre.

bon courage
Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3152129#msg3152129 Posté le 18-09-10 à 17:40
Posté par Profilhomere homere

Voici le départ du calcul

(x+1)(ax²+bx+c)= ax3+bx²+cx+ax²+bx+c

Si on regroupe les termes on obtient :ax3+(a+b)x²+(c+b)x+c

et ce resultat doit être égal à 2x3+x²+2x+3

à toi,les calculs sont simples...
re : Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3152226#msg3152226 Posté le 18-09-10 à 18:05
Posté par Profilroulien62 roulien62

ok, donc je remplace ax3+(a+b)x²+(c+b)x+c par les coef. a=2,b=1,c=2 et je trouve:
                      2x3+3x²+3x+2

et après je le met sous forme de système avec 2x3+x²+2x+3 ?
re : Déduire une factorisation partielle de Q(x#msg3152614#msg3152614 Posté le 18-09-10 à 19:26
Posté par Profilhomere homere

bonsoir,
non....
tu ecris que le coefficient de x3 c'est à dire a doit être égal à 3
que le coefficient de x² c'est à dire (a+b) doit être égal à 1
que le coefficient de x c'est à dire (c+b) doit être égal à 2
et que le terme constant c'est à dire  c doit être égal à 3

ce sont des équations très simples

à toi
re : Déduire une factorisation partielle de Q(x)#msg3152642#msg3152642 Posté le 18-09-10 à 19:32
Posté par Profilroulien62 roulien62

j'ai trouvé! : (x+1)(2x²-x+3)

c'est ça?
re : Déduire une factorisation partielle de Q(x#msg3152658#msg3152658 Posté le 18-09-10 à 19:37
Posté par Profilhomere homere

bonsoir,

Oui, c'est bien..

et la suite ....

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