Pour x \ {0} tu as :
f(-2 + x) = x^-3e^i(-2+x) = x^-3e^i(x)= x^-3._n0 (ix)ⁿ/n! .
Le résidu de f au point 2 est donc -²/2 .  

pas clair ce que tu as écrit... pourquoi f(-2 + x) ?

pourquoi f(-2 + x) ? Pour  se ramener à une fonction dont 0 est pôle .
C'est le genre de cuisine qu'on fait quand on veut étudier une fonction g autour d'un point a 0 (par exemple recherche d'un équivalent simple, d'un DL,...) . On pose h(x) = g(a + x) pour x ....et on regarde h autour de 0 .

Ah oui, je vois. Merci.

Mais comment tu as trouvé la valeur de la résidu de f en -2 à partir du DL (dans ton dernier calcul)?

Ce n'est pas un DL mais un DSL (développement en série de Laurent )
Si 0 est un pôle pour f  le résidu de f en 0 est le coefficient de 1/x dans son DSL .
As-tu vu les intégrales curvilignes dans ?

Oui, j'ai vu les intégrales curvilignes.

1/x ? hum...