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Devoir Maison Nombres dérivés
Bonjour,
Quelques difficultés méthodiques au niveau de mon DM de Maths, essentiellement porté sur les nombres dérivés, avec une partie conjecture, qui a été réalisé sur Géogebra, l'image est jointe en photo et une partie, vérification de la conjecture.
Voici l'énoncé initiale :
Soit f, la fonction définie sur R par : f(x)= x²-x+3, (P), sa courbe représentative dans un repère orthonormale et (Δm) la droite d'équation réduite : y=mx+2, où m est un réel.
Le but de l'exercice est de déterminer les valeurs de m pour lesquelles (Δm) est tangente à (P).
Questions :
1. Écrire f(x) sous forme canonique et déterminer les variations de la fonction f
Je trouve f(x)=(x-1/2)²+11/4
les variations de la fonction étant décroissante sur l'intervalle [-∞;1/2[ et croissante sur ]1/2;+∞[ avec un sommet en 11/4
2.Donner les éléments caractéristiques de la parabole (P)
Je ne savais pas trop quoi dire ... j'ai simplement dit qu'elle était tournée vers le haut et qu'elle admettait un sommet en (1/2;11/4)
3.Pour quelles(s) valeur(s) de m, la parabole (P) et la droite (Δm) ont-elles un point commun ?
Ici, j'hésite à étudier la position relative des courbes, mais si j'effectue cette méthode, j'arrive à (m-x)²-4 après calcul du discriminant ...
4. Démontrer que pour chaque valeur de m obtenue dans la question précédente, la droite (Δm) correspond à la tangente à (P) au point de contact entre ces deux courbes.
5. Donner suivant les valeurs de m, l'intersection de la parabole (P) et la droite (Δm)
Cela ne doit pas être trop complique, je bloque souvent sur des choses qui sont faciles en me creusant la tête alors que cela peut être simple parfois ...
Merci d'avance pour votre aide !
Hugo.
Bonsoir,
Pour " la parabole (P) et la droite (Δm) ont-elles un point commun ?" Effectivement tu calcules l'intersection donc mx+2=x²-x+3 ou x²-(m+1)x+1=0 Pour qu'il n'y ait qu'un seul point il faut que le discriminant soit nul donc (m+1)²-4 (et pas le (m-x)²-4 que tu as écris)
donc après l'avoir factoriser tu trouves les deux valeurs de m qui fournissent des tangentes (que tu avais bien conjoncturées)
En faite, l'erreur que j'ai faite c'est de mettre x au lieu de 1 ?
Après avoir factoriser, c'est à dire ? Factoriser avec la formule a(x-x0)² ?
non (m-1)(m+1)=m²-1
(m+1)²-4=(m+1)²-2²=(m+1+2)(m+1-2)=(m+3)(m-1) En 1 ière il ne faut plus hésiter sur un a²-b² !
Pour la question 4, j'hésite à essayer la méthode des approx. affines locale .. c'est une fausse piste ou bien ?
Le plus simple est de calculer les équations des tangentes en ces points là avec la formule y=f'(a)(x-a)+f(a) et de montrer que l'on tombe sur les équations des droites en question.
non, pour x=1 f(1)=3 donc la tangente est y=(x-1)+3=x+2 et c'est bien la droite correspondant à y=mx+2 avec m=1
Mais oui, j'ai omis que la première partie était f'(a) et non pas f(a), c'est pour ça que je trouvais ça bizarre. Je vais faire pour m=-3 alors et je vais essayer d'être plus rigoureux !
Mais, je n'arrive plus à faire la différence entre f'(x0) et f(x0)
f'(x0), c'est le coeff directeur, mais f(x0), je n'arrive plus à m'en souvenir 
Quand m=1 alors le point d'intersection de la droite y=mx+2 donc y=x+2 et de la parabole x²-x+3 est au point x²-x+3=x+2 donc x²-2x+1=0 ou bien encore (x-1)²=0 donc c'est le point x=1 et y=3
Pour x=1 f(1)=3 et comme f'(x)=2x-1 , f'(1)=1 aussi
La tangente y=f'(1)(x-1)+f(1) vaut donc y=(x-1)+3 = x+2 c'est bien la même que la droite D1
Fait l'autre pareil pour voir si tu as compris ?
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