Des pommes, des poires et des ...

Posté par J-P J-P

4 amies se rendent ensemble chez le marchand de fruits, elles achètent les mêmes variétés de fruits mais en quantités différentes.

Agnès achète 2,2 kg de pommes, 1,8 kg de poires, 0,7 kg de citrons et 1,8 kg d'oranges, le tout pour 6,00 €.
Bernadette achète 1 kg de pommes, 0,8 kg de poires, 1 kg de citrons et 0,8 kg d'oranges, le tout pour 3,51 €.
Caroline achète 3,1 kg de pommes, 2 kg de poires, 1,2 kg de citrons et 1,1 kg d'oranges, le tout pour 6,72 €.

Danièle achète 2,1 kg de pommes, 3,2 kg de poires, 4,8 kg de citrons et 5,9 kg d'oranges.

Pouvez-vous trouver combien Danièle doit payer au total pour ses fruits ?
---
Si les données du problème permettent de le trouver, indiquez le montant à payer par Danièle.
Si les données sont insuffisantes, alors, indiquez "Problème impossible"
-----
Bonne chance à tous.

Posté par BABA72 (invité)

bonjour,

personne ne s'est bcp rué sur cette énigme encore, alors pour la 1ère
fois, je vais inaugurer (à moins qu'on me passe dvt ds la minute).



j'ai failli tomber ds le panneau :

On pouvait penser :
probleme impossible, on arrive à un système de 4 équations à 5 inconnues, donc système impossible à résoudre

Cependant, si Danièle avait acheté une "combinaison" des achats de ses amies, c'eût été possible...

Après quelques calculs (pas moult !!), assez simple en fait, on remarque que Danièle achéte 2 fois les courses
de Agnès + 7 fois celles de bernadette - 3 fois celles de Caroline.

Donc Danièle paiera : 2.6 + 7.3,51 - 3.6,72 = 16,41 €

A la suivante  

Chat haut,
BABA

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Je trouve que Danièle devra payer 22.31 €

Merci pour l'énigme, la résolution détaillée après.

Philoux

Posté par deep blue (invité)

Si j'écris les 4 équations, et que j'essaye de trouver a, b et c tels que :

a*(1) +b*(2)+ c*(3)= ((4)
Je trouve a=2, b=7 et c=-3
En appliquant ces coefficients aux prix payés on obtient :
2*6 + (7*3,51)-(3*6,72) = 16,41€

Posté par franz franz

€

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J-P- ne demande pas les prix au kilo de chaque fruit.!!!!
C'est donc que seul le prix payé peut être trouvé, et que la dernière équation est une combinaison linéaire des trois autres.

Pour les pommes : 2,2x + y + 3,1z = 2,1
Pour les poires : 1,8x + 0,8y + 2z = 3,2
Pour les citrons : 0,7x + y + 1,2z = 4,8
Pour les oranges : 1,8x + 0,8y +1,1z = 5,9

Par manipulation de ces équations on trouve x=2, y=7 et z=-3
On applique cette combinaison aux prix payés et on trouve : 16,41€

Posté par Severus (invité)

Hello,

Je vois que J-P est en grande forme, ça énigmatise à qui mieux mieux ces jours

Le panier de Danièle correspond à 2 fois le panier de Agnès plus 7 fois le panier de Bernadette moins 3 fois le panier de Caroline.

Le montant de ses achats est donc de 2x6.00+7x3.51-3x6.72 = 16.41 €

* image externe expirée *
Severus

Posté par Razibuszouzou (invité)

Soit P le prix des pommes, Q celui des poires, R celui des citrons et S celui des oranges. Multiplions tout par 100 pour éviter les virgules :

Agnès nous apprend que 220 P + 180 Q + 70 R + 180 S = 600
Bernadette que  100 P + 80 Q +  100 R + 80 S = 351
Et Caroline que 310 P + 200 Q + 120 R + 110 S = 672

Il faut trouver combien fait 210 P + 320 Q + 480 R + 590 S = X

4 inconnues, 3 équations, à priori le problème n'est pas résolvable, sauf miracle.

Et le miracle, ce serait de trouver une combinaison des 3 équations du style
a * (Agnès) + b * (Bernadette) + c * (Caroline) = d * (Danièle)
qui permette d'affirmer que X = (600a + 351 b + 672c)/d

Transcrivons cette relation pour chaque fruit :

22a+10b+31c=21d
18a+8b+20c=32d
7a+10b+12c=48d
18a+8b+11c=59d


Soustrayons la seconde de la quatrième équation pour se débarrasser des a  et des b :
27d = -9c
c = -3d
De même en soustrayant la première de la troisième on obtient :
27d = -15a - 19c = -15a + 57d
a = 2d
Et en remplaçant dans la seconde équation nous avons :
36d + 8b - 60d = 32d
D'où b = 7d

Choisissons d = 1. Alleluia ! Nous avons  trouvé une relation entre les 3 équations et l'inconnue :
2 * (Agnès) + 7 * (Bernadette) - 3 * (Caroline) = (Danièle)

D'où X = 2*600 + 7*351 -3*672 = 1200 + 2457 - 2016 = 1641 centimes.

Danièle a payé 16,41 Euros.

P-S : Il ne nous est pas demandé le prix de chaque article. Heureusement car, je ne sais pas comment le commerçant fait ses calculs, mais ils n'ont pas l'air de tomber juste en centimes !

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Après avoir quitter le forum d'entraide et trouvé du temps pour recopier (proprement) les bribes d'équations notées au brouillon, voici le détail de résolution.

S'il y a une solution, le 4° achat est une combinaison linéaire des 3 premiers achats.
En mutipliant tout par 10 et notant x, y, z, t les prix au kilo des fruits dans l'ordre cité, on a :

22x + 18y + 7z +18t = 60  L1
10x + 8y + 10z + 8t = 35,1  L2
31x + 20y + 12z + 11t = 67,2  L3

et le 4° achat :
21x + 32y + 48z + 59t = 10P où P est le prix payé par Danielle L4

Il faut alors que aL1 + bL2 + c L3 donne L4

Résolvons alors ce système :
22a + 10b + 31c = 21
18a + 8b + 20c = 32
7a + 10b + 11c = 48

On trouve a,b,c = 2,7,-3
Et vérifions que ces valeurs sont valides pour la variable t :
18a + 8b + 11c = 18.2 + 8.7 -3.11= 59 oui

On peut donc trouver 10P en traitant le membre de droite
60a + 35,1b + 67,2c =60.2 + 7.35,1 -3.67,2 = 164,1
d'où P = 16,41

N'ayant pas la trace du post envoyé ce matin (dommage qu'on ne puisse pas lire ses PROPRES posts aux énigmes), je ne me souviens plus si c'est cette valeur que j'ai inscrite. Il me semble que non (je me souviens d'un 10 quelquechose)...

Quoi qu'il en soit, l'important comme disait le chat de PolytechMars...

Merci J-P our l'énigme,

Philoux

Posté par davidk davidk

Avant de donner ma réponse finale, voici mes coefficients obtenus à l'aide de Gauss-Jordan(sans programmateur SVP(à la main)):

2.2  1.8  0.7  1.8  6
0    0.04 -1.5 0.04 -1.722
0    0    -0.796 -0.036 -0.993

La dernière ligne ne me permet pas d'obtenir une solution immédiate.

Posté par kyrandia (invité)

Bonjour,

Oui il y a une solution, sans avoir besoin de connaitre le poids au kilo des différents produits.

Danièle doit payer au total : 16,41 €

Posté par papanoel (invité)

en faisant un pivot de gauss sur le systeme a 5 inconnues on remarque que les equations qui reste a la fin peuvent etre combiné lineairement et remplace les inconnues que sont les prix des fruits. Ainsi on trouve un total pour daniele de 12.556E.Enfin avec cette derniere donnée on peut donner le prix au kilo des fruits ms g la fleme et je suppose que d autres s en seront donnés lq peine.

Posté par Lopez Lopez

le montant à payer par Danièle : 16,41 €

Posté par mehdi1337 (invité)

bonjour,
j'ai fait de mon mieux mais je crois que c'est impossible ...
C'EST IMPOSSIBLE ...
merci pour l'énigme!
à moins que le marchand soit très gentil et donnent aux filles les pommes, par exemple, gratuitement!
mais si c'est possible je mérite alors pleinement le poisson!
merci pour l'énigme!

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

le déterminant du système (Y=AX) est nul donc il existe une infinité de solutions ou aucune.
On peut donc chercher à obtenir la dernière ligne du système comme combinaison linéraire des autres.
Avec les initiales des prénoms (bien choisis, merci J-P), on trouve d=2a+7b-3c.
Ainsi, le prix (en €) à payer par Danièle est de : .

Par contre, comme il y a une infinité de solutions (dont certaines parfois négatives),
il n'est pas possible de calculer les différents prix au kilo de ces fruits.
_{Rq: Autre méthode: Diagonaliser A (par C-L), et obtenir x-16,41 comme condition de compatibilité.}

Merci pour l'énigme.

Posté par poug59 (invité)

je pense ke danièle doit payer 16,41 €

Posté par mauricette mauricette

16,41 €

Posté par titoondudu (invité)

on a 3 relations A, B, C pour agnes bernadette ,Caroline
et on cherche la dernierre relation D comme danielle
on s'appercoit que 2A+7B-3C=D
le prix quon cherche est : 2*6+7*3.51-3*6.72=16.41

Posté par chrystelou (invité)

Bonjour,
Danièle devra payer € pour ses fruits !

Posté par lyonnais lyonnais

salut J-P et bonjour à tous :

en notant :

x = prix du kilo de pomme
y = prix du kilo de poire
z = prix du kilo de citron
t = prix du kilo d'orange

on a donc :



Là, on se dit qu'on est mal, parce qu'on a un système 3 équations à 4 inconnues ...

la seule solution est d'éffectuer des combinaisonns linéaires !

il faut donc résoudre ce système là :



en résolvant ce système, on trouve a = -3    b = 7   c = 2

daniel va donc payer :



* image externe expirée *

lyonnais

Posté par mat1205 (invité)

Salut
Problème impossible pour moi car on a 3 équations à 4 inconnus.
Si on connaissait le montant qu'à payer daniel on aurait pu trouver le prix de chaque fruits. Enfin voilà.
A plus.

Au fait j'aurais une énigme à te proposer si ca t'interesse.
Contact moi: *** ou donne moi ton mail

Salut
MATT

édit Océane : pas d'adresse mail dans les messages, merci

Posté par wiat (invité)

Coucou vous tous
Danièle doit payer 16,41 € pour ses fruits.

Posté par Spaceman20 (invité)

"Problème impossible"

Posté par paulo paulo

bonsoir,

apres 2 pages de resolution d'equation je trouve le resultat suivant:

Danielle doit payer au total pour ses fruits 16,36 €

a plus tard

Paulo

Posté par pinotte (invité)

Pas certaine de ma réponse, mais je risque...

16,39 euros???

?

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

La réponse attendue était 16,41 €.

On peut voir la manière d'y arriver dans plusieurs des bonnes réponses données.

A bientôt pour de futures énigmes.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J-P, !!
M'aurais tu oublié???

Posté par lyonnais lyonnais

oui Nofutur2 : il n'y a ni poisson ni smiley devant ton nom ...

T'inquiète, J-P va rectifier ça tout de suite ! lol

lyonnais

Posté par J-P J-P

Pourquoi Nofutur2 dis-tu que que j'ai oublié ?

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Merci J-P !!!
Tout est OK maintenant...

Posté par infophile infophile

Bonjour

excusez-moi de vous déranger...mais comment aboutissez-vous au système "simplifié" , je sais que la méthode a été donnée dans les réponses mais j'ai du mal à cerner le pourquoi du comment

On peut m'expliquer ?

Kevin


_{PS: Bravo à tous}

Posté par lyonnais lyonnais

salut infophile :

dsl hier, j'ai pas pu te répondre sur msn, ma soeur me faisait tout plein de crise de cauchemars ...

Alors déjà, va regarder ma réponse plus haut, qui est, je le pense assez détaillée.

En fait du premier système de trois équations à 4 inconnues, tu peux pas trouver de solution. Donc il faut essayer de trouver, avec le système d trois équations, des combinaisons linéaires pour arriver à l'équation de daniel !

Enfin, j'arrive pas ç très bien l'expliquer ...

Tu comprends ?

Posté par infophile infophile

Merci lyonnais pour l'aide apportée sur MSN, j'ai tout compris maintenant

Bonne journée

Posté par lyonnais lyonnais

de rien

@+ sur l'

bonne journée à toi aussi

Posté par pinotte (invité)

Ah non! 0,02 euros d'erreur... j'ai trop arrondi quelque part, j'imagine! C'est décevant!

Posté par kyrandia (invité)

Pour ceux que ça interesse, un lien qui permet de résoudre des systèmes d'équations à n inconnues

http://progmath.free.fr/gauss/index.html

Posté par philoux (invité)

Merci kyrandia

Il y a aussi, limité à n=3, mais qui explique en même temps la méthode du pivot de Gauss.

Philoux