Ben merci pour ton avis. Il y avait plusieurs autres petites erreurs, j'ai donc tout repris carrément ;



1) A quel moment dit-on qu'une fonction est définie

Pour comprendre cela, rien ne vaut quelques exemples concrets ;
Exemple 1 : considérons la fonction f(x)=2+x.

Exemple 1.1 ; Si (au hasard) x=3, alors f(x) = f(3) = 2+3.
Sur sa calculatrice, on tape 2+3, puis on obtient la réponse 5. Bref, le plus important est qu'on obtient en réponse une valeur (ici, 5). En réponse, on a pas un message d'erreur (ce qui peut arriver).
Comme on a obtenue une valeur en réponse, on dit que cette fonction est définie quand x=3.

Exemple 1.2 ; Si (au hasard) x=114, alors f(x) = f(114) = 2+114.
Calculatrice => 116 ... Puisqu'on a une valeur comme résultat (et pas une erreur comme résultat), on dit que f est définie quand x=114.

Exemple 2 ; considérons la fonction f(x)=2/(1+x).

Exemple 2.1 ; Si (au hasard) x=+4, alors f(x) = f(+4) = 2/(1+(+4)) = 2/(1+4).
Sur sa calculatrice, on tape 2/(1+4), puis en réponse, on obtient pas de message d'erreur.
Donc, on peut dire que f est définie quand x=+4.

Exemple 2.2 ; Si (au hasard) x=-1, alors f(x) = f(-1) = 2/(1+(-1)) = 2/(1-1).
Sur sa calculatrice, on tape 2/(1-1), puis en réponse, on obtient un message d'erreur.
Donc, on peut dire que f n'est pas définie quand x=-1.

Bref, pour savoir si une fonction est définie quand x= 'quelque chose', on calcule f(x) sur sa calculatrice, en remplaçant x par ce 'quelque chose', puis on a alors 2 possibilités ;
- soit la calculatrice ne renvoie pas de message d'erreur, et on dit alors que f(x) est définie quand x= ce 'quelque chose'
- soit la calculatrice renvoie un message d'erreur, et on dit alors que f(x) n'est pas définie quand x= ce 'quelque chose'.

2) Qu'est-ce qu'un ensemble de valeurs

C'est ce qu'il y a de plus facile à comprendre

Exemple 1 : soit l'ensemble de valeurs suivant ; {3, 4.4, 21}. Cet ensemble est composé des 3 valeurs suivantes ; 3, 4.4, et 21.

Exemple 2 : soit l'ensemble de valeurs suivant ; {3}. Cet ensemble est composé de l'unique valeur suivante ; 3.

Exemple 3 : soit les 2 ensembles suivants ;
A = {3, 4.4, 21} et B = {3}.
Soit l'ensemble C tel que C = A - B.
On a donc : C = {3, 4.4, 21} - {3} = {4.4, 21}.

Exemple 4 : est l'ensemble de toutes les valeurs que l'on puisse imaginer (c'est l'ensemble des nombres réels, les nombres à virgules...)

Exemple 5 : Soit l'ensemble A, tel que A = - {12, -3.2}. Cela signifie donc que A est l'ensemble de toutes les valeurs que l'on puisse imaginer, à l'exception des valeurs 12 et -3.2

Exemple 6 : Soit l'ensemble A, tel que A = - {0}. Cela signifie donc que A est l'ensemble de toutes les valeurs que l'on puisse imaginer, à l'exception de la valeur 0. Aussi, on peut dire que A = ^*, puisque - {0} = ^*.

Quand on dit que x appartient à un ensemble de valeur(s), cela signifie que x peut prendre uniquement les valeurs de cet ensemble.

Exemple 7 : soit l'ensemble de valeurs suivant ; A = {3, 4.4, 21}. Soit x tel que x appartienne à A. On aurait pu dire aussi cela ; soit x tel que x A.
Cela veut dire que x ne peut prendre que 3 valeurs ;
On peut avoir x = 3
On peut avoir x = 4.4
On peut avoir x = 21
On ne peut pas avoir x = 300
On ne peut pas avoir x = 234 ...

Il y a aussi la notation avec les crochets. Chacun de ces crochets est soit ouvert, soit fermé.

Exemple 8 : soit l'ensemble de valeurs suivant ; A = [5 ; 8].
Le 1er et le 2ème crochet sont fermés. Si x A, alors ;
On peut avoir x = 5
On peut avoir x = 5.1
On peut avoir x = 8
On ne peut pas avoir x = 8.1
On ne peut pas avoir x = 3
Bref, x ne peut qu'être compris dans l'intervalle 5 -> 8, et puisque les crochets sont fermés, on peut avoir x=5 ou x=8.

Exemple 9 : soit l'ensemble de valeurs suivant ; A = ]- ; 8[.
Le 1er et le 2ème crochet sont ouverts. Si x A, alors ;
On peut avoir x = -34523635655.4445
On peut avoir x = 5.1
On peut avoir x = 0
On ne peut pas avoir x = 8
On ne peut pas avoir x = 8.1
Bref, x ne peut qu'être compris dans l'intervalle - -> 8, et puisque les crochets sont ouverts, on ne peut pas avoir x=8
En ce qui concerne ce 1er crochet ouvert, il faut savoir que quand il s'agit de l'infini, c'est à dire le symbole , que ce soit + ou -, le crochet sera toujours ouvert, c'est une question de convention de notation.

3) Qu'est-ce que c'est que l'ensemble de définition d'une fonction

L'ensemble de définition d'une fonction f(x), est l'ensemble des différentes valeurs que peut prendre x, de manière à ce que f(x) soit définie.

Exemple 1 ; considérons que f(x) est définie uniquement quand x {6, -10, 107} (c'est à dire quand x=6, quand x=-10, ou quand x=107). Dans ce cas, l'ensemble de définition de f(x) est {-10, 107, 6} (l'ordre de ces 3 nombres le compte pas).

Exemple 2 ; considérons que f(x) est définie pour toutes les valeurs de x que l'on peut imaginer. Dans ce cas, l'ensemble de définition de f(x) est l'ensemble .

Exemple 3 ; considérons que f(x) est définie pour toutes les valeurs de x que l'on peut imaginer, à l'exception de 0 (c'est à dire, si x=0). Dans ce cas, l'ensemble de définition de f(x) est l'ensemble -{0}. Cette ensemble (-{0}) peut aussi être noté ^*.

Exemple 4 ; considérons que f(x) est définie pour toutes les valeurs de x que l'on peut imaginer, à l'exception de -23 et 42 (c'est à dire, si x=-23 et x=42). Dans ce cas, l'ensemble de définition de f(x) est l'ensemble -{-23, 42}.

4) Comment calculer l'ensemble de définition d'une fonction

Pour faire cela, on peut raisonner de la manière suivante ;
On se dit que toutes les fonctions sont définies sur , sauf dans les 3 cas suivants ;
- il y a (au moins) une racine carré dans la fonction, où il y a un 'x' dans cette racine
- il y a (au moins) une division dans la fonction, où il y a un 'x' au dénominateur de cette division.
- dans la même fonction, il y a les 2 cas précédents (racine et division ...)
Remarque en passant : il y a en fait d'autres cas, comme par exemple exponentiel, mais pour commencer, on ne va considérer que ces 3 cas.

4.1) Au cas où ... il y a un 'x' dans une racine carré

Avant de passer au vif du sujet de ce paragraphe 4.1, il faut savoir que la fonction x est définie sur [0 ; +[.
Cela implique donc sur notre calculatrice que ;
- 0 => pas d'erreur
- 12 => pas d'erreur
- (+4) => pas d'erreur
- (-1) => erreur
- (-0.1) => erreur.
Bref, on peut remarquer que quand on a taper sur la calculatrice de quelque chose, et que ce quelque chose était compris dans l'ensemble (de définition de la fonction x) [0 ; +[, que cela n'a jamais aboutit à aucun message d'erreur, mais, que quand ce quelque chose ne faisait pas partie de cette ensemble, que cela aboutissait toujours à un message d'erreur.

Maintenant, nous pouvons continuer.
Soit f(x) = 2x (3x+1), on cherche l'ensemble de définition de f(x).
Chercher l'ensemble de définition de f(x), revient à définir (trouver, calculer, présenter) l'ensemble de valeur(s) D, de manière à ce que quel que soit x D, que quand on calcule f(x) sur la calculatrice, que ça n'affiche pas de message d'erreur.
Or, pour ne pas avoir de message d'erreur, on sait que quand on tape sur la calculatrice de quelque chose, que ce quelque chose doit impérativement appartenir à l'ensemble suivant ; [0 ; +[.
Donc, dans notre cas où f(x) = 2x (3x+1), ce quelque chose est ici (3x+1).
Donc, en bref, ici, pour n'avoir aucun message d'erreur, il suffit que (3x+1) (le 'quelque chose' du moment de cet exemple) [0 ; +[.

Quelques exemples au hasard ;
- si x=4, alors (3x+1) = (3(4)+1) = (12+1) = 13, et 13 [0 ; +[. Donc si x=4, le calcul de f(4) (sur la calculatrice) n'aboutira pas à un message d'erreur. En bref, pourquoi ? Parce x=4 => (3x+1)[0 ; +[
Remarque gratuite : on sait donc maintenant, suite à ce calcule, que {4}D.
- si x=-16, alors (3x+1) = (3(-16)+1) = (-48+1) = -47, et -47 [0 ; +[. Donc si x=-16, le calcul de f(-16) (sur la calculatrice) aboutira à un message d'erreur. En bref, pourquoi ? Parce x=-16 => (3x+1)[0 ; +[.
Remarque gratuite : on sait donc maintenant, suite à ce calcule, que {-16}D.

L'objectif est de trouver l'ensemble D, tel que si xD, que (3x+1)[0 ; +[, ce qui peut également s'écrire (3x+1) 0.
Pour calculer D, il suffit donc de résoudre l'inéquation suivante ;
(3x+1) 0
3x -1
(3x)/3 -1/3
x-1/3

Or, x-1/3 peut très bien s'écrire aussi x[-1/3;+[.
On a donc D = [-1/3;+[.

Voilà, D n'est rien d'autre que l'ensemble de définition de f(x) = 2x (3x+1).

4.2) Au cas où ... il y a un 'x' à un dénominateur

Avant de passer au vif du sujet de ce paragraphe 4.2, il faut savoir que la fonction 1/x est définie sur ^*.
Cela implique donc sur notre calculatrice que ;
- 1/1 => pas d'erreur
- 1/(+5) => pas d'erreur
- 1/(-1) => pas d'erreur
- 1/0 => erreur
Bref, on peut remarquer que quand on a taper sur la calculatrice 1 divisé par 'quelque chose', et que ce quelque chose était compris dans l'ensemble (de définition de la fonction 1/x) ^*, que cela n'a jamais aboutit à aucun message d'erreur, mais, que quand ce quelque chose ne faisait pas partie de cet ensemble, que cela a aboutit à un message d'erreur.
Il n'y a donc qu'une unique manière d'obtenir une erreur ; c'est si ce 'quelque chose' est 0.

Maintenant, nous pouvons continuer.
Considérons la fonction f(x) = (2x+8)/(4x+9), on cherche l'ensemble de définition de f(x).
Chercher l'ensemble de définition de f(x), revient à définir (trouver, calculer, présenter) l'ensemble de valeur(s) D, de manière à ce que quel que soit x D, que quand on calcule f(x) sur la calculatrice, que ça n'affiche pas de message d'erreur.
Or, pour ne pas avoir de message d'erreur, on sait que quand on tape sur la calculatrice 1 divisé par 'quelque chose', que ce quelque chose doit impérativement appartenir à l'ensemble suivant ; ^*.
On a ;
f(x) = (2x+8)/(4x+9)
f(x) = (2x+8)(1/(4x+9))
On remarque qu'à l'intérieur de f(x), qu'on a 1/(4x+9). Donc ici, ce 'quelque chose' (dont on parlait précédemment) est (4x+9). Pour n'avoir aucun message d'erreur, il suffit que (4x+9) (le 'quelque chose' du moment de cet exemple) ^*.

Un exemple au hasard ;
Si x=10, alors (4x+9) = (4(10)+9) = (40+9) = 49, et 49 ^*. Donc si x=10, le calcul de f(10) (sur la calculatrice) n'aboutira pas à un message d'erreur. En bref, pourquoi ? Parce x=10 => (4x+9)^*.
Remarque gratuite : on sait donc maintenant, suite à ce calcule, que {10}D.

L'objectif est de trouver l'ensemble D, tel que si xD, que (4x+9)^*, ce qui peut également s'écrire (4x+9) 0.
Pour calculer D, il suffit donc de résoudre l'équation suivante ;
(4x+9) 0
4x -9
(4x)/4 -9/4
x -9/4

Or, x-9/4 peut très bien s'écrire aussi x-{-9/4}.

Entre parenthèses, x-9/4 peut s'écrire aussi x]-;-9/4[]-9/4;+[, mais, dans ce tutoriel, nous n'avons étudié que les ensembles au paragraphe 2, nous n'avons pas étudié les ensembles obtenus à partir de réunions d'ensembles. Or dans cette notation, D est ici défini par l'union des 2 ensembles suivants ;
- ]-;-9/4[ et
- ]-9/4;+[.
Fin de parenthèses, revenons à nos montons

On a donc D = -{-9/4}.

Voilà, D n'est rien d'autre que l'ensemble de définition de f(x) = (2x+8)/(4x+9).

Rebelote, vous êtes toujours invités à corriger, à donner votre avis, questions ...

Cool .

Un autre exemple ; on cherche l'ensemble de définition de f(x)=1/(2x²+4x+5)
Chercher l'ensemble de définition de f(x), revient à définir (trouver, calculer, présenter) l'ensemble de valeur(s) D, de manière à ce que quel que soit x D, que quand on calcule f(x) sur la calculatrice, que ça n'affiche pas de message d'erreur.
Or, pour ne pas avoir de message d'erreur, on sait que quand on tape sur la calculatrice 1 divisé par 'quelque chose', que ce quelque chose doit impérativement appartenir à l'ensemble suivant ; ^*.
On a ; f(x)=1/(2x²+4x+5)

Ici, ce 'quelque chose' (dont on parlait précédemment) est (2x²+4x+5). Pour n'avoir aucun message d'erreur, il suffit que (2x²+4x+5) (le 'quelque chose' du moment de cet exemple) ^*.

L'objectif est de trouver l'ensemble D, tel que si xD, que (2x²+4x+5)^*, ce qui peut également s'écrire (2x²+4x+5) 0.

Pour calculer D, il suffit donc de résoudre l'équation suivante ;
(2x²+4x+5) 0
On peut voir comment on a résolu cette équation ici ; https://www.ilemaths.net/sujet-comment-resoudre-une-equation-du-second-degres-414276.html
x , voici à quoi on aboutit.

Or, x peut très bien s'écrire aussi x-{}.
Ce qui suit est devinable ; -{} = .

On a donc D = .

Voilà, D n'est rien d'autre que l'ensemble de définition de f(x) = 1/(2x²+4x+5).

Bonjour jsuis en galere vous pouvez m'aidez svvp !

Jai un DM et  le premier exo cé : determiner l'ensemble de definition des fonctions suivantes :

f1 : x -->(cé une fleche)  3x(petit 2) + 5

f2: x --> 1/1-x

f3 : x --> 2x+5/ x2( x au carré) - 9

f4 : x --> Vx+4 (racine carré)

f5 : x --> V3-x



Merci bcp pcq jcomprend rien et jai lu attentivement se tutoriel