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des pommes !

   
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autredes pommes !

#msg244978 Posté le 12-07-05 à 22:31
Posté par N_comme_Nul (invité)

Bonsoir !

Allez, une p'tite dernière pour ce soir .

Un marchand a vendu
à son premier client la moitié de ses pommes plus une demi-pomme,
au deuxième client la moitié du reste plus une demi-pomme,
au troisième client la moitié du reste plus une demi-pomme,
etc.,
jusqu'au septième client, après lequel il ne lui restait plus de pommes.
Combien de pommes avait le marchand ?

re : des pommes !#msg244984 Posté le 12-07-05 à 22:52
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Re

Alors on pose la suite U qui à chaque client n associe le nombre de pomme qu'il lui donne .

U vérifie alors
3$\rm \{{U_{1}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\U_{n+1}=\frac{1}{2}U_{n}+\frac{1}{2}

On pose la suite V telle que :
3$\rm V_{n}=U_{n}-1

On a alors :
3$\rm V_{n+1}=\frac{1}{2}V_{n} (je te passe le calcul lol)

On en déduit que V est géométrique de raison 1/2 et de premier terme 3$\rm V_{1}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}

Ainsi :
3$\rm V_{n}=\(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)\times 2^{-n+1}
donc :
3$\rm U_{n}=\(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)2^{-n+1}+1

On cherche alors x tel que : U7=0 et on a x=127

Modulo étourderies


Jord
re : des pommes !#msg244993 Posté le 12-07-05 à 23:06
Posté par N_comme_Nul (invité)

Pour le résultat je suis d'accord, par contre, ce ne serait pas le 8-ième client qui ne reçoit rien ?

Aussi,
le premier client reçoit
    \frac{x}{2}+\frac{1}{2}=\frac{x+1}{2}

le deuxième, lui reçoit :
    \frac{1}{2}\left(x-\frac{x+1}{2}\right)+\frac{1}{2}=\frac{x+1}{4}

avec ta suite U, tu trouves :
    U_2=\frac{U_1+1}{2}=\frac{x+3}{4}

re : des pommes !#msg244995 Posté le 12-07-05 à 23:10
Posté par Profilrene38 rene38

Bonsoir

N_comme_Nul > c'est plus marrant avec des œufs qu'avec des pommes ...
re : des pommes !#msg244996 Posté le 12-07-05 à 23:12
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Oui il doit y avoir une étourderie quelque part, je chercherais plus tard lol


jord
re : des pommes !#msg244997 Posté le 12-07-05 à 23:12
Posté par ProfilNightmare Nightmare

rene38 , c'est dur de couper un oeuf en deux
re : des pommes !#msg244998 Posté le 12-07-05 à 23:14
Posté par Profilrene38 rene38

Nightmare > c'est dur de couper un oeuf en deux

et c'est là qu'est tout l'intérêt !
re : des pommes !#msg244999 Posté le 12-07-05 à 23:15
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Je vois
re : des pommes !#msg245000 Posté le 12-07-05 à 23:20
Posté par N_comme_Nul (invité)

Avec ta suite, je te propose :
    U_1=\frac{x+1}{2}
    U_{n+1}=\frac{1}{2}(x-(\underbrace{U_1+\cdots+U_n}_{\rm ce qui a ete donne aux autres}))+\frac{1}{2}
re : des pommes !#msg245001 Posté le 12-07-05 à 23:21
Posté par Profilrene38 rene38

Remarquons que de toute façon, on ne casse aucun œuf.
Quant à savoir si c'est le septième ou le huitième "client" qui ne reçoit rien, c'est l'éternelle question du premier terme de la suite : U0 ou U1 ?
re : des pommes !#msg245003 Posté le 12-07-05 à 23:24
Posté par N_comme_Nul (invité)

rene38 : Nightmare a choisi de commencer sa suite à 1
re : des pommes !#msg245004 Posté le 12-07-05 à 23:24
Posté par ProfilNightmare Nightmare

On trouve 127 avec ta suite N_comme_Nul ?
re : des pommes !#msg245006 Posté le 12-07-05 à 23:26
Posté par N_comme_Nul (invité)

"ma" ? c'est la tienne
re : des pommes !#msg245008 Posté le 12-07-05 à 23:39
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Bah non tu l'as changée un petit peu quand même N_comme_Nul lol
re : des pommes !#msg245010 Posté le 12-07-05 à 23:41
Posté par N_comme_Nul (invité)

Tu n'es pas obligé de passer par cette suite horrible

Le premier reçoit : \frac{x+1}{2}

Le deuxième reçoit : \frac{x+1}{4}

Le troisième reçoit : \frac{x+1}{8}
( \frac{1}{2}\left(x-\left(\frac{x+1}{2}+\frac{x+1}{4}\right)\right)+\frac{1}{2} )

Le quatrième reçoit : \frac{x+1}{16}

etc.

Le septième reçoit : \frac{x+1}{128}

Quelle est alors l'équation à résoudre ?

Indication pour la suite : on remarque que les dénominateurs sont des puissances de 2.
re : des pommes !#msg245011 Posté le 12-07-05 à 23:42
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Lol je dois vraiment répondre à la question ?


Jord
re : des pommes !#msg245014 Posté le 12-07-05 à 23:44
Posté par N_comme_Nul (invité)

Euh ... ouais
re : des pommes !#msg245015 Posté le 12-07-05 à 23:45
Posté par N_comme_Nul (invité)

Ou bien alors poursuis avec "ta" suite, je te suis
re : des pommes !#msg245016 Posté le 12-07-05 à 23:46
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Euh là il se fait un petit peu tard mdr , je reprendrais demain peut être dsl
re : des pommes !#msg245017 Posté le 12-07-05 à 23:48
Posté par N_comme_Nul (invité)

Bon alors tu as à résoudre :
    \sum_{k=1}^7\frac{x+1}{2^k}=x
( toutes les parts = nombre total de pommes )

Après, ça va vite
re : des pommes !#msg245020 Posté le 13-07-05 à 00:12
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

tien je me demande comment tu resout ceci N_comme_Nul (c long a ecrire !!)
re : des pommes !#msg245023 Posté le 13-07-05 à 00:20
Posté par N_comme_Nul (invité)

Ok, H_aldnoer :

On a :
    \sum_{k=1}^7\frac{x+1}{2^k}=x
c'est-à-dire :
    (x+1)\sum_{k=1}^7\left(\frac{1}{2}\right)^k=x

On reconnaît une progression géométrique de premier terme
    \frac{1}{2}
et de raison :
    \frac{1}{2}

Ainsi,
    4$\displaystyle\sum_{k=1}^7\left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{2}\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^7}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^7}=\frac{127}{128}

Ok ? Le reste ...

re : des pommes !#msg245024 Posté le 13-07-05 à 00:39
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

euh pour moi pas trop surtout a cette heure ci j'ai vraiment du mal avec 3$\rm \Bigsum !!

je verrai ca demain

@+
re : des pommes !#msg245025 Posté le 13-07-05 à 00:40
Posté par N_comme_Nul (invité)

Ouais, on dirait un crabe ou une machine avec des bras articulés
Mais c'est pas si terrible, d'ailleurs, ça simplifie la vie
re : des pommes !#msg245046 Posté le 13-07-05 à 09:25
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

cayé je vien de comprendre lol

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