Inscription / Connexion Nouveau Sujet
suites
Bonjour,
est ce que quelqun pourait corriger mes reponses pour l'exercice suivant svp.
Enonce:
On sait tous qu'il ya des annees a coccinelles et d'autres sans!
On se propose d étudier l'evolution d'une population de coccinelles a l'aide d'un modele utulisant la fonction numeriquef definie par f(x)= kx(1-x), k etant un parametre qui depend de l'environnement (k appartenant a R).
Dans le modele choisi , on admet que le nombre de coccinelles reste inferieur a un million.
L'effectif des coccinelles, exprime en millions d'invidus, est approche pour l'annee n par un nombre reel un, avec un compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l'annee zero, il y a 300 000 coccinelles, on prendra u_0=0.3.
On admet que l'evolution d'une annee sur l'autre obeit a la relation u_n+1=f(Un), f etant la fonction definie ci-dessus.
Le but de l'exercice est d'etudier le comportement de la suite (un) pour differentes valeurs de la population initiale u_0 et du parametre k.
1) Si la suite (un) converge, quelle relation verifie alors sa limite? Quelles sont alors les valeurs possibles de cette limite?
ma reponse:Si la suite converge , elle est donc bronee, elle est donc comprise entre [0;1]. La limite est donc egelement compris entre [0;1].
2)Supposons u_0=0.4 et k=1.
a) Etudier le sens de variation de un.
ma reponse : Soit un+1=f(un) par f(x)=kx(1-x)
donc comme k=1, f(x)= x(1-x) , f'(x)=-2x+1 donc f est decroissante sur [o;+ infini
Donc par recurrence...... Un est eglement decroissante sur [o;+infini.
b)Montrer par recurrence que , pour tout entier n, 0 =< un =<1.
=< : superieur ou egale.
Demonstration par recurrence.
P(n) , propriete demontant que 0 =< un =<1.
u0=0.3 donc 0=<uo=<1 donc P(o) est vrai.
Comme on a demontre que un+1=f(un) par f(x) et que f(x) est decroisante sur [0;+infini , on peut dire que;
f(o)=<f(un)=<f(1)
0=<f(x)=<0
donc 0=<un+1+<1 , donc P(n+1) est vraie.
Donc par le principe de recurence , on en deduit que la propriete P(n) est vraie pour tout entier naturel n, donc 0 =< un =<1.
c)La suite (un) est -elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite?
La suite est convergente car elle est decroissante et minoree par 0.
Sa limite est 0, car l=l(1-l) l=0.
d)Que peut-on dire de l'evolution a long terme de la population de coccinelles avec ces hypotheses?
Donc comme un tend vers 0, la population va se reduire.
merci beaucoup
bonjour,
je viens de lire tes réponses, et il y a quelques choses importantes à revoir:
1) ta remarque est très bien, mais ne pourrais-tu pas remarquer que si u_n converge vers une limite m, alors cette limite est aussi celle de u_n+1.
Or u_n+1 = f(u_n).
Donc la limite m devrait vérifier m = f(m). Puis tu résous cette équation
2)a)il ne me semble pas que dans ton cours sur les suites il est dit que "si f est décroissante, alors u_n est aussi décroissante".Cette idée est complètement fausse!! Surtout que ton étude de fonction est fausse...
Il faut donc repartir de l'étude du signe de u_n+1 - u_n pour savoir le sens de variation. Puis effectivement, tu constateras que la suite est décroissante....
2)b)Tu débutes bien ta récurrence(sauf que u_0 = 0.4), en revanche, pour montrer que P(n+1) est vraie, il y a erreur, puisque l'étude de fonction était fausse.
Mais le plus simple, était d'utiliser que:
u_n+1= u_n.(1 - u_n) et 0<= u_n <= 1
T'en déduis en outre que 0<= 1 - u_n <= 1
Donc 0<= u_n.(1-u_n) <= 1
Donc P(n+1) est vraie....
2)c)Ta réponse est presque correcte....sauf qu'il faut utiliser la question 1) où tu auras dit quelles sont les valeurs possibles de la limite de la suite...
bonne journée
re,
merci beaucoup pour votre aide, mais je ne comprends par pouquoi mon etude de la fonction f(x0 est fausse.
Puisqu'on a kx(1-x) et k=1
f(x)=x(1-x) et f'(x)=-2x+1?
donc f decroisannte?
merci
salut,
ta derivee est juste mais tu remarques que
pour x
[0,1/2] f'(x)>=0,
f est decroissante sur [1/2,+oo[
1)
Si la suite converge, on a lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1) = L (1)
Avec U(n+1) = k.U(n).(1-U(n))
lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) [k.U(n).(1-U(n))]
Et avec (1) -->
L = k.L.(1-L)
1 = k.(1-L)
1 = k - kL
kL = (k-1)
L = (k-1)/k
Si la suite converge, se sera vers la valeur (k-1)/k
Comme il est impossible que la population de coccinelles soit négative, les valeurs possibles de convergence sont soit 0, soit (k-1)/k si cela donne une valeur positive
-----
2)
a)
U(0) = 0,4 et k = 1
U(n+1) = U(n).(1-U(n))
U(n+1) - U(n) = U(n).(1-U(n)) - U(n)
U(n+1) - U(n) = -(U(n))²
U(n+1) - U(n) < 0
U(n+1) < U(n)
La suite est décroissante.
---
b)
Supposons 0 <= U(n) <= 1 pour une certaine valeur k de n, on a:
0 <= U(k) <= 1
-0 >= -U(k) >= -1
-1 <= -U(k) <= 0
1-1 <= 1-U(k) <= 1
0 <= 1-U(k) <= 1
Et comme U(k) est positif -->
0.U(k) <= U(k).(1-U(k)) <= 1.U(k)
0 <= U(k).1-U(k) <= U(k)
et comme u(k) <= 1, on a:
0 <= U(k).(1-U(k)) <= 1
0 <= U(k+1) <= 1
Donc si on a 0 <= U(n) <= 1 vrai our une certaine valeur k de n, c'est encore vrai pour n = k+1. (1)
U(0) = 0,4 --> on a 0 <= U(0) <= 1
Comme 0 <= U(0) <= 1, on a par (1) que 0 <= U(1) <= 1
Comme 0 <= U(1) <= 1, on a par (1) que 0 <= U(2) <= 1
Comme 0 <= U(2) <= 1, on a par (1) que 0 <= U(3) <= 1
Et ainsi de proche en proche, on a 0 <= U(n) <= 1 pour tout n de N.
---
c)
Avec U(0) = 0,4 et k = 1, la suite Un est décroissante et minorée, elle est donc convergente.
Par la partie 1 de l'exercice, elle converge vers (k-1)/k = (1-1)/1 = 0.
---
d)
Avec ces hypothèses, la population de coccinelles va diminuer jusqu'à tendre à disparaître.
-----
Sauf distraction. 
merci beaucoup pour ton aide,
mais pour la 2) est ce que ma recurrence avec f(x) est fausse?
merci
Tu as conclu que f(x) était décroissante sur [0 ; oo[ , mais c'est faux.
f(x) = x(1-x)
f '(x) = 1-2x
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; 1/2[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1/2
f '(x) < 0 pour x dans ]1/2 ; oo[ -> f(x) décroissante.
Et donc, tu vois bien que ta démo de récurrence ne peut être correcte puisqu'elle utilise une donnée fausse.
-----
OK ?
Voila:
f(x) = x(1-x)
f '(x) = 1-2x
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; 1/2[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1/2
f '(x) < 0 pour x dans ]1/2 ; oo[ -> f(x) décroissante.
Il y a un max de f(x) pour x = 1/2
f(1/2) = (1/2).(1-(1/2)) = 1/4
f(0) = 0
f(1) = 0
De tout ce qui précède, on conclut que 0 <= f(x) <= 1/4 pour x dans [0 ; oo[
Donc a fortiori, on a: 0 <= f(x) <= 1 pour x dans [0 ; 1] (1)
Supposons 0 <= U(n) <= 1
En remplaçant x par U(n) dans (1), il vient:
0 <= f(Un) <= 1 pour U(n) dans [0 ; 1]
0 <= U(n+1) <= 1 pour U(n) dans [0 ; 1]
Et donc si U(n) dans [0 ; 1], alors on a aussi U(n+1) dans [0 ; 1] (2)
--
Comme 0 <= U(0) <= 1, on a par (2) que 0 <= U(1) <= 1
Comme 0 <= U(1) <= 1, on a par (2) que 0 <= U(2) <= 1
Comme 0 <= U(2) <= 1, on a par (2) que 0 <= U(3) <= 1
Et ainsi de proche en proche, on a 0 <= U(n) <= 1 pour tout n de N.
----------
Sauf distraction.
Ma réponse précédente est pour le 2b.
----
Pour le 2a, on peut étudier la fonction g(x) = f(x) - x
g(x) = x(1-x) - x
g(x) = -x²
g'(x) = -2x
g'(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> g(x) est décroissante.
g(0) = 0
Et donc g(x) <= 0 pour x dans [0 ; oo[
x(1-x) - x <= 0 pour x dans [0 ; oo[
x(1-x) <= x pour x dans [0 ; oo[
En remplaçant x par U(n)
--> U(n).(1-(U(n)) <= U(n) pour U(n) dans [0 ; oo[
U(n+1) <= U(n) pour U(n) dans [0 ; oo[
Et donc Un est décroissante (pour autant que U(n) reste positif).
-----
Sauf distraction.
re,
desole mais il rets une question pour cette exercice et je ne suis pas ur comment faire.
3) Supposons maintenant que u_o=0.3 et k=1.8
a)Etudier les variations de f sur [0;1].
b)On admet pour tout entier naturel o<=un<=1/2.
En utulisant un raisonnement par recurrence , etablir que, pour tout entier naturel n, un+1=>un.
merci beaucoup
J-P, pour les questions précédentes, il me semble qu'il est juste, mais un peu superflu, de dériver pour connaître le sens de variation et le minimum des fonctions.
Pour , la représentation graphique est une parabole dont l'extrémité est en haut [à mieux formuler, c'est lointain pour moi] puisque le signe de
est "moins". Le maximum est atteint en 1/2 (milieu des deux racines) et vaut 1/4 (en remplaçant dans l'expression de f).
Donc f est strictement croissante sur puis strictement décroissante sur
Et elle admet pour maximum 1/4 (en x=1/2)
Pour , c'est encore plus immédiat !
Nicolas
Je me permets de revenir sur 1).
Xavier005, tu écris:
"1) Si la suite (un) converge, quelle relation verifie alors sa limite? Quelles sont alors les valeurs possibles de cette limite?
ma reponse:Si la suite converge , elle est donc bronee, elle est donc comprise entre [0;1]. La limite est donc egelement compris entre [0;1]. "
Je ne comprends pas comment tu peux dire aussi rapidement que les éléments de la suite et leur limite éventuelle sont dans [0;1]. C'est à justifier par quelques calculs, et c'est justement l'objet de la question 2)b)
J-P, dans ton corrigé, attention, tu fais une division par sans traiter explicitement le cas
.
Nicolas
Je sais Nicolas_75 que la dérivée n'est pas indispensable.
Je l'ai utilisée puisque xavier005 l'avait fait dans sa question initiale.
Personnellement j'aime mieux ce qui suit:
f(x) = x(1-x)
f(x) = -x²+x
f(x) = -(x-(1/2))² + (1/4)
Et comme -(x-(1/2))² <= 0, f(x) est max pour x=1/2 et ce max vaut 1/4.
Tous les chemins mènent à Rome.
J-P, j'apprécie encore plus ta rédaction pour l'étude de f.
Je reviens encore sur 1). Une formulation plus rigoureuse n'est-elle pas la suivante ?
donc :
- soit
- soit non nul et
,
(Il faut d'ailleurs supposer k non nul, ce qui n'est pas fait dans l'énoncé, mais est évident, sinon f = fonction nulle - encore faut-il le dire)
Nicolas
Dans ce cas 2)c) devient :
est décroissante minorée. Donc elle converge vers 0 ou
, donc vers 0.
Nicolas
Remarque sur l'énoncé du 3)b)
"On admet pour tout entier naturel o<=un<=1/2"
En fait, on n'a pas besoin de l'admettre. C'est une conséquence directe du tableau de variation de la fonction. Tu vois pourquoi ?
Nicolas
Maintenant, je reviens sur 2)a) (Désolé pour le désordre !) : étudier le sens de variation de
J-P a proposé ci-dessus deux solutions, basées sur l'étude de
Il y a une autre méthode, sans aucun calcul.
Le tableau de variation de f est le suivant sur [0,1] :
Donc f envoie [0,1/2] dans [0,1/4], donc a fortiori dans [0,1/2].
Donc, par une récurrence immédiate (puisque ), tous les
sont dans [0,1/2]
Sur [0,1/2], f est croissante, donc, à nouveau par une récurrence très facile, est décroissante :
- vérifier
-
Cette idée peut être facilement utilisée pour 3)
Nicolas
Bonjour, j'ai essayer de faire la question 3, est ce que quelqun pourait me corriger svp.
re,
desole mais il rets une question pour cette exercice et je ne suis pas ur comment faire.
3) Supposons maintenant que u_o=0.3 et k=1.8
a)Etudier les variations de f sur [0;1].
b)On admet pour tout entier naturel o<=un<=1/2.
En utulisant un raisonnement par recurrence , etablir que, pour tout entier naturel n, un+1=>un.
a)f(x)=kx(1-x) or k=1.8 donc on a f(x)=1.8x(1-x)
f'(x)=-18x/5+9/5 donc la fonction f est croisante sur [o:1/2[ et decroisante sur ]1/2;1].
b)Demonstration par recurrence:
P(n):un+1=>un
uo=0.3 u1=0.38 donc u1>uo , donc P(0) est vraie.
Pour le reste de la recurrence , je na'rrive pas a demontrer que P(n+1) est vraie car je ne conais pas le sens de variation de un.
Veuillez m'aider svp.
merci beaucoup
Montrons déjà pour le plaisir que, pour tout n,
Le tableau de variation de f est :
f envoie [0;1/2] dans [0;0,45], donc a fortiori dans [0;1/2]
Or est dans [0;1/2].
Donc, par une récurrence immédiate, tous les sont dans [0;1/2]
Ensuite, on fait exactement 
comme hier à 16h06.
On sait que tous les sont dans [0;1/2]
De plus, sur [0,1/2], f est croissante.
Donc on montre que pour tout n, , par récurrence :
- vérifier
-
Nicolas
re,
merci beaucoup pour ton aide,juste une petite question on fait comment pour demontrer que f(un)=>f(un-1).
merci
Annuler
connectez vous