Bonsoir jmix90;
tu raisonnes par l'absurde et tu as donc l'existence d'un entier strictement positif tel que:

tu considéres alors la fonction
g est continue et ne s'annule pas sur on déduit donc qu'elle y garde un signe constant que l'on peut supposer strictement positif ( en changeant en - qui vérifie les mm hypothéses que )
et on a donc:

c'est à dire que:

en sommant ces inégalités on aboutit à la contradiction

L'énoncé commence par "f continue", et se termine par "montrer qu'il existe xn tel que f(...)=0" à peu de choses près => théorème des valeurs intermédiaires !

Première étape : visualiser au brouillon, pour comprendre

Trace en forme de cloche avec
Trace sur le même graphe , qui est la même courbe, légèrement décalée. On voit que, avec cette disposition initiale, les deux courbes se croisent "nécessairement" après le maximum de

Deuxième étape : démonstration

Soit n entier naturel >0

est continue sur
Donc est un intervalle
m est le minimum de f sur
M est le maximum de f sur
Soit dans tel que ( est le point où f atteint son minimum sur )
Soit dans tel que ( est le point où f atteint son maximum sur )

Soit définie sur par :


est continue sur .
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe dans , donc a fortiori dans tel que
C'est-à-dire :
il existe dans tel que

Sauf erreur.

Nicolas

Non, ma démonstration est fausse.
Car m est le minimum de f uniquement sur [0;1-1/n+1]
Donc rien ne dit que phi(xm) >= 0

Désolé.

Je me pose une question, et espère que je ne vais pas dire de bêtises.
Est-il vrai, plus généralement, que :

Soit continue sur telle que
Soit réel quelconque tel que
Alors il existe dans tel que

Nicolas

bonjour,

elhor, pour sommer les inégalités, il faut que f soit linéaire non ?

Nicolas, et si on prends m,  minimum de f sur et M maximum de f sur , ca marche non?

Merci pour votre précieuse, et a Nico qui explique bien la méthode! c'est génial!

Amicalement,

jmix90,

Sauf erreur, ma méthode ne me permet pas de conclure, du moins, je crois.
En effet, si on fait, comme tu le dis :
m = minimum de f sur [0;1] atteint en xm
M = maximum de f sur [0;l] atteint en xM

Alors on n'est pas sûr que xm et xm appartiennent à [0;1-1/n+1], donc on ne peut pas utiliser phi. Malheureusement.

Regarde plutôt la méthode d'elhor. f n'a pas besoin d'être linéaire. C'est une simplification du genre :
ab---
a+b a
Nicolas