Je ne trouve aucune solution !!!

Bonjour,

voici ma réponse :

5 parties ont été jouées

avec a=7, b=3 et c=1.

Ainsi :

Le premier joueur a fini 4 fois 1er, 0 fois 2eme et 1 fois 3eme soit 4*7+1*1=29 points.
Le deuxième joueur a fini 0 fois 1er, 5 fois 2eme et 0 fois 3e soit 5*3=15 points.
Le troisième joueur a fini 1 fois 1er, 0 fois 2eme et 4 fois 3e soit 1*7+4*1=11 points.

Je n'ai pas trouvé d'autres solutions.

Merci!

Bonjour,

^{il existe probablement énormément de possibilités si les points attribués ne sont pas entiers...}

Sinon, une première recherche donne un total nécessaire de 5 parties.
Les points attribués pouvant être:
a=5,b=4,c=2
a=6,b=3,c=2
a=6,b=4,c=1
a=7,b=3,c=1
a=8,b=2,c=1

Les 3 premiers cas se traitent vite avec l'impossibilité de réaliser un total de 29.
Reste donc les deux derniers où il faut fouiller un peu plus histoire de ne rien oublier.

Sauf erreur, le dernier est stérile.

Je trouve alors deux configurations (variantes):
Joueur n°: Premier/Seconde/Troisième

J1:4-0-1
J2:0-5-0
J3:1-0-4

J1:4-0-1
J2:1-2-2
J3:0-3-2

La réponse finale est donc 5 parties avec respectivement 7 pts, 3pts et 1pt au classement pour le premier, second et troisième.
soit 5 parties et a=7, b=3 et c=1.

Merci pour l'enigmo.

Salut jamo,

je ne trouve qu'une seule solution :
5 parties avec la répartition de points suivante à chaque partie :
a=7, b=3 et c=1.


Merci pour l'énigme, et bonne fin de vacances...

Re,

Soient a, b et c les points attribués à chaque fin de partie. Supposons qu'il y ait eu n parties.
On remarque que 55 points ont été distribués en tout (29+15+11).

On a alors : n(a+b+c)=55,
donc n divise 55.

On a quatre possibilités :
n=1, impossible car on sait que plus d'une partie a été jouée.

n=5.

n=11, impossible car il faudrait répartir 5 points par partie entre les trois joueurs, or il faut au moins un point pour le dernier et que les trois scores soient différents, soit au minimum 1+2+3=6 points.

n=55 , impossible car il faudrait répartir 1 seul point par partie entre les trois joueurs.


Reste donc un seul cas, celui où l'on dispute 5 parties.
Il faut donc repartir 11 points par partie,
on a alors 5 cas :
a=8, b=2 et c=1
a=7, b=3 et c=1
a=6, b=4 et c=1
a=6, b=3 et c=2
a=5, b=4 et c=2

Cas n°1 : a=8, b=2 et c=1
On ne peut pas faire 11 avec une somme de cinq termes (parmi 1, 2 et 8), car si on met un 8, on ne pourra pas faire 3 avec une somme de quatre termes (parmi 1 et 2).
Donc il n'y a pas de 8, et du coup on ne peut faire 11 avec une somme de quatre termes (parmi 1 et 2). IMPOSSIBLE.

Cas n°2 : a=7, b=3 et c=1
Possible, par exemple : 1+7+7+7+7=29, 3+3+3+3+3+3=15 et 7+1+1+1+1=11.

Cas n°3 : a=6, b=4 et c=1
On remarque que pour faire 29 avec un somme de cinq termes (parmi 1, 4 et 6) il faut au moins quatre 6, et il manquerait 5. IMPOSSIBLE.

Cas n°4 : a=6, b=3 et c=2
Semblable au cas n°3. IMPOSSIBLE.

Cas n°5 : a=5, b=4 et c=2
De la même façon on ne pourra pas faire 29 avec une somme de cinq termes (parmi 2, 4 et 5), on remarque même qu'on ne pourra pas faire plus de 25 (=5+5+5+5+5). IMPOSSIBLE.


Au final, on a donc une seule solution , celle ou 5 parties ont été jouées et où a=7, b=3 et c=1.

Bonne journée.

Bonjour,

Il a été joué 5 parties en attribuant
7 points au premier
3 au second et 1 au dernier

exemple de scores

j1 j2 j3
1  2  3 ---> 7   3   1
1  2  3 ---> 14  6   2
1  2  3 ---> 21  9   3
1  2  3 ---> 28  12  4
3  2  1 ---> 29  15  11

Bonjour Jamo.
Il y a eu cinq parties, rapportant chacune 7 points à son gagnant, 3 points à son second et 1 pointà son troisième.
En appelant les joueurs G(agnant), S(econd) et P(erdant) suivant leurs places au classement général, les résultats suivants sont possibles :
GSP
GSP
GSP
GSP
PSG
ou
GSP
GSP
GPS
GPS
SPG

Une seule solution :

5 partie jouées
a=7
b=3
c=1

Bonjour,

Je pense (et j'espère) qu'il n'y a qu'une possibilité :
ils ont joué
5 parties
dont les points valaient
(a=7)>(b=3)>(c=1)

Normalement, j'ai pris mon temps, je me suis relu et j'ai répondu à toute la question...

Il faut encore que ce soit juste

Merci pour l'énigme,

Tof.

5 parties ont été jouées, et les trois scores possibles sont dans l'ordre a=7, b=3 et c=1.

Le nombre de parties et la somme des gains a+b+c divisent la somme 29+15+11 = 55. Il en résulte que ces deux nombres sont soit 1, soit 5, soit 11, soit 55.
Après avoir éliminé les cas impossibles, il ne reste que 5 pour le nombre de parties jouées.

Bonjour,

Réponse: 5 parties ont été jouées avec a = 7, b = 3 et c = 1.

A chaque partie, la somme totale des points alloués aux trois joueurs est égale à s = a+b+c qui divise donc 29 + 15 + 11 = 55 dont la factorisation est 55 = 5*11.

s peut donc prendre 3 valeurs = 1, s = 5 et s = 11.
Le cas s=1 est trivialement exclu.
Le cas s=5 est aussi à exclure car a>b>c>0 entraîne a+b+c>=3+2+1=6.
Le seul cas possible est donc s = 11. Il en découle que 5 parties ont été jouées.

Les partitions de l'entier 11 selon les triplets ordonnés (a>b>c>0)sont les suivantes (8,2,1), (7,3,1), (6,4,1), (6,3,2) et (5,4,2).
On vérifie aisément que les trois derniers triplets (6,4,1), (6,3,2) et (5,4,2)sont impossibles car le score le plus élevé de 29 est inaccessible.Par exemple :4*6 + 1*4 = 28<29. Il en est de même du triplet (8,2,1) avec lequel 4*8 + 1*1 = 33 >29 et 3*8 + 2*2 = 28 <29.
Seul le triplet (7,3,1) est à retenir et l'on obtient:
29 = 4*7 + 1*1, 15 = 1*7 + 2*3 + 2*1 et 11 = 3*3 + 2*1.

Bonjour Jamo,

Chouette un 3 étoiles:
=> problème impossible: pas de solution
à cause de a>b>c>0.

Une explication:


Sauf erreur, sans connaître la théorie de ce problème:



le joueur n°1 a été
k1 fois en position 1
k2 en position 2
k3 en position 3.
k1+k2+k3=n
k1.a+k2.b+k3.c=29 (1)


le joueur n°2
m1 fois en position 1
m2 en position 2
m3 en position 3.
m1+m2+m3=n
m1.a+m2.b+m3.c=15 (2)

le joueur n°3
n-k1-m1 fois en position 1
n-k2-m2 en position 2
n-k3-m3 en position 3

n-k1-m1+n-k2-m2+m-k3-m3=3n-n-n=n (ok)
(n-k1-m1).a+(n-k2-m2).b+(n-k3-m3).c=11
=>n(a+b+c)=55
=>n=5              ou   n=11
et (a+b+c)=11 ou (a+b+c)=5

nb parties= 5
K1,K2,K3,M1,M2,M3,A,B,C
1  4  0  3  0  2 | 5  6  0 |

nb parties= 11
K1,K2,K3,M1,M2,M3,A,B,C
2  9  0  5  2  4 | 1  3  1 |
2  9  0  6  2  3 | 1  3  1 |
2  9  0  7  2  2 | 1  3  1 |
2  9  0  8  2  1 | 1  3  1 |
2  9  0  9  2  0 | 1  3  1 |
3  7  1  5  3  3 | 0  4  1 |
4  7  0  6  1  4 | 2  3  0 |
5  6  0  7  2  2 | 1  4  0 |
7  0  4  5  6  0 | 3  0  2 |
9  0  2  2  8  1 | 3  1  1 |
9  0  2  2  9  0 | 3  1  1 |
9  1  1  5  6  0 | 3  0  2 |
9  1  1  2  8  1 | 3  1  1 |
9  1  1  2  9  0 | 3  1  1 |
9  2  0  2  8  1 | 3  1  1 |
9  2  0  2  9  0 | 3  1  1 |
Merci pour l'énigmo.

Bonjour,
5 parties, avec pour points attribués 7, 3 et 1.

Je ne comprends pas les 3 étoiles attribuées.
Soit n le nombre de parties jouées.
n(a+b+c) = le nombre de points distribués = 11+15+29 = 55 =5 * 11
Nous savons aussi que a+b+c >= 1+2+3 = 6.
Donc il y a eu 5 parties et a+b+c = 11.
On en déduit que c < 3 puisque si c >=3, a+b+c > 11.
il ne reste plus qu'à essayer c=1, b=2 ou c=1 b=3, c=1 b=4, c=2 b=3 et c=2 b=4 avec a=11-(a+b)
On voit immédiatement que pour faire 29 en 5 coups, il n'y a qu'une solution.
.... si je ne me suis pas complètement trompé !

Merci pour l'énigme.

Bonjour Jamo,

Pour les variables demandées, je ne trouve qu'une solution possible :  n = 5 parties  ;  a = 7  ;  b = 3  ;  c = 1

Deux configurations différentes des 5 parties conduisent à ce même résultat :
- deux parties PDT, deux parties PTD, une partie DTP
- ou quatre parties PDT, une partie TDP
où P est le joueur à 29 points, D le joueur à 15 points, T le joueur à 11 points.

Bonjour tout le monde
- Je propose:  5 parties jouées
                  : 11 points par partie avec a=7; b=3; c=1
Solution/1
  (0*7)+ (3*3)+ (2*1) = 11
  (1*7)+ (2*3)+ (2*1) = 15  
  (4*7)+ (0*3)+ (1*1) = 29
Solution/2
  (1*7)+ (0*3)+ (4*1) = 11
  (0*7)+ (5*3)+ (0*1) = 15  
  (4*7)+ (0*3)+ (1*1) = 29

Bonjour
Avec la condition a > b > c > 0 cela me paraît impossible
Peut-être un poisson (en plus??)
A+

D'après moi :
5 parties
a=7 ; b=3 ; c=1 !

A chaque partie, a+b+c points sont distribués.

Le score total des joueurs est de 55 points. Or 55=5x11.

Soit, à chaque partie, sont distribués soit 5 points, soit 11 points.

Or, comme a>b>c>0, le total minimum est 6. Donc le total distribué à chaque partie est 11 points.

Il y a donc eu 5 parties en tout.

Cherchons maintenant la répartition possible des points.

8-2-1 : C'est impossible de faire 29 points en 5 parties (4x8=32 et 3x8+2x2=28). On oublie :
7-3-1 : 29=7x4+1 - 11=1x4+7 - 15=3x5. Ca fonctionne !
6-4-1 : Impossible de faire 29 en 5 parties (6x5=30 et 6x4+4=28)
6-3-2 : Impossible de faire 29 en 5 parties (6x5=30 et 6x4+3=27)
5-4-2 : Impossible de faire 29 en 5 parties (5x5=25)

Conclusion : il n'y a qu'une solution. 5 parties ont été jouées, le premier reçoit 7 points, le deuxième 3 points et le troisième 1 point.

Bonsoir,

à chaque partie on attribue un nombre de points qui vaut a+b+c
Avec n parties, le total des points distribués vaut n(a+b+c) = 29+15+11 = 55
55 n'est décomposable qu'en 11*5. La somme a+b+c vaut au minimum 6; donc il y a eu 5 parties jouées
a+b+c = 11   on a les décompositions de 11 suivantes : 8+2+1 ; 7+3+1 ; 6+4+1 ; 6+3+2 ; 5+4+2
Seule la décomposition 7+3+1 permet d'obtenir 29 en cinq parties;donc a=7 , b=3 , c=1
on a donc le tableau récapitulatif possible suivant:



Bien à vous

Bonsoir

Je propose 5 parties avec a=7, b=3 et c=1

Le joueur dont le score est 29, a été quatre fois premier et une fois troisième:


Le joueur dont le score est 15, a été une fois premier , deux fois deuxième et deux fois troisième:


Le joueur dont le score est 11, a été trois fois deuxième et deux fois troisième:


Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Procédons par élimination:
Le total des points distribués étant égal à 55, il ne peut y avoir eu que 5 parties à 11 points chacune, ou 11 parties à 5 points chacune. La condition exclut la seconde combinaison puisqu'à chaque partie, au moins 6 points seront distribués.

--> 5 parties ont été jouées.

Selon les conditions exprimées, les 11 points ne pourront être répartis que comme l'une (ou plusieurs) des possibilités suivantes:
  (8,2,1); (7,3,1); (6,4,1); (6,3,2); (5,4,2)
Etant donné que le vainqueur engrange 29 points en cinq parties, cela signifie que a doit être strictement supérieur à 5, ce qui exclut la dernière proposition.

On constate vite qu'il est impossible d'atteindre 29 avec 5 scores issus de (8,2,1) : 3x8 = 24, reste 5 points à faire avec 1 et 2 en deux coups. Pas possible.
De même, pas moyen d'atteindre 29 avec 5 scores issus de (6,4,1) ou (6,3,2).
On élimine donc toutes ces solutions.

Reste (7,3,1). On vérifie:

29 = 7,7,7,7,1
15 = 1,1,3,3,3
11 = 3,3,1,1,1

ce qui correspond bien au problème posé.

--> on a joué 5 parties pour (7,3,1) points à chaque donne.

a>b>c  

soit x le nombre des parties
et a chaque partie il y a un ganyant de a ,b et c
donc on a : a.x + b.x + c.x = 29 + 15 + 11 = 55
donc  x = 55  / ( a + b + c )

or 55 = 5 . 11  et a,b,c,x sont des entiers

donc  a + b + c = 11  et x = 5 parties

et  ( a , b , c )  appartient a {( 8 , 2 , 1 ),( 6 , 3 , 2 )}

Il n'y a que 2 possibilités détaillées ci-dessous. (On ne tient pas compte de l'ordre des parties)

Dans chaque cas, 5 parties ont été jouées, a=7, b=3 et c=1.

On notera (x,y,z) le résultat d'une partie, où x, y et z sont le nombre de points gagné par le 1er, le 2ème et le 3ème joueur.

1ère possibilité :
4 parties ont eu pour résultat (7,3,1) et la 5ème a eu pour résultat (1,3,7).

2ème possibilité :
2 parties (7,3,1), 2 parties (7,1,3) et 1 partie (1,7,3).


Pour le prouver, on remarque que 55 points ont été distribués en tout. Donc a+b+c divise 55.
Or a>b>c>0 donc a+b+c>=3+2+1=6. Donc a+b+c=11 ou a+b+c=55, mais ce dernier cas est exclu car plus d'une partie a été jouée.
Donc a+b+c=11 et 5 parties ont été jouées.

Les points se répartissent donc de l'une des façons suivantes :
8,2,1
7,3,1
6,4,1
6,3,2
5,4,2
Mais pour la première et les 3 dernières possibilités, on voit facilement qu'il est impossible d'obtenir un score total de 29 au bout de 5 parties.
Donc a=7, b=3 et c=1.
La seule façon d'obtenir 29 points est pour le premier joueur de gagner 4 fois et d'être une fois 3ème.
Il ne reste plus qu'à tester les possibilités d'obtenir 15 points pour le second joueur pour conclure.

Bonjour,

La rencontre s'est jouée en 5 parties, avec des scores de 7, 3, et 1.

Explication :
Le total des points s'élève à 55, décomposable en 5x11.
Avec "n" le nombre de parties, on a donc : n*(a+b+c) = 5 * 11
Comme a>b>c>0, a+b+c est plus grand que 5.
Et donc :  n = 5  et  a+b+c = 11
Il y a cinq façons de décomposer 11 en 3 nombres a,b,c.
Seule la combinaison 7+3+1 permet d'atteindre les scores obtenus.

5 parties

a = 7
b = 3
c = 1


A+
Torio

Plus d'un seule partie ne veut pas dire strictement plus d'une donc la réponse une seule partie ça fonctionne

a=29
b=15
c=11

Et voilà
Un peu facile quand même

Bonjour :
une seule possibilité : 5 parties avec 1 pt, 3 pts et 7 pts comme répartition de points.

le joueur avec 11 pts a terminé 2 fois 3ème, 3 fois 2ème et 0 fois 1er.
le joueur avec 15 pts a terminé 2 fois 3ème, 2 fois 2ème et 1 fois 1er.
le joueur avec 29 pts a terminé 1 fois 3ème, 0 fois 2ème et 4 fois 1er.

Merci pour cette énigme

Bonsoir jamo ,

5 parties ont été jouées,
a = 7
b = 3
c = 1

Merci.

Bonjour,

Je trouve comme unique réponse que 5 parties ont été jouées avec a=7, b=3 et c=1.

Merci pour l'énigme.

Nombre de parties = 5
a = 7
b = 3
c = 1

Difficile d'être sur de soi, cela dit, voici mon raisonnement :

Trouver une solution au problème revient à trouver une matrice 3x3 telle que la somme des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne est égale au nombre de parties jouées (n).
Ainsi, en guise d'exemple la matrice suivante

répond à ce critère.
Cette matrice multipliée à un vecteur (a,b,c) est égale au vecteur (29,15,11).

Si on additionne chacune des lignes de cette matrice, on tombe sur une relation du type



Il y a donc soit 5, soit 11 parties jouées.

S'il y a 11 parties jouées,

a+b+c = 5, mais vu que a > b > c, cela n'est pas possible.

On trouve finalement deux solutions avec 5 parties jouées.
Avec

a=7
b=3
c=1

La 1er solution est

Le joueur 1 a gagné 4 parties, et en a "perdue" une.
Le joueur 2 a gagné 1 partie , et en a "perdue" deux, et a fini deux fois 2ème.
Le joueur 3 a gagné 0 partie , et en a "perdue" deux, et a fini trois fois 2ème.

La solution 2 est


Le joueur 1 a gagné 4 parties, et en a "perdue" une.
Le joueur 2 a gagné 0 partie , et en a "perdue" 0, et a fini 5 fois 2ème.
Le joueur 3 a gagné 1 partie , et en a "perdue" 4, et a fini 0 fois 2ème.

J'en ai peut être oublié ... ^_^

une seule possibilité
5 parties jouées
7 points pour le gagnant
3 pour le second
1 pour le dernier

Bonjour

A chaque partie, le gain est constant : a+b+c.In fine, le gain total est 55.

Nécessairement le nombre de parties doit être 5 et a+b+c= 11 ce qui donne,

=============== solution n° 1 ===============
nb de parties : 5
a=7 b=3 c=1
1er 4 0 1
2e  0 5 0
3e  1 0 4
=============== solution n° 2 ===============
nb de parties : 5
a=7 b=3 c=1
1er 4 0 1
2e  1 2 2
3e  0 3 2

Quand on additionne les scores des 3 joueurs, on obtient un nombre correspondant au total des points distrubués par partie () multiplié par le nombre de parties soit :

Comme      ,      
D'autre part les trois joueurs ont joué plus d'une partie donc d'où .

Le seul diviseur de qui réponde aux deux conditions est
Les joueurs auront donc joué parties

Pour obtenir 29 points en 5 parties, cela implique que . Par ailleurs,

impossible ()
(seul cas possible).(le 1° gagne 4 parties et finit une fois 3°, le 2° fini 5 fois deuxième et le 3° gagne la seule partie non gagnée par le 1° et finit 3° aux 4 autres parties)
ne permet pas d'obtenir avec ()

Bonjour,

je ne trouve qu'une solution (autre que la solution triviale avec 1 seule partie: a=29, b=15, c=11):

les joueurs ont joué 5 parties avec a=7, b=3, c=1

Merci pour l'énigme,
1emeu

Il n'y a qu'une seule solution :

Les 3 joueurs ont fait 5 parties. Le premier remporte 7 pts, le second en remporte 3, et le dernier en remporte 1.

Ici, le meilleur joueur est arrivé 4 fois premier et une fois dernier.
Le second joueur est arrivé 5 fois second.
Le dernier joueur est arrivé une fois premier et 4 fois dernier.

55 pour trouver n entier on à 5 ou 11
mais 5 ne peut contenir a>b>c si a>0
donc n=5

a+b+c=11, soit des set de points
1,2,8 ou 1,3,7 ou 1,4,6 ou 2,3,6 ou 2,4,5
soit des nombre de partie premier, deuxième, dernier
5,0,0 ou 4,1,0 .... 0,5,0 ..... 0,0,5

Pour réaliser le score 11 pour le premier joueur il y a 4 combinaisons
Pour réaliser le score 15 pour le deuxième joueur il y a 5 combinaisons
Pour réaliser le score 29 pour le troisième joueur il n'y a qu'une combinaison:
4x premier, 0x milieu et 1x dernier avec les points avec combinaison de points 7,3,1

Ce qui ne permet plus qu'une fois premier soit 1 seule combinaison pour le deuxième avec ces points
1x premier, 2x milieu, 2x dernier

et est compatible pour le premier joueur avec combinaison:
Ox premier, 3x milieu, 2x dernier

Donc 5 parties et a=1, b=3, c=7,

Bonsoir jamo,

Je trouve une seule solution :  5 parties ont été jouées et les points attribués  sont  a = 7, b = 3 et c = 1.

Merci pour cette énigme !

Le total des points vaut 55.
Il y a donc eu soit :
1 partie de 55 points : impossible puisque plus d'une seule partie
5 parties de 11 points
11 parties de 5 points : impossible puisque a>b>c>0 donc a+b+c > 1+2+3 = 6
55 parties de 1 points : impossible vu ci-dessus.

IL y a eu donc 5 parties de 11 points, ces 11 points se décomposent en (pour a,b,c) :
8,2,1
7,3,1
6,4,1
6,3,2
5,4,2

Seule la décomposition 7,3,1 permet de faire 29 points en 5 parties : 4a+c = 4*7+1 = 29.

Il y a donc eu 5 parties et a,b,c vaut respectivement 7,3,1.

C'est la seule possibilité.

Merci pour l'énigme

Bonjour,

pour ma part :

- il y a eu 11 parties jouées
- les couples a, b et c solutions sont :
{8, 2, 1}
{7, 3, 1}
{6, 4, 1}
{6, 3, 2}
{5, 4, 2}

Cordialement.

Pardon mais en me relisant je vois que j'ai écris le mauvais nombre de parties jouées mais ce sont bien 5 parties jouées et le mix a, b, possible :

{8, 2, 1}
{7, 3, 1}
{6, 4, 1}
{6, 3, 2}
{5, 4, 2}

Cordialement.

5 parties
a=7 b=3 c=1  
     joueur1               joueur2                  joueur3
7x0+3x3+1x2=11    7x1+3x2+1x2=15    7x4+3x0+1x1=29
7x1+3x0+1x4=11    7x0+3x5+1x0=15    7x4+3x0+1x1=29

Matheuses et matheux, bonjour.

Ce problème ne présente qu'une possibilité de solution.

Nombre de parties jouées: 5

Points attribués aux joueurs selon le classement à une partie:
a = 7
b = 3
c = 1

Clôture de l'énigme

Pour ce petit problème d'arithmétique, la seule solution est la suivante :

il y a eu 5 parties, et les points attribués sont 7, 3 et 1.