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Suite pas monotone... mais récurrente...
Bonjour à toutes et à tous,
Je me permets de solliciter votre aide pour l'étude d'une suite définie par
Dans un 1er temps j'ai démontré que pour tout n de N on a 0 < Un 
3
Puis que pour tout entier n non nul, on a
Ensuite, je n'arrive pas à démontrer que Un n'est pas monotone.
Voici ma réflexion:
La suite Un est définie par avec
donc f(x) est décroissante sur [0;3]
Or, d'après mon bouquin, ils utilisent un raisonnement par récurrence uniquement pour f croissante sur l'intervalle...
J'ai essayé quand même:
U0=3 ; U1=1/2 ; U2=4/3 ...
On suppose que Un est décroissante.
On pose la propriété Pn : Un > Un+1
Initialisation: P0 est vraie car U0 > U1
Hérédité: on suppose que pour tout n 
0 on a Un > Un+1
Démontrons que Un+1 > Un+2
On sait que Un+1=f(Un) et que f est décroissante sur [0;3]
Donc Un+1 > Un+2
Conclusion: Un est décroissante
Mais celà est faux!
Car la question est bien de démontrer que Un n'est pas monotone!
Alors j'ai essayé un raisonnement par l'absurde:
Si Un était strictement croissante, on aurait
On aurait alors Un+1 < Un
Ce qui est contraire à l'hypothèse de départ...
J'ai donc fait de même en supposant Un strictement décroissante mais celà ne marche.
Pouvez-vous me dire s'il y a un problème dans mon raisonnement ou bien si je suis complêtement à côté de la plaque?
Et me donner si possible une piste de réflexion?
Merci per avance,
Bonne soirée et bonnes fêtes,
Z3pro974
bonjour
quand la fonction est decroissante , la suite associee n'est pas monotone ex ici tu peux montre que par f l'image du segment [0;3] c'est [0.5;2] donc donc si
alors en appliquant f
donc
et si au contraire
donc si alors en appliquant f
donc
la suite n'est pas monotone
mon premier "donc si " devrait d'abord tenir compte de ce que tu as fait : toute la suite se situe dans [0;3]
et si tu dessines la courbe fonction f et la droite y=x dans un repere , tu verras que ta suite "s'enroule autour de 1 :
comme car
f((0;3])=[0.5;2] et donc si
alors
donc
et ensuite tu demontres par recurrence que ce qui te permetttra de prouver que la suite converge vers 1
Bonjour,
Le fait de dire "quand la fonction est decroissante , la suite associee n'est pas monotone" est-il un théorème?
Merci Sloreviv,
Je reviens cependant sur la limite L de Un
Je passe par Un+1=f(Un) avec
Si
On a alors l'égalité
Je résouds ensuite l'équation L2+L+-2=0
Ce qui donne L=1 ou -2
Puique 0<Un3 alors L=1
A la fin de l'exercice, apparaît la suite
Je démontre que c'est une suite géométrique de raison q=-1/2 et de 1er terme V0=2/5
Vn est alors définie par
Et là, la dernière question est: "Démontrer que Un est convergente et déterminer sa limite."
Je ne comprends pas, ne vient-on pas de le démontrer juste avant!!!
Et à quoi la suite Vn peut-elle bien me servir?????
Bizaaarre
Bonjour
ta 4eme ligne est fausse ne ps ecrire ca
attention ton cours te dit que siles termes de ta suite sont tous dans un intervalle fermé I ( ici I=[0;3]) et que ) pour tout n de
avec f continue sur I
SI la suite est convergente et tend vers
alors la suite
est convergente et tend vers et comme ces deux suites sont juste décalees d'un rang :
la première c'est u0;u1;u2;.... la 2eme c'est u1;u2;u3;.... elles ont meme limite donc
A la fin de l'exercice, apparaît la suite ....
Je démontre que c'est une suite géométrique de raison q=-1/2 et de 1er terme V0=2/5 etc
C'est une autre facon de demontrer que ta suite est convergente ,
au depart on ne te demandait pas si elle etrait convergente , on voulait juste savoir si elle n'etait pas monotone
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