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Dérivée , 1ère S , Exercice complémentaire
Bonsoir à tous! Mon contrôle de math sur les dérivées aura lieu la semaine prochaine. C'est pourquoi j'ai pris l'initiative de faire des exercices trouvés sur la toile. Cependant , je bloque sur un exercice plutôt dur mais intéressant pour réviser! Voici l'exercice :
Dans un repère orthonormal ( O ; I , J ) du plan , on considère la droite d définie par l'équation : x-y+2 = 0 et le point A d'abscisse 1 appartenant à la droite d.
Le but de l'exercice est de déterminer toutes les paraboles P d'équation : y = ax²+bx+c où a est différent de 0 pour lesquelles la tangente en A est d.
On nomme f , la fonction représentée par P.
1)a) Calculer f(1) et f'(1). Justifier.
b) Écrire f(x) et f'(x) en fonction de a , b et c.
c) Écrire b et c en fonction de a, puis démontrer que chaque parabole possède une équation de la forme : y = a(x-1)²+x+2
2) "xo" et "yo" sont les coordonnées du sommet P de la parabole.
a) Sachant que la fonction dérivée de f s'annule en "xo" , trouver une relation entre "xo" et "yo" qui ne contient pas a.
b) Montrer que les sommets des paraboles sont sur une courbe fixe dont vous donnerez l'équation.
Voilà tout l'exercice.
Je n'arrive déjà pas la première question. Je trouve que la question 1)a) est " égale " à la question 1)b) ou bien j'ai tout simplement faux.
Voilà ce que j'ai fait :
1)a) f(x) = ax²+bx+c
f(1) = a + b + c
f'(x) = 2ax + b
f'(1) = 2a + b
Merci d'avance de votre aide !
bonsoir il faut que tu n'oublies pas que ta parabole doit passer par AA dont tu devras déterminer d'abord les coordonnées (abscisse 1 et appartient à la droite d)
Équation de la droite d : x-y+2=0 <=> y = x+2
A ( 1 , f(1) ) <=> A ( 1 , 3 )
Je ne comprends pas trop l'utilité ?
A ( 1 , 3) appartient à P <=> y = ax²+bx+c
<=> 3 = a + b + c
Je vois pas trop où ça peut me mener. ^^'
oui f(1)=3 donne a+b+c=3 et tu as f'(1) qui est le coefficient directeur de ta droite d (tangente en A), cela te donne les équations de tes paraboles avec une seule inconnue: a. ( b et c sont connus en fonction de a
Tu vas vérifier que y = a(x-1)²+x+2 équivaut à l'équation de ta parabole.
Bonjour.
Merci pour cet éclaircissement mais je ne comprends toujours pas un fait.
La question 1 nous demande de calculer f(1) et f'(1) or f(1) = a+b+c <=> 3 = a+b+c
Ne faut-il pas obtenir un réel contrairement à f(1) en fonction de a , b et c ?
b) Écrire f(x) et f'(x) en fonction de a , b et c.
f(x) = ?
f'(x) = 2ax+b
Je vois à peu près la question c) , mais il faut d'abord confirmation de la question 1 et 2 ^^
Ah , je me disais bien mais je me demandais pourquoi il demande cette question pour f(x) vu qu'il est donné dans l'énoncé !
c) Écrire b et c en fonction de a, puis démontrer que chaque parabole possède une équation de la forme : y = a(x-1)²+x+2
f(x) = ax²+bx+c <=> bx + c = ax²
<=> b + c = (ax²)/x
<=> b + c = ax
Donc f(x) = ax²+bx+c <=> f(x) = (b+c)² + bx + c
Je ne suis pas sûr de la réponse pour la première partie de la question mais si c'est bon , je ne vois pas comment démontrer l'égalité. Un indice svp ^^'
f(x) = ax²+bx+c <=> bx + c = ax² oui si tu veux!
<=> b + c = (ax²)/x certainement pas ! b+c/x = ax est juste mais nápporte rien.
<=> b + c = ax
Donc f(x) = ax²+bx+c <=> f(x) = (b+c)² + bx + c sans objet ici
applique ceci
f(1)=3 donne a+b+c=3 et tu as f'(1) qui est le coefficient directeur de ta droite d (tangente en A), cela te donne les équations de tes paraboles avec une seule inconnue: a. ( b et c sont connus en fonction de a)
combien vaut f'(1) sachant que c'est aussi 2a+b cela te donne b en fonction de a que tu reportes dans a+b+c=3 et tu auras c en fonction de a. Tu vas reporter ces resultats dans l'expression de f(x) et tu pourras sans doute obtenir le resultat cherche (comme ecrit dans mon post de minuit et demi)
Ahhhh! C'est pour ça que j'ai vraiment du mal à comprendre certains exercices ! J'avais cru comprendre exprimer b + c en fonction de a !
f(1) = ax² + bx + c <=> 3 = a + b + c
f'(1) = 2ax + b <=> 1 = 2a + b <=> b = - 2a
3 = a + b + c <=> 3 = a - 2a + c <=> 3 = -a + c <=> c = a + 3
f(x) = ax²+bx+c <=> ax² - 2ax + a + 3
c) Écrire b et c en fonction de a, puis démontrer que chaque parabole possède une équation de la forme : y = a(x-1)²+x+2
Quand l'on développe pour vérifier , ça fait : ax² - 2ax + a + x + 2 , ce qui ne correspond pas à ce que j'ai trouver plus haut.
Petite erreur : f'(1) = 2ax + b <=> 1 = 2a + b <=> b = - 2a + 1
3 = a + b + c <=> 3 = a - 2a + c <=> 3 = -a + 1 + c <=> c = a + 2
f(x) = ax²+bx+c <=> ax² - 2ax + a + 2
Je ne vois pas d'où sort le x dans l'expression final.
f'(1) = 2ax + b <=> 1 = 2a + b <=> b = - 2a + 1 oui
3 = a + b + c <=> 3 = a - 2a + c non! tu as perdu un +1 en route!
<=> 3 = -a + 1 + c <=> c = a + 2 ouf il a été retrouvé (donc erreur en recopiant!)
f(x) = ax²+bx+c <=> ax² - 2ax + a + 2 damned, on l'a reperdu !
f(x) = ax²+bx+c <=> f(x)= ax² +(1-2a)x +a+2.
Maintenant tu pars de a(x-1)²+x+2 , tu développes et tu verras que tu retrouve le f(x) qu'on vient d'obtenir.
A toi
Rofl. Je fais toujours ses petites erreurs qui me faussent tout le résultat!
Donc récapitulons : b = - 2a + 1 ; c = a + 2
f(x) = ax² + bx + c <=> ax² + ( - 2a + 1 )x + a + 2 <=> ax² - 2a + x + a + 2
<=> a(x-1)² + x + 2
Donc l'égalité est bien vérifiée.
2) "xo" et "yo" sont les coordonnées du sommet P de la parabole.
a) Sachant que la fonction dérivée de f s'annule en "xo" , trouver une relation entre "xo" et "yo" qui ne contient pas a.
f'(x) = 2ax + b
Je ne vois pas du tout par où il faut commencer !
Donc récapitulons : b = - 2a + 1 ; c = a + 2
f(x) = ax² + bx + c <=> ax² + ( - 2a + 1 )x + a + 2 <=> ax² - 2a + x + a + 2 pas -2a mais -2ax !!!!
<=> a(x-1)² + x + 2 tu peux rajouter une étape intermédiaire: a(x²-2x+1)+x+2
en outre niveau notation tu dois mettre des signes = <==> se met entre deux égalités (a=b<==>2a=2b par exemple et pas a<==>b)
2) que vaut f'(x)? donc f'(x0)=? or sont que f'(x0) est nul; donc on a une égalité entre a et b
calculer f(x0) pour avoir y0
u_u Et pourtant j'ai écrit 2ax sur ma feuille.
2) "xo" et "yo" sont les coordonnées du sommet P de la parabole.
a) Sachant que la fonction dérivée de f s'annule en "xo" , trouver une relation entre "xo" et "yo" qui ne contient pas a.
Appelons A ( xo , yo ) , les coordonnées du sommet P de la parabole.
f'(x) = 2ax + b
f'(xo) = 2axo + b <=> 0 = 2axo + b
f(x) = ax²+bx+c
f(xo) = axo² + bxo + c <=> yo = axo² + bxo + c
c'est juste mais ne répond pas à la question
on a les égalités b en fonction de a et c en fonction de a que tu n'utilises pas ensuite tu sais que 0 = 2axo + b tu peux avec tout ca faire disparaitre a b et c (ou tu pars de a(x-1)²+x+2 ).
f'(xo) = 2axo + b <=> 0 = 2axo + b
x0 = -b/2a avec b fonction de a d'ou a = fonction de x0
Donc 0 = 2axo +b <=> f'(xo) = 2a(-b/2a) + b = - b + b = 0
oui c'est juste mais on tourne en rond; on est parti de f'(x0)=0 pour x0=-b/2a, donc c'est normal de retomber sur f'(x0) !
x0 = -b/2a mais on sait que b=-2a+1 d'où x0= -(-2a+1)/2a=1-1/2a on obtient a en fonction de x0 et on remplace dans f(x0) pour obtenir y0 uniquement en fonction de x0 (pas de a ni b ni c)
x0 = -b/2a mais on sait que b=-2a+1 d'où x0= -(-2a+1)/2a=1-1/2a on obtient a en fonction de x0 et on remplace dans f(x0) pour obtenir y0 uniquement en fonction de x0 (pas de a ni b ni c)
Donc xo = -b/2a or on sait que b = - 2a+1 d'où xo = - ( - 2a+1 ) / 2a
= 2a-1 / 2a
= 1 - ( 1/2a ) <=> xo -
Or l'équation de la parabole est : y = a(x-1)² + x + 2
Oops bug , ça n'a pas affiché la fin.
Donc xo = -b/2a or on sait que b = - 2a+1 d'où xo = - ( - 2a+1 ) / 2a
= 2a-1 / 2a
= 1 - ( 1/2a ) <=> xo - 1 = - 1/2a
<=> (-xo + 1 )/2 = a
Or l'équation de la parabole est : f(x) = a(x-1)² + x + 2
f(x) = ((-xo + 1 )/2)(x-1)²+x+2
Est-ce bon ?
<=> xo - 1 = - 1/2a
<=> (-xo + 1 )/2 = a
xo - 1 = - 1/2a devient 1-x0 =1/(2a) multiplie par 2a
et tu devrais avoir 1/(2(1-x0))
et tu devrais avoir 1/(2(1-x0))
xo - 1 = - 1/2a <=> 1-x0 =1/(2a) <=> 2a - 2axo = 1 ?
Je ne comprends pas ce qu'on doit chercher ... a en fonction de xo ? Mais comment faire disparaître as-tu fait disparaître le a ?
Je ne comprends pas ce qu'on doit chercher y0 en fonction de x0
... a en fonction de xo ? oui dans un premier temps puis le reporter dans f(x0) pour trouver y0!
Mais comment as-tu fait disparaître le a ?
1-x0 =1/(2a) <=> 2a(1-x0) = 1
<=> a= 1/(2(1-x0))
que tu vas reporter en t'appliquant dans l'expression f(x) = a(x-1)² + x + 2
f(x0)= ...
f(x) = a(x-1)²+x+2
f(xo) = (1/2(1-xo))(xo-1)²+xo+2
= (1/2(1-xo)) + xo² - xo + 3
= (1/2(1-xo)) + ((xo² - xo + 6 - 3xo)/(2 - xo))
= (xo² - 4xo + 7) / (2-xo)
Je pense m'être tromper sur une étape.
f(x) = a(x-1)²+x+2
f(xo) = (1/2(1-xo))(xo-1)²+xo+2 oui.
= (1/2(1-xo)) + xo² - xo + 3 non! c'est -2x0 quand tu developpes en outre tu as le 1/2(1-xo) en facteur devant qui disparait. Il va falloir que tu envisages tres serieusement de revoir et appliquer tes cours du college du style a(b+c)=... etc
En outre tu pourrais remarquer que (x0-1)2/(2(1-x0)2) peut se simplifier pour donner (1-x0)/2 et donc f(x0)=((1-x0)/2)+x0+2 = (x0+5)/2
ca c'est le a)
et pour le b) on te demande ce qu'est la courbe obtenue lorsque x0 varie (y=(x0+5)/2)
Pour moi il y a une méthode plus simple pour résoudre la question 2-a :
On sait que f'(x)= 2ax+b et que b=1-2a donc on remplace le b dans l'expression de f'(x) et nous avons f'(x)=2ax+1-2a
=2a(x-1)+1 quand on factorise par 2a
Après nous faisons f'(x0)=0 <=> 2a(x0-1)+1=0 <=> -1/(2(x0-1))
On remplace maintenant a dans l'expression de y0
y0=a(x0-1)^2+x0+2 <=> y0= (-1/(2(x0-1))x(x0-1)^2+x0+2 <=>y0= (-(x0-1)/2)+x0+2 <=> y0= (-(x0-1)+2x0+4)/2
<=> y0= (x0+5)/2
En outre tu pourrais remarquer que (x0-1)2/(2(1-x0)2) peut se simplifier pour donner (1-x0)/2 et donc f(x0)=((1-x0)/2)+x0+2 = (x0+5)/2
Je suis d'accord que (xo-1)²/(2(1-xo)²) se simplifie mais je ne comprends pas pourquoi le dénominateur est au carré. Et le fait que tu passes de la simplification à : (1-xo)/2
Sinon pour le b) , je ne sais comment procéder. Tableau de variation ?
le denominateur etait au carré à cause d'un mauvais copier-coller!
Ce ne devait évidemment pas être le cas.
et pour le b) on te demande ce qu'est la courbe obtenue lorsque x0 varie (y=(x0+5)/2)
Que faut-il faire pour montrer cela ?
tu peux faire un dessin en prenant différentes valeurs de x0 pour voir si il y a quelque chose de remarquable.
Ou sinon se remémorer les équations des fonctions affines.
On remarque que yo est de la forme ax+b soit une fonction affine. Mais je ne vois pas comment montrer que les sommets des paraboles sont sur une courbe fixe. C'est selon leurs coefficients directeurs ?
quand x0 varie (x0;y0) décrit la droite d"équation y=5/2 + x/2 ! tout simplement. Les sommets des paraboles sont sur cette droite.
Quand xo varie , (xo;yo) , les sommets des paraboles reste sur la droite y =5/2 + x/2 qui est une fonction affine.
Cela suffit pour justifier ?
Quand xo varie, les sommets des paraboles décrivent la droite d'équation y =5/2 + x/2 .
(j'avais mentionné les fonctions affines pour que cela tilte dans ton esprit et que tu réalises que y =5/2 + x/2 est l'équation d'une droite; cela ne sert à rien de le mentionner dans la rédaction de ta réponse).
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