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Demonstration suite convergente vers 1.

Posté par
Cyril87 10-02-12 à 23:30

Bonsoir à tous,

je travaille en ce moment sur une construction de la fonction exponentielle différente de celle vue en cours de TS et je bloque sur une démonstration.

Il s'agit de démontrer que si une suite réelle (a_n)_{n\in\mathbb{N}}converge vers 0, alors la suite (1 + \frac{a_n}{n})^n converge vers 1.

? On remarque que comme (a_n) converge alors il existe un entier n_0 \ge 1 tel que pour n\ge n_0,  a_n \in ]-1 ; 1[ . Ainsi, \frac{a_n}{n} \in ]-1 ; 1[ ?

Ainsi on peut appliquer l'inégalité de Bernoulli :

(1 + \frac{a_n}{n})^n \ge 1 + a_n

De même comme \frac{-a_n}{n} \in ]-1 ; 1[, on a :

(1 - \frac{a_n}{n})^n \ge 1 - a_n

? On en déduit, toujours pour   n \ge n_0 que :

(1 + \frac{a_n}{n})^n \ge \frac {1}{(1 - \frac{a_n}{n})^n} ?

On termine ensuite l'encadrement puis avec le théorème des gendarmes, la démonstration est terminée. Les passages entre "?" sont ceux où j'aurais besoin de quelques explications, en particulier le deuxième. Je ne vois vraiment pas comment on en déduit cela.


Merci d'avance !

Posté par
Cyril87re : Demonstration suite convergente vers 1. 10-02-12 à 23:35

Oups grosse erreur d'inattention, c'est (1 + \frac{a_n}{n}) \le \frac{1}{(1 - \frac{a_n}{n})}

Posté par
Yzzre : Demonstration suite convergente vers 1. 11-02-12 à 05:59

Salut,
Pourquoi partir si loin?
Si an converge vers 1 , alors an/n converge vers 0 et donc (1+an/n)n converge vers 1.

Posté par
cailloux Correcteurre : Demonstration suite convergente vers 1. 11-02-12 à 07:38

Bonjour,

>> Yzz Je ne crois pas :

\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n converge vers e

>> Cyril87

Avec x\in ]-1,1[, 1+x<\dfrac{1}{1-x}

Posté par
Cyril87re : Demonstration suite convergente vers 1. 11-02-12 à 09:36

Yzz > Non, ça serait supposer que le n à l'exposant est fixé pendant que celui au dénominateur varie. La difficulté réside dans le fait que les deux n varient en même temps.

Cailloux > Merci beaucoup ! C'est une inégalité que l'on peut démontrer rapidement ?

Et effectivement quand a_n est une constante égale à 1, le tout converge vers e, c'est la suite de mon cours ^^

Posté par
Yzzre : Demonstration suite convergente vers 1. 11-02-12 à 10:02

Salut à tous,
Désolé, j'avais pas encore pris mon café.

Posté par
cailloux Correcteurre : Demonstration suite convergente vers 1. 11-02-12 à 12:10

Si -1<x<+1:

1-x^2<1

(1-x)(1+x)<1

1+x<\dfrac{1}{1-x}

Posté par
Cyril87re : Demonstration suite convergente vers 1. 11-02-12 à 21:33

Merci bien !


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