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Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir !

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
21-02-12 à 15:07

Bonjour à tous,

Aujourd'hui est un jour palindromique. En effet, la date 21 02 2012 s'écrit aussi bien à l'envers qu'à l'endroit (si on ne tient pas compte des espaces).

Mais les deux nombres 2012 et 2102 qui s'écrivent en miroir possèdent une autre caractéristique remarquable : leurs carrés s'écrivent aussi en miroir l'un de l'autre.
En effet, 2012² = 4048144 et 4418404 = 2102².

Question : Combien y a-t-il de paires différentes de nombres compris entre 10 et 100 000 qui possèdent la même propriété ?
Attention : la paire (a ; b) et la paire (b ; a) sont comptées comme une seule et même paire.
On ne compte pas les nombres qui se terminent par un zéro car leur nombre miroir commencerait alors par un zéro.
Une paire peut bien sûr contenir deux fois le même nombre.

Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir !

Posté par
totti1000
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 21-02-12 à 15:55

gagnéSalut godefroy,

Je trouve 84 paires.

Merci.

Posté par
manpower
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 21-02-12 à 16:49

perduBonjour,

si excel ne m'a pas trahi je dénombre 80 paires :

16 paires de la forme (a;a): avec a=11,22,101,111,121,202,212,1001,1111,2002,10101,10201,11011,11111,11211,20102.
64 paires de la forme (a;b) (où a<b): avec a=12,13,102,103,112,113,122,1002,1003,1011,1012,1013,1021,1022,1031,1102,1103,1112,1113,1121,1122,1202,1212,2012,2022,...

Il y a donc 144 nombres distincts ayant cette propriétés (16+64*2).

Merci pour cette joute bien pensée pour aujourd'hui !

Posté par
gust
84 21-02-12 à 17:41

gagnébonjour

84 paires vérifiant les conditions.

Posté par
LeDino
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 21-02-12 à 17:48

gagnéBonjour,

Il y a en tout sauf erreur 84 paires répondant à l'énoncé.

C'est à dire 84 nombres dont le carré du reflet est le reflet du carré.
Parmi eux, 18 sont des nombres palyndromes, reflets d'eux mêmes.

Voici la liste de ces 84 nombres :
11, 12, 13, 22, 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 202, 212, 1001, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1102, 1103, 1111, 1112, 1113, 1121, 1122, 1202, 1212, 2002, 2012, 2022, 10001, 10002, 10003, 10011, 10012, 10013, 10021, 10022, 10031, 10101, 10102, 10103, 10111, 10112, 10113, 10121, 10122, 10201, 10202, 10211, 10212, 10221, 11002, 11003, 11011, 11012, 11013, 11021, 11022, 11031, 11102, 11103, 11111, 11112, 11113, 11121, 11122, 11202, 11211, 12002, 12012, 12102, 12202, 20002, 20012, 20022, 20102, 20112, 20122


Merci pour cette joute .

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 21-02-12 à 20:41

perduSauf erreur, je trouve 66 paires différentes entre 10 et 100000.

Posté par
dpi
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 21-02-12 à 22:27

perduBonjour

Il est évident qu'il faut aussi exclure les nombres symétriques
tels que 101 ...

Voici sauf erreur ou omission la liste des 128 nombres<10000
qui correspondent aux nombres  miroirs


Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir !

Posté par
melanie24
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 22-02-12 à 09:23

perdu1011 et 1101
car 1011²= 1022121 et 1101²=1212201

Posté par
torio
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 22-02-12 à 11:59

gagné84 nombres
A+
Torio

Posté par
masab
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 22-02-12 à 13:11

gagnéIl y a 84 paires différentes de nombres compris entre 10 et 100 000 qui possèdent la même propriété.
Plus précisément ce sont les paires ci-après. cpt est un compteur du nombre de solutions.
cpt=1   11  121      11  121
cpt=2   12  144      21  441
cpt=3   13  169      31  961
cpt=4   22  484      22  484
cpt=5   101  10201      101  10201
cpt=6   102  10404      201  40401
cpt=7   103  10609      301  90601
cpt=8   111  12321      111  12321
cpt=9   112  12544      211  44521
cpt=10   113  12769      311  96721
cpt=11   121  14641      121  14641
cpt=12   122  14884      221  48841
cpt=13   202  40804      202  40804
cpt=14   212  44944      212  44944
cpt=15   1001  1002001      1001  1002001
cpt=16   1002  1004004      2001  4004001
cpt=17   1003  1006009      3001  9006001
cpt=18   1011  1022121      1101  1212201
cpt=19   1012  1024144      2101  4414201
cpt=20   1013  1026169      3101  9616201
cpt=21   1021  1042441      1201  1442401
cpt=22   1022  1044484      2201  4844401
cpt=23   1031  1062961      1301  1692601
cpt=24   1102  1214404      2011  4044121
cpt=25   1103  1216609      3011  9066121
cpt=26   1111  1234321      1111  1234321
cpt=27   1112  1236544      2111  4456321
cpt=28   1113  1238769      3111  9678321
cpt=29   1121  1256641      1211  1466521
cpt=30   1122  1258884      2211  4888521
cpt=31   1202  1444804      2021  4084441
cpt=32   1212  1468944      2121  4498641
cpt=33   2002  4008004      2002  4008004
cpt=34   2012  4048144      2102  4418404
cpt=35   2022  4088484      2202  4848804
cpt=36   10001  100020001      10001  100020001
cpt=37   10002  100040004      20001  400040001
cpt=38   10003  100060009      30001  900060001
cpt=39   10011  100220121      11001  121022001
cpt=40   10012  100240144      21001  441042001
cpt=41   10013  100260169      31001  961062001
cpt=42   10021  100420441      12001  144024001
cpt=43   10022  100440484      22001  484044001
cpt=44   10031  100620961      13001  169026001
cpt=45   10101  102030201      10101  102030201
cpt=46   10102  102050404      20101  404050201
cpt=47   10103  102070609      30101  906070201
cpt=48   10111  102232321      11101  123232201
cpt=49   10112  102252544      21101  445252201
cpt=50   10113  102272769      31101  967272201
cpt=51   10121  102434641      12101  146434201
cpt=52   10122  102454884      22101  488454201
cpt=53   10201  104060401      10201  104060401
cpt=54   10202  104080804      20201  408080401
cpt=55   10211  104264521      11201  125462401
cpt=56   10212  104284944      21201  449482401
cpt=57   10221  104468841      12201  148864401
cpt=58   11002  121044004      20011  400440121
cpt=59   11003  121066009      30011  900660121
cpt=60   11011  121242121      11011  121242121
cpt=61   11012  121264144      21011  441462121
cpt=62   11013  121286169      31011  961682121
cpt=63   11021  121462441      12011  144264121
cpt=64   11022  121484484      22011  484484121
cpt=65   11031  121682961      13011  169286121
cpt=66   11102  123254404      20111  404452321
cpt=67   11103  123276609      30111  906672321
cpt=68   11111  123454321      11111  123454321
cpt=69   11112  123476544      21111  445674321
cpt=70   11113  123498769      31111  967894321
cpt=71   11121  123676641      12111  146676321
cpt=72   11122  123698884      22111  488896321
cpt=73   11202  125484804      20211  408484521
cpt=74   11211  125686521      11211  125686521
cpt=75   12002  144048004      20021  400840441
cpt=76   12012  144288144      21021  441882441
cpt=77   12102  146458404      20121  404854641
cpt=78   12202  148888804      20221  408888841
cpt=79   20002  400080004      20002  400080004
cpt=80   20012  400480144      21002  441084004
cpt=81   20022  400880484      22002  484088004
cpt=82   20102  404090404      20102  404090404
cpt=83   20112  404492544      21102  445294404
cpt=84   20122  404894884      22102  488498404

Posté par
rschoon
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 22-02-12 à 16:40

gagnéBonjour.
Ma réponse : 84 paires
Cordialement.

Posté par
geo3
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 22-02-12 à 19:50

gagnéBonsoir
Le compte devrait  faire    \Large 84
Merci et
A+

Posté par
gloubi
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 23-02-12 à 14:17

gagnéBonjour,

Il y a 84 paires différentes de nombres miroir dont les carrés sont également miroir.

A+  

Posté par
dpi
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 24-02-12 à 16:19

perduComplément de réponse

Ayant l'habitude des plantages pour mauvaise
interprétation ,je préfère donner la liste
incluant les symétriques qui par définition
ont le même carré .
Cette liste porte à 150 les nombres miroirs.

Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir !

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 24-02-12 à 18:02

gagnéBonjour Godefroy.
Il y a quatre-vingt quatre paires,
dont dix-huit paires doubles, donc cent cinquante nombres différents.

Posté par
dakane
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 24-02-12 à 19:12

gagnéil y a 84 paires de nombres différentes qui répondent aux conditions

Posté par
Surb
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 24-02-12 à 21:06

perduBonjour,

Je trouve 131 paires.

Voici la liste des termes x1 des paires (x1;x2) cherchées:
          10
          11
          12
          13
          20
          22
          30
         100
         101
         102
         103
         111
         112
         113
         120
         121
         122
         130
         200
         202
         212
         300
        1000
        1001
        1002
        1003
        1011
        1012
        1013
        1020
        1021
        1022
        1030
        1031
        1102
        1103
        1111
        1112
        1113
        1120
        1121
        1122
        1130
        1200
        1202
        1212
        1220
        1300
        2000
        2002
        2012
        2022
        3000
       10000
       10001
       10002
       10003
       10011
       10012
       10013
       10020
       10021
       10022
       10030
       10031
       10101
       10102
       10103
       10110
       10111
       10112
       10113
       10120
       10121
       10122
       10130
       10200
       10201
       10202
       10210
       10211
       10212
       10220
       10221
       10300
       10310
       11002
       11003
       11011
       11012
       11013
       11020
       11021
       11022
       11030
       11031
       11102
       11103
       11111
       11112
       11113
       11120
       11121
       11122
       11130
       11200
       11202
       11210
       11211
       11220
       11300
       12000
       12002
       12012
       12020
       12102
       12120
       12200
       12202
       13000
       20000
       20002
       20012
       20022
       20102
       20112
       20120
       20122
       20220
       30000
      100000

Merci pour cette énigme .

Posté par
Surb
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 24-02-12 à 21:14

perduVoici maintenant la liste des 23 nombres que j'ai trouvé dont le miroir du cube est égal au cube du miroir :

          10
          11
          20
          70
         100
         101
         111
         200
         700
        1000
        1001
        1011
        2000
        7000
       10000
       10001
       10011
       10101
       10110
       11011
       20000
       70000
      100000

La liste des 8 nombres que j'ai trouvé dont le miroir à la puissance 4 est égal à la puissance 4 du miroir:

          10
          11
         100
         101
        1000
        1001
       10000
      100000

La liste (sans grande surprise) des 5 nombres que j'ai trouvé dont le miroir à la puissance 5 est égal à la puissance 5 du miroir:

          10
         100
        1000
       10000
      100000

Et apparemment la liste de ces nombres pour les puissances plus élevées se stabilise ici .
Dans l'espoir que je n'ai pas fait trop d'erreur.

Posté par
Theo1
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 25-02-12 à 14:06

perdu40000

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 25-02-12 à 15:53

perduBonjour Godefroy,

Je te propose :  1155  "paires",

dont 1089 sont en fait constituées d'un seul nombre symétrique, et 66 constituées de nombres différents (comme 12 et 21)

Posté par
Gryfo
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 25-02-12 à 20:40

gagnéBonjour godefroy et merci pour cette énigme qui m'aura donné du fil à retordre
Je propose 84 paires.

Voici le programme (en Python) qui m'a permis de répondre. Il est encore très brouillon et peut être beaucoup plus simplifié, mais franchement j'ai la flemme Et tant qu'il donne la bonne réponse (en tout cas j'espère), ben voilà

Palindrome = NonPalindrome = 0
Compteur = 10
while Compteur < 100000:
    Reste = Compteur %10
    if Reste != 0:
        nbrbase=Compteur
        n1=nbrbase
        n2=0
        while n1>0:
            Q=n1//10
            R=n1-Q*10
            n2=10*n2+R
            n1=Q
        nbrretourne=n2
        nbrbase2=nbrbase*nbrbase
        n1=nbrbase2
        n2=0
        while n1>0:
            Q=n1//10
            R=n1-Q*10
            n2=10*n2+R
            n1=Q
        nbrretourne2=n2
        nbrtest=nbrretourne*nbrretourne
        if nbrtest==nbrretourne2:
            if nbrbase==nbrretourne:
                Palindrome+=1
            else:
                NonPalindrome+=1
    Compteur+=1
NonPalindrome//=2
Resultat=Palindrome+NonPalindrome
print(Resultat)


En espérant ne pas m'être trompé,
ciao

Posté par
rezoons
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 25-02-12 à 21:09

gagnéBonjour ,

j'en trouve 84:

                                11, 11
                                12, 21
                                13, 31
                                22, 22
                               101, 101
                               102, 201
                               103, 301
                               111, 111
                               112, 211
                               113, 311
                               121, 121
                               122, 221
                               202, 202
                               212, 212
                              1001, 1001
                              1002, 2001
                              1003, 3001
                              1011, 1101
                              1012, 2101
                              1013, 3101
                              1021, 1201
                              1022, 2201
                              1031, 1301
                              1102, 2011
                              1103, 3011
                              1111, 1111
                              1112, 2111
                              1113, 3111
                              1121, 1211
                              1122, 2211
                              1202, 2021
                              1212, 2121
                              2002, 2002
                              2012, 2102
                              2022, 2202
                             10001, 10001
                             10002, 20001
                             10003, 30001
                             10011, 11001
                             10012, 21001
                             10013, 31001
                             10021, 12001
                             10022, 22001
                             10031, 13001
                             10101, 10101
                             10102, 20101
                             10103, 30101
                             10111, 11101
                             10112, 21101
                             10113, 31101
                             10121, 12101
                             10122, 22101
                             10201, 10201
                             10202, 20201
                             10211, 11201
                             10212, 21201
                             10221, 12201
                             11002, 20011
                             11003, 30011
                             11011, 11011
                             11012, 21011
                             11013, 31011
                             11021, 12011
                             11022, 22011
                             11031, 13011
                             11102, 20111
                             11103, 30111
                             11111, 11111
                             11112, 21111
                             11113, 31111
                             11121, 12111
                             11122, 22111
                             11202, 20211
                             11211, 11211
                             12002, 20021
                             12012, 21021
                             12102, 20121
                             12202, 20221
                             20002, 20002
                             20012, 21002
                             20022, 22002
                             20102, 20102
                             20112, 21102
                             20122, 22102


ma méthode:

Citation :
for n from 10 to 100000 do
l:=floor(log10(n))+1: L:=[NULL]:
for k from 1 to l do
L:=[op(L),floor(n/(10^(l-k)))-10*floor(n/(10^(l+1-k)))]:
od:
m:=sum(L[i+1]*10^i,i=0..l-1):
l:=floor(log10(n^2))+1: M:=[NULL]:
for k from 1 to l do
M:=[op(M),floor(n^2/(10^(l-k)))-10*floor(n^2/(10^(l+1-k)))]:
od:
mm:=sum(M[i+1]*10^i,i=0..l-1):
if m^2=mm and M[l]<>0 and n<=m then print(n,m); fi:
od:

Posté par
Gryfo
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 25-02-12 à 21:11

gagnéPour détailler un peu plus, voici comment j'ai procédé :

D'abord j'ai fais un programme me donnant le nombre de paires de nombres sans aucune restriction. J'en obtiens 249.

Première restriction : je fais en sorte que toutes les paires se terminant par 0 soient supprimées. J'obtiens alors 150 paires.

Deuxième restriction, plus embêtante : je dois faire en sorte que les paires identiques (de la forme (a;b)(b;a)) comptent comme une seule paire. Pour cela, j'ai eu une idée : parmi les 150 paires, il y a les palindromes (qui forment chacune forcément une unique paire) et les "non palindromes" qui ont forcément une paire identique. J'ai donc d'abord isolé les palindromes (il y en a 18) et les non palindromes (il y en a 132). Ensuite j'ai divisé le nombre de non palindromes par 2 afin de respecter la restriction : ça donne 66. Et finalement j'aditionne les non palindromes et les palindromes ce qui donne au final 18+66 = 84 paires.

Voilà

Posté par
Gryfo
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 26-02-12 à 01:37

gagnéPardon de vous déranger encore une fois

J'ai simplifié mon programme du mieux que j'ai pu et j'ai tout de même réussi à économiser 8 lignes (il fait seulement 25 lignes à présent). La forme générale reste cependant identique. Voilà ce que ça donne maintenant :

compteurPalindromes = compteurAutres = 0
nbr1 = 10
while nbr1 < 100000:
    reste = nbr1 % 10
    if reste != 0:
        nbra = nbr1
        nbr2 = 0
        while nbra > 0:
            nbr2 = 10 * nbr2 + nbra - nbra // 10 * 10
            nbra //= 10
        nbr3 = nbr1 * nbr1
        nbr4 = nbr2 * nbr2
        nbra2 = nbr3
        nbr4_2 = 0
        while nbra2 > 0:
            nbr4_2 = 10 * nbr4_2 + nbra2 - nbra2//10 * 10
            nbra2 //= 10
        if nbr4 == nbr4_2:
            if nbr1 == nbr2:
                compteurPalindromes += 1
            else:
                compteurAutres +=1  
    nbr1 += 1
resultat = compteurPalindromes + compteurAutres // 2
print(resultat)


Bien à vous

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 26-02-12 à 02:40

gagnéBonjour tout le monde
- Je propose 84 paires dont:
    -  4 paires entre    11   et     99
    - 10                      101          999
    - 21                    1001         9999
    - 49                  10001       99999  

Posté par
Skep
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 26-02-12 à 11:14

gagnéma réponse est 84

programme scilab pour ceux que ça interesse :
tic()
S=0;
for A=10:10^5
    if modulo(A,10)<>0 then
        B=renverse(A)
        if A^2==renverse(B^2) then
            S=S+1
            d(S)=A
        end
    end
end
t=taille(d)
for C=1:t
    for D=(C+1):t
        if d(C)==renverse(d(D)) then
            S=S-1
        end
    end
end
disp(S)
disp(toc())

Posté par
ksad
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 27-02-12 à 15:55

gagnébonjour
je trouve 84 paires distinctes répondant aux critères énoncés.
sauf fourvoiement, la plus petite est (11,11) et la plus grande (20122,22102)
merci pour la joute !

Posté par
romeagle96
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 27-02-12 à 19:15

perdula paire (101 ; 101)
(202 ; 202)

Posté par
romeagle96
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 27-02-12 à 19:16

perdu548;845

Posté par
Chatof
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 28-02-12 à 16:02

gagné84 paires (66 duos + 18 doubles)
Merci

Les poseurs d'énigmes sont comme des chefs en cuisine, ils fabriquent des plats qui seront engloutis rapidement par les convives .

Posté par
buck92
Joute 63 29-02-12 à 15:22

gagnéBonjour,
il y a 84 tels couples différents.
Bravo pour avoir remarqué cette propriété et en avoir imaginé cette question vraiment étonnante !
Et quand on commence la recherche, 11 saute évidemment aux yeux, mais quelle surprise de constater que 11, 12 et 13 sont solution !
Cordialement.

Posté par
jonjon71
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 04-03-12 à 12:18

gagnéBonjour,

voici ma réponse :

Il y a 84 paires différentes de nombres compris entre 10 et 100 000 qui possèdent cette propriété.

Merci!

Posté par
brubru777
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 08-03-12 à 19:08

gagnéBonjour,

Je trouve 84 paires différentes

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 14-03-12 à 13:47

Clôture de l'énigme :

Citation :
Les poseurs d'énigmes sont comme des chefs en cuisine, ils fabriquent des plats qui seront engloutis rapidement par les convives .

Merci pour le compliment, Chatof . Certains devraient quand même regarder le menu avec plus d'attention.

Posté par
manpower
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 14-03-12 à 14:17

perduGrrrr, j'ai dû m'emmêler les crayons dans excel
Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir !

Posté par
Gryfo
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 14-03-12 à 14:50

gagnéEt dire que mon programme a vraiment fonctionné, franchement j'avais du mal à y croire

Je suis vraiment très content, par contre si ça c'est une énigme à seulement 2 étoiles, vu la complexité de celle-là, j'imagine même pas ce que ça donne pour 3 étoiles ou 4...

Posté par
LeDino
re : Joute n°63 : Miroir, mon beau miroir ! 14-03-12 à 17:54

gagnéJe constate avec "effroi" que je suis en tête du classement provisoire de février ...

Etant parti au ski sans possibilité de connexion,
j'ai répondu avec un retard d'une semaine à la dernière énigme (club 228).
Je n'imaginais pas que j'aurais ainsi à le regretter...
C'est bien la première fois que je perds une "étoile" au ski...

Je crois bien que c'est totti1000, sauvé in extremis de son
"alignement tardif" sur l'impossibilité des quatre points non alignés...
qui sauf improbable erreur finale, tirera les marrons des derniers feux de l'hiver...

Nous serons fixés sous peu...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 87:21:36.


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