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Suites et récurence fin du sujet Type Bac
Bonsoir à vous tous 
S'il vous plait je vous en suppli serait t'il possible de m'aider pour la fin de mon Devoir maison type Bac sur les suites ?
j'ai trouver le grand A et la première question de ce grand B mais je ne parvient pas du tout à trouver la suite. Cela fait plusieurs jours qu'avec des amis nous bloquons sur cet seconde partie
S'il vous plait aidez moi
Exercice :
Enoncé du début:
Les suites (an) et (bn) sont définies par O<a0<bo et, pour n>=0:
a(n+1)=racine(an.bn) (moyenne géométrique de an et bn) et :
b(n+1)=(1/2)(an+bn) (moyenne arithmétique de an et bn)
[...]
questions 1 à 5[...]
La figure ci-dessous permet d'obtenir géométriquement a(n+1) et b(n+1) à partir de an et bn
6) Décrire cette construction et justifier l'affirmation précédente.
Montrer par récurrence que, pour tout n>= O :
O<an<a(n+1)<b(n+1)<bn
7)a) déduire que, pour tout n>=0:
b(n+1)-a(n+1) < b(n+1)-an, puis que:
b(n+1)-a(n+1)<1/2(bn-an)
b) Prouver que, pour tout n>=0. bn-an<(b0-a0)*(1/(2^n))
c) quelle est la limite de bn-an?
8) déduire des questions précédentes qye les suites (an) et (b)n sont adjacentes. Leur limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels a0 et b0
J'aimerai tant à reussir à finir ce devoir maison s'il vous plait
Merci infiniment d'avance
Bonne soirée à vous tous
c'est quelle question que tu n'arrives pas à faire?
la question 6, c'est quoi " l'affirmation précédente? "
salut
malheureusement mon (ou ma) cher(e) A-lpha il nous faut tout le pb pour que l'on puisse éventuellement utiliser les questions que tu as déjà faites....désolé mais va falloir tout écrire
courage
Ok le point 6) est La construction ci-dessous permet d'obtenir géométriquement a(n+1) et b(n+1) a partir de an et bn
La figure ci-dessous permet d'obtenir géométriquement a(n+1) et b(n+1) à partir de an et bn
Ba me manque les question 6 7 et 8 :/
Merci encore de votre aide
Ok merci ciocciu
non je n'ai pas trouver la récurence (j'ai honte jje dois vous paraitre bien mauvais :'(
Merci encore de m'accorder de votre temps
Ben elle est pas forcement facile, la récurrence, on a l'impression de tourner en rond !
j'essaye de te retrouver ça 
On va commencer par l'assertion du "milieu"
Montrons, par récurrence, que pour tout n
0,
- pour n=0 ok d'apres la définition de la suite
- On suppose la propriété vraie pour un entier naturel, c'est à dire que . Montrons alors que l apropriété est vraie pour l'entier suivant n+1, c'est à dire que
.
"l'astuce" ici, c'est de calculer la différence :
=
=
>0 d'apres l'hypothèse de récurrencé ... CQFD
la propriété est vrai pour n=0, et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout n 0
Merci beaucoup pour ce début, mais je ne parviens toujours pas à continuer :'(
Pourrais-je encore avoir de l'aide s'il vous plait
S'il vous plait quelqu'un pourrai me venir en aide ? je suis toujours coincé ^^
S'il vous pait quelqu'un pourrais m'aider c'est pour demain :'(
bonsoir, il se trouvve que j'ai aussi le meme exercice et j'orai besoin d'aide pour demontrer b(n+1)-a(n+1)<1/2(bn-an)
merci d'avance
6) Décrire cette construction et justifier l'affirmation précédente.
Montrer par récurrence que, pour tout n>= O :
O<an<a(n+1)<b(n+1)<bn (*)
Admettons puisque tu l'as fait.
7)a) déduire que, pour tout n>=0:
b(n+1)-a(n+1) < b(n+1)-an (1)
suffit de dire a(n+1)>an => -an+1<-an => bn+1 - an+1 < bn+1 - an mais tu dois déjà l'avoir fait aussi...
puis que:
b(n+1)-a(n+1)<1/2(bn-an) (2)
en remplaçant bn+1 par sa valeur dans le terme de droite : (an+bn)/2-bn=(an-bn)/2
b) Prouver que, pour tout n>=0. bn-an<(b0-a0)*(1/(2^n))
En utilisant (2) et en descendant d'un rang à chaque opération :
bn-an<((a(n-1)-b(n-1))/2)/2=( ... )/2^2
Il faut itérer n fois sans compter celle-ci (n-1, n-2,... jusqu'à n0) : à chaque fois on descend d'1 les indice et l'opération nous fait diviser par 2 n fois... on a donc :
bn-an<((a(n-1)-b(n-1))/4<(a(n-2)-b(n-2))/8<...<a(0)-b(0)/2^n
c) quelle est la limite de bn-an?
c'est 0 pour n tend vers + l'infini
8) déduire des questions précédentes qye les suites (an) et (b)n sont adjacentes. Leur limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels a0 et b0
D'après (*) b décroissante , a croissante
De plus on vient de montrer que leur différance tend vers 0 donc elles sont bien convergentes.
La question ne demande pas de déterminer leur limite commune si je ne me trompe pas...
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