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Suites et récurence fin du sujet Type Bac

Posté par A-lpha (invité) 30-09-05 à 22:49

Bonsoir à vous tous

S'il vous plait je vous en suppli serait t'il possible de m'aider pour la fin de mon Devoir maison type Bac sur les suites ?
j'ai trouver le grand A et la première question de ce grand B mais je ne parvient pas du tout à trouver la suite. Cela fait plusieurs jours qu'avec des amis nous bloquons sur cet seconde partie
S'il vous plait aidez moi

Exercice :

Enoncé du début:
Les suites (an) et (bn) sont définies par O<a0<bo et, pour n>=0:

a(n+1)=racine(an.bn) (moyenne géométrique de an et bn) et :
b(n+1)=(1/2)(an+bn) (moyenne arithmétique de an et bn)

[...]
questions 1 à 5[...]

La figure ci-dessous permet d'obtenir géométriquement a(n+1) et b(n+1) à partir de an et bn



6) Décrire cette construction et justifier l'affirmation précédente.
Montrer par récurrence que, pour tout n>= O :

O<an<a(n+1)<b(n+1)<bn

7)a) déduire que, pour tout n>=0:

b(n+1)-a(n+1) < b(n+1)-an, puis que:

b(n+1)-a(n+1)<1/2(bn-an)

b) Prouver que, pour tout n>=0. bn-an<(b0-a0)*(1/(2^n))
c) quelle est la limite de bn-an?

8) déduire des questions précédentes qye les suites (an) et (b)n sont adjacentes. Leur limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels a0 et b0

J'aimerai tant à reussir à finir ce devoir maison s'il vous plait
Merci infiniment d'avance
Bonne soirée à vous tous

Suites et récurence fin du sujet Type Bac

Posté par
Rouliane
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 30-09-05 à 22:51

c'est quelle question que tu n'arrives pas à faire?

la question 6, c'est quoi " l'affirmation précédente? "

Posté par
ciocciu
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 30-09-05 à 22:53

salut
malheureusement mon (ou ma) cher(e) A-lpha il nous faut tout le pb pour que l'on puisse éventuellement utiliser les questions que tu as déjà faites....désolé mais va falloir tout écrire
courage

Posté par A-lpha (invité)re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 30-09-05 à 22:57

Ok le point 6) est La construction ci-dessous permet d'obtenir géométriquement a(n+1) et b(n+1) a partir de an et bn
La figure ci-dessous permet d'obtenir géométriquement a(n+1) et b(n+1) à partir de an et bn

Ba me manque les question 6 7 et 8 :/

Merci encore de votre aide

Posté par
ciocciu
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 30-09-05 à 23:05

désolé
il est trop tard
ch'uis cuit
je jetterai un oeil demain si t'as rien de neuf
sorry

Posté par
Rouliane
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 30-09-05 à 23:15

T'as réussi à faire la récurrence ou pas?

L'assertion a_{n} >0 est triviale

je réfléchis aux autres

Posté par A-lpha (invité)re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 30-09-05 à 23:18

Ok merci  ciocciu

non je n'ai pas trouver la récurence (j'ai honte jje dois vous paraitre bien mauvais :'(

Merci encore de m'accorder de votre temps

Posté par
Rouliane
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 30-09-05 à 23:28

Ben elle est pas forcement facile, la récurrence, on a l'impression de tourner en rond !
j'essaye de te retrouver ça

Posté par
Rouliane
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 30-09-05 à 23:43

On va commencer par l'assertion du "milieu"

Montrons, par récurrence, que pour tout n0, b_{n+1}>a_{n+1}

- pour n=0 ok d'apres la définition de la suite

- On suppose la propriété vraie pour un entier naturel, c'est à dire que b_{n+1}>a_{n+1}. Montrons alors que l apropriété est vraie pour l'entier suivant n+1, c'est à dire que b_{n+2}>a_{n+2}.

"l'astuce" ici, c'est de calculer la différence :

b_{n+2} - a_{n+2}=\frac{(a_{n+1)}+(b_{n+1)}-2\sqrt{a_{n+1}b_{n+1}}}{2}=(\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{b_{n+1}}}{\sqrt{2}})^2>0 d'apres l'hypothèse de récurrencé ... CQFD
la propriété est vrai pour n=0, et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout n 0

Posté par A-lpha (invité)re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 01-10-05 à 11:24

Merci beaucoup pour ce début, mais je ne parviens toujours pas à continuer :'(
Pourrais-je encore avoir de l'aide s'il vous plait

Posté par A-lpha (invité)re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 02-10-05 à 08:31

S'il vous plait quelqu'un pourrai me venir en aide ? je suis toujours coincé ^^

Posté par A-lpha (invité)re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 02-10-05 à 16:30

S'il vous pait quelqu'un pourrais m'aider c'est pour demain :'(

Posté par
nekhar
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 01-11-07 à 17:53

je remet ce sujet en route parce que j'ai exactement le même exercice et je suis coincé aussi

Posté par
Kaori26
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 03-11-07 à 20:43

bonsoir, il se trouvve que j'ai aussi le meme exercice et j'orai besoin d'aide pour demontrer b(n+1)-a(n+1)<1/2(bn-an)
merci d'avance

Posté par
Piaff
re : Suites et récurence fin du sujet Type Bac 16-02-10 à 18:28

6) Décrire cette construction et justifier l'affirmation précédente.
Montrer par récurrence que, pour tout n>= O :

O<an<a(n+1)<b(n+1)<bn (*)



Admettons puisque tu l'as fait.


7)a) déduire que, pour tout n>=0:

b(n+1)-a(n+1) < b(n+1)-an (1)


suffit de dire a(n+1)>an => -an+1<-an => bn+1 - an+1 < bn+1 - an   mais tu dois déjà l'avoir fait aussi...

puis que:

b(n+1)-a(n+1)<1/2(bn-an) (2)


en remplaçant bn+1 par sa valeur dans le terme de droite : (an+bn)/2-bn=(an-bn)/2

b) Prouver que, pour tout n>=0. bn-an<(b0-a0)*(1/(2^n))

En utilisant (2) et en descendant d'un rang à chaque opération :

bn-an<((a(n-1)-b(n-1))/2)/2=( ... )/2^2
Il faut itérer n fois sans compter celle-ci (n-1, n-2,... jusqu'à n0) : à chaque fois on descend d'1 les indice et l'opération nous fait diviser par 2 n fois... on a donc :

bn-an<((a(n-1)-b(n-1))/4<(a(n-2)-b(n-2))/8<...<a(0)-b(0)/2^n

c) quelle est la limite de bn-an?

c'est 0 pour n tend vers + l'infini

8) déduire des questions précédentes qye les suites (an) et (b)n sont adjacentes. Leur limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels a0 et b0

D'après (*) b décroissante , a croissante
De plus on vient de montrer que leur différance tend vers 0 donc elles sont bien convergentes.

La question ne demande pas de déterminer leur limite commune si je ne me trompe pas...



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