Challenge n°117

Posté par puisea puisea

Bonjour, nouvelle énigme :

A partir de la figure jointe, déterminez s'il est possible que = , et si oui, pour quelle(s) valeur(s) de est-ce possible en ayant au préalable donné la valeur de en fonction de ?

J'espère que cette fois c'est la bonne, après tout jamais deux sans trois...

Bonne chance à tous

Posté par piepalm piepalm

On a tan(théta)+cotan(béta)=2 donc
béta=arctan(1/(2-tan(théta))
si béta=théta, posons t=tan(théta)
t+1/t=2 soit t=1 et théta=béta=pi/4 (45 degrés)

Posté par levrainico (invité)

ca a l'air de marcher cette fois puisea,
Bonsoir,
je note H le milieu de AD

tan()=BH/AH= BH/(AD/2)      (1)
tan()=DH/(CD-BH) = (AD/2)/(AD-BH)      (2)

ainsi,
(1)-> BH=AD*tan()/2
(2)-> tan()=(AD/2)/(AD-(AD*tan()/2))
-> tan()=(1/2)/(1-(tan()/2))
-> tan()=1/(2-(tan()))

= si tan()=tan()
on note X=tan()
on cherche à résoudre l'équation:
X=1/(2-X)

X=1 ets l'unique solution

ainsi, = si tan()=1
donc ==45°

merci

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On a tan() = x/a
tan() = a/(2a-x) = 1/(2-x/a) = 1/(2-tan() )
= arc tan [1/(2-tan()]

Pour que = et comme les angles sont compris entre 0 et 90°, on doit avoir :
tan() = tan()  = 1/(2 -tan())
1-2*tan() +tan²() =0
tan() =1
d'où = = 45°
Il est donc possible que = , les deux angles prenant la valeur de 45°.

Posté par jugo jugo

Puisque AD=AC, la solution évidente est de tracer une droite entre A et C,
ce qui donne teta = beta = 45°
Ensuite, si teta < 45°, alors beta > 45°
Et si teta > 45°, alors beta < 45°
La solution trouvée est donc unique.

En exprimant teta en fonction de beta (puisque c'est demandé),
et avec les notations de mon dessin:
b+c=2a
tan(teta) = c/a
tan(beta) = a/b = a / (2a - c ) = a / ( 2a-a tan(teta) )

donc beta = Arctan ( 1 / (2-tan(teta)) )

pour que beta = teta, il faut que tan(beta) = tan(teta)
donc que c / a = a / (2a-c)
donc 2ac - c² = a²
donc (a-c)² = 0

et donc c=a, ce qui donne beta = teta  = 45° seule solution

Posté par caylus caylus

Bonsoir,

Comme et que , on a .
Soit 2.a la distance AD et x la distance de la droite AD au point B.
On a:



=>
=>
=>x=a.
Donc B est le milieu de AC. Les points ABC sont donc alignés !
Le triangle ADC étant isocèle rectangle, les angles à la base valent 45°.
La relation entre est :

=>

Posté par paulo paulo

bonsoir,

soit J l'intersection de d₁B avec AD  .




la reponse est oui et cela implique:


                


et B est le milieu de  d₁J et de AC puisque le triangle ADC devient rectangle et isocele.

voila j'espere avoir repondu

merci pour cette enigme

salutations

Paulo

Posté par jams (invité)

Oui c'est possible !
Je trouve =/2 - Arctan(2-tan)
et on trouve = si =/4

Posté par jacques1313 jacques1313

Notations : c = AD = CD ; b = HB.
Remarque : >90°> quand b>c donc on supposera, pour tout ce qui suit, b compris strictement entre 0 et c (on vérifie aisément que ces deux cas ne marchent pas).
On aura alors 0°90° et 0°63,4°.




Donc la valeur de en fonction de est :
.


45°.

Le problème admet donc une seule solution : =45°.

Posté par goupi1 (invité)

On arrive à l'équation :

ce qui n'est possible que si B est sur la droite AC c'est à dire que si sont égaux à 45 degrés (la droite AE passant par C).

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponses proposées :

Expression de béta = f(théta)
a) 0 < théta < arctan(2) => béta = arctan( 1/(2-tan(théta)) ) en radians
b) arctan(2) < théta < pi/2 => béta = pi + arctan( 1/(2-tan(théta)) ) en radians
les angles sont en radians, donnés en valeurs non signée puisque pas d'orientation sur les ouvertures angulaires. Un graphe en prime.

béta=théta
il faut résoudre y=x=arctan( 1/(2-tan(x)) ) dont la seule solution est y=x=pi/4
Point A sur le graphe.
théta=béta=45°=pi/4 rad

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par borneo borneo

Merci pour cette révision de trigo... matière dont j'ai horreur. Bref, après avoir beaucoup galéré (pas vu que AD = DC hi hi) j'ai trouvé une formule qui marche.

tan = 1/(2-tan)

(tan veut dire tangente)

donc pour avoir on prend la fonction réciproque (arctangente) de l'expression 1/(2-tan)

Voilà pour la formule, ce qui ètait le plus dur, car la solution saute aux yeux.

Ensuite, on veut que = donc leurs tangentes seront égales, je les appelle x
on se retrouve avec l'équation
x = 1/(2-x)
qui donne x²-2x+1=0
donc il y a une solution unique x=1

Pour qu'une tangente soit égale à 1, l'angle est de 45 degrés

Réponse : solution unique pour = 45 degrés

Merci pour l'énigme

Posté par sof (invité)

voici l'expression de en fonction de avec des valeurs approchées :
=0,409+26,57
26,57 est la valeur approchée de tan^-11/2
donc les deux angles sont égaux lorsque theta vaut 45 degré

Posté par olive (invité)

La relation qui lie bêta et theta est tangente(theta) + cotangente(beta) = 2.
Ce qui donne la fonction suivante pour beta :
beta = arccotg[2-tangente(theta)]

la solution beta = theta est possible et donne pour valeur beta = theta = 42°

ps: j'espère que le cprrecteur va comprendre car je ne maitrise pas Latex pour le texte mathématique

Posté par masterfab2 masterfab2

D'après la figure,

tan=1/(2-tan)

Donc si on veut =

il faut pour 0<<90


=45°

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonjour,

J'obtiens une relation simple entre theta et beta:

tg(beta)=1/(2-tg(theta))

En posant x=tg(beta)=tg(theta), on obtient x=1, ce qui signifie que beta=theta si theta=45°. Il n'y a pas d'autre solution car theta est compris entre 0° et 90°

Merci pour ce beau problème!

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation.
Prochaîne énigme de suite.

Posté par olive (invité)

grrrrr
la relationest correcte mais une erreur de frappe a transformé 45° en 42°

Question au correcteur : une fonction aprochée est-elle la réalité?

Posté par puisea puisea

Non ce n'est pas la réalité exacte puisqu'elle approchée... mais il y a approchée et approchée... Et mon avis a opté, dans le cas de sof, pour un smiley

Posté par olive (invité)

pour info : la cotangente est la fonction inverse de la tangente.

D'autre part quand on affirme que beta =0,409. theta +26,57 va donner pour solution beta = theta = 45°

Je râle, mais je trouve que certains correcteurs ont des appriori costaux

Posté par olive (invité)

il fallait exprimer beta en fonction de theta. la fonction proposée est fausse. donc ???

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Pour information, ci-joint le tracé de la courbe y = arctan(1/(2-tanx).avec x en radians (pas vraiment une droite au passage !!)
On remarque que son intersection avec y=x est bien à x= /4

Posté par sof (invité)

merci olive pour ton observation. puisque mon niveau niveau n'est pas très grand j'ai voulu donné une simple fonction affine sous la forme de ax+b

Posté par puisea puisea

Pour répondre à olive : la fonction de sof est bien en fonction de théta, cela répond à l'énoncé.

Posté par olive (invité)

sof, ce n'est pas dirigé vers toi. Simplement je pense que le système de correction des énigmes est foireux par moment.on demande deux chose. on se trompe à une dans un cas et on a un poison. on se trompe à une autre solution dans un autre cas et on a un sourire. Il y a deux poids, deux mesures

Posté par sof (invité)

mais je sais bien que ce n'est pas une fonction affine

Posté par borneo borneo

Eh bien moi, j'ai essayé de la tracer, cette fonction. J'ai d'abord opté naïvement pour une fonction affine, mais pour 45 degrés (solution évidente) ça ne collait pas. Ensuite j'ai testé une fonction y=ax²+b mais ça ne collait pas non plus graphiquement. J'ai pensé ensuite à une fonction circulaire et j'en ai eu marre de tâtonner, donc j'ai cherché des égalités dans la figure, et j'ai assez facilement trouvé la formule avec le tangente. J'ai fait 2 ou trois exemples numériques et j'ai vu que ça collait.
Et là, j'ai croisé les doigts, car la fonction tangente, je ne voyais pas du tout à quoi ça ressemblait.

D'ailleurs, j'aimerais bien qu'un prof de maths m'explique pourquoi aucun bouquin ne rappelle que le sinus est côté opposé sur hypothénuse, le cosinus côté adjacent sur hypothénuse, et la tangente sinus sur cosinus. J'ai fait au moins 3 bouquins et plusieurs dictionnaires avant de retrouver la formule. S'il y a un moyen mnémotechnique pour s'en souvenir, ça m'intéresse

Posté par puisea puisea

Voila comment je m'en souviens

sohcahtoa

prononciation : sokatoa

s = o/h
c = a/h
t = o/a

Posté par Pookette Pookette

salut,

le moyen de puisea est très bon !
moi j'ai appris:
cosadjip (cos = adj / hyp)
sinopip (sin = opp / hyp)
tanopadj (tan = opp / adj)



Pookette

Posté par borneo borneo

Merci

Posté par zackary0 (invité)

j'ai marqué 45°, et c'est marqué faux, comment sa se fait ?

Posté par puisea puisea

Car il fallait donner en complément l'équation mettant en relation théta et béta

Posté par manpower manpower

Bonjour,

J'ai boudé cette énigme et je me permet deux petites remarques.
L'énoncé me semble à la fois trop succint (le point B est mobile sur d1...) avec des données superflues (E?) mais surtout : Nul besoin d'une relation de théta en fonction de béta pour résoudre ce problème.
En considérant le carré AFCD construit sur ACD, par propriété de la symétrie axiale, l'égalité d'angles se réalise si et seulement si B appartient à la diagonale [FD]. Le résultat est alors instantanné.

Pour info, j'ai bien sûr trouvé toutes les différentes relations proposées et même celle-ci :
= Arctan ((1-d)/2) si d<AD/2
= si d=AD/2
= + Arctan ((1-d)/2) si d>AD/2
( où d est la distance de B à (AD) )

Pourquoi demander une relation liant théta et béta ? (une justification ne suffirait-elle pas ?)

Bon, ce n'est qu'un avis personnel et il ne faut point mal prendre ces remarques...

Posté par puisea puisea

Je ne les prends pas mal du tout manpower, et les comprend tout à fait, en effet puisque ACD peut être isocèle on pouvait trouver directement 45°. Mais je voulais plus q'une déduction géométrique pour rendre l'énigme légèrement plus corsée, selon moi.