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Le flocon de Koch


premièreLe flocon de Koch

#msg4565997#msg4565997 Posté le 16-02-13 à 18:41
Posté par Profilminiatio miniatio

Salut les gens, j'ai un DM de maths à faire (1S hyperbole 89p131) et je n'arrive pas du tout comment me lancé de dans.. Alors....
Le flocon de Koch est une figure géometrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral par réitération d'une transformation appliquée à chaque côté du triangle.
Le segment [AB] est transformé en une ligne brisée de quatre segments de longueur 1/3.
1- Etude du nobre de cotés
Pour tout entier naturel n, n>=1 on note Cn le nombre de segments qui constituent le flocon à l'étape n.
a) Donner les valeurs de C1, C2, C3, C4.
b) Démontrer que la suite (Cn) n>=1 est géometrique.
Exprimer Cn en fonction de n.

2) Etude du perimetre
Pour tout entier naturel n, n>=1 on note Un la longueur du segment à l'étape n.
a) Demontrer que la suite (un) n>=1 est geometrique
exprimer un en fonction de n.
b) Démontrer que le périmetre du flocon à l'étape n'est donné par Pn = 3*(4/3)^n-1
3) Etude de l'aire
Pour tout entier naturel n, n>=1, on note an l'aire du flocon à l'étape n.
b) de l'étape n à l'etape n+1, l'aire est augmentée de celle des Cn triangles équilatéraux de cotée un+1.
En déduire an+1-an en fonction de n
c) Calculer (an-an-1)+...+(a2-a1) de deux façons différentes. En déduire la valeur de an pour n>=2
d) Donner une valeur approchée de a50 arrondie au millieme.

JAI VRAIMENT BESOIN A UNE AIDE :/
Merciii d'avance ..
re : Le flocon de Koch#msg4566422#msg4566422 Posté le 16-02-13 à 23:02
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonsoir miniatio

Je suppose que tu as déjà commencé...

La simple lecture de la figure montre que C1=3 ; C2 = 12
Comme l'indique l'énoncé, à chaque étape, un segment en transformé en une ligne brisée de quatre segments.
Donc  C3 = 4*12 = 48 ; C4 = 4*48 = 192.

Ainsi  C_{n+1}=4\times C_n.

La suite  (C_n)  est géométrique de raison 4 et dont le 1er terme est  C_1=3
Citation :
Exprimer Cn en fonction de n.
Applique la formule permettant de calculer  C_n

Petit rappel :  Si (u_n) est une suite géométrique de raison q et dont le premier terme est u_1, alors \boxed{u_n=u_1\times q^{n-1}}
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re : Le flocon de Koch#msg4566428#msg4566428 Posté le 16-02-13 à 23:08
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Question 2)

Citation :
Le segment [AB] est transformé en une ligne brisée de quatre segments de longueur 1/3.
Donc  u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\times u_n

Tu peux ainsi terminer la question 2a).

Pour le périmètre  P_n, on sait qu'à l'étape n, le flocon est constitué de  C_n côtés ayant chacun une longueur  u_n.

Par conséquent,   P_n=C_n\times u_n = ...
re : Le flocon de Koch#msg4566434#msg4566434 Posté le 16-02-13 à 23:14
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Question 3)

Tu dois savoir que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est donnée par la formule  Aire = a^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}.
Cela se démontre assez facilement si tu penses à calculer la hauteur du triangle équilatéral par Pythagore.

Pour répondre à la question b), essaie de traduire ceci :
Citation :
de l'étape n à l'etape n+1, l'aire est augmentée de celle des Cn triangles équilatéraux de cotée un+1.
re : Le flocon de Koch#msg4566443#msg4566443 Posté le 16-02-13 à 23:25
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Pour l'aire du triangle équilatéral, voici un lien parmi d'autres pour t'aider.  
Le flocon de Koch#msg4567704#msg4567704 Posté le 17-02-13 à 18:17
Posté par Profilminiatio miniatio

Merci beaucoup pour l'explication,

Justement avant ton aide j'avais rien compris mais là j'ai presque compris alors j'ai trouvé :
Cn= C1*4^n-1        
    
Un=u1*(1/3)^n-1  

Pn= C1*(4^n-1)*U1*(1/3)^n-1
  = 3*(4/3)^n-1

Avec le pythagore: h²=c²-(c/2)² -> 3/4c²   donc h=racine de(3)/2*c
A= 1/2h*c
= 1/2*(3/4c)*c
= racine de 3/4c²

Alors A1= racine de 3/4*1²
      A1= racine de 3/4
(J'ATTEND LA CONFIRMATION SI MES REPONSES SONT EXACTE )
Puis apres b, je rebloque sur les questions posées , aurez vous d'autre solution à me posé pour que j'arrive à comprendre  l'exo :/
A1#msg4567719#msg4567719 Posté le 17-02-13 à 18:26
Posté par Profilminiatio miniatio

pour A1= 3/16 ??
re : Le flocon de Koch#msg4568027#msg4568027 Posté le 17-02-13 à 20:41
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Citation :
Avec le pythagore: h²=c²-(c/2)² -> 3/4c²   donc h=racine de(3)/2*c
A= 1/2h*c
= 1/2*(3/4c)*c
Faute de frappe je suppose...
A=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{c\sqrt{3}}{2}\times c = c^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}

Citation :
Alors A1= racine de 3/4*1²
      A1= racine de 3/4
OK!  

A_1=\dfrac{\sqrt{3}}{4}

Je ne comprends pas pourquoi tu as modifié cette réponse dans ton message de 18h26...
#msg4569380#msg4569380 Posté le 18-02-13 à 20:43
Posté par Profilminiatio miniatio

c'est bon enfte apres j'ai fais une erreur de calcul x) mais du coup apres le 3b les questions sont facultatif (a dit la prof ce matin) mais j'aimerais quand meme savoir c'est quoi la formule pour faire le b pck j'ai passé des heure à le faire et encore pas reussi !
re : Le flocon de Koch#msg4569392#msg4569392 Posté le 18-02-13 à 20:51
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Tu parles de ceci ?
Citation :
b) de l'étape n à l'etape n+1, l'aire est augmentée de celle des Cn triangles équilatéraux de cotée un+1.
En déduire an+1-an en fonction de n
re : Le flocon de Koch#msg4569464#msg4569464 Posté le 18-02-13 à 21:22
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

En vertu de ce qui vient d'être écrit en citation, nous avons :

A_{n+1}-A_n=C_n\times (u_{n+1})^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=3.4^{n-1}\times [(\dfrac{1}{3})^n]^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=3.4^{n-1}\times [(\dfrac{1}{3})^2]^n\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=3.4^{n-1}\times (\dfrac{1}{9})^n\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=4^{n-1}\times (\dfrac{1}{9})^n\times \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=4^{n-1}\times \dfrac{1}{9^n}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=4^{n-1}\times (\dfrac{1}{9^{n-1}}\times\dfrac{1}{9})\times \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=(\dfrac{4}{9})^{n-1}\times\dfrac{1}{9}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\A_{n+1}-A_n=(\dfrac{4}{9})^{n-1}\times \dfrac{\sqrt{3}}{12}
#msg4569544#msg4569544 Posté le 18-02-13 à 21:59
Posté par Profilminiatio miniatio

Es-tu 1 ange qui a tombé du ciel ?   merciii
re : Le flocon de Koch#msg4569556#msg4569556 Posté le 18-02-13 à 22:05
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

... un ange parmi les flocons...

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