Bonjour

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Quelque chose a du m'échapper... Si je prends pour la suite constante de valeur 100, j'obtiens bien 5200, maximal, non?

Camélia>

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En fait, est le nombre de résultats différents qu'on peut obtenir en sommant des termes de la suite . Par exemple, si , les résultats différents en question sont donc .

Bonjour Strauss.

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La plus petite somme possible est 52, avec cinquante-deux 1.
Ensuite, on peut remplacer un à un les 1 par des 2, puis des 2 par des 3, etc. La somme augmente chaque fois de 1. La somme maximale est 5200 avec cinquante-deux 100.
S_x = 5200-50+1 = 5149.

Je précise un peu mon énoncé qui n'est peut-être pas assez clair puisqu'au moins deux intervenants ne l'ont pas compris

Si par exemple , les différents résultats qu'on peut obtenir en sommant des termes de sont . Par conséquent .
Autre exemple : si , il est facile de voir que .

Quand décrit , quelle est la valeur maximale prise par ?

____________________
Pour les amateurs de formalisme :

Notons et .
Si , désigne l'application de dans qui à associe . Soit .
La question posée est : que vaut ?

Bonjour,
un minorant et un majorant

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S_x<5201 car le plus grand nombre possible est 5200
S[sub]x[/sub4628 qui est atteint pour x={1;2;4;8;16;32;64;100;...}

Ah chouette, une réponse

verdurin>

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Merci de faire avancer le problème !

Notons la valeur maximale prise par les quand parcourt .

Je suis d'accord avec toi, on a bien .

Voilà comment faire un peu mieux (pour commencer) :
Choisissons tel que . Posons .
Cas où .
Les deux plus petites (resp. grandes) sommes qu'on peut obtenir à partir de sont et (resp. et ). Par conséquent , d'où .
Cas où .
Les trois plus petites (resp. grandes) sommes qu'on peut obtenir à partir de sont , et (resp. , et ).
Par conséquent , d'où .

Effectivement, c'est astucieux de prendre car on obtient bien , valeur déjà importante !

Finalement on a déjà :

Qui dit mieux ?

De fait je crois que ma minoration est égale à S_x.
Mais ça reste à démontrer.

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Une esquisse :
On prend des nombres quelconques et on regarde le nombres de résultats possibles.
le nombre maximum de résultats possible est car c'est le nombre de parties distinctes. Il est atteint si la suite , supposée croissante, vérifie ce qui assure que toutes les sommes sont différentes.
Le choix des sept premiers nombres est donc optimal, même si ce n'est pas la seule possibilité.

Il y a une suite ici

Au passage, j'aurais aimé pouvoir remercier blaaang  pour le lien.