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Etude de fonction / bijectivité
Bonjour,
Je suis actuellement plongé dans un exercice et je bloque sur certaines parties.
Soit E l'ensemble des réels x tels que ln soit défini.
Soit f: E R
1) Déterminer E
Pour tout X de R on a valeur absolu X ≥ 0 donc pour tout x de R on a valeur absolu (x)/(x-2) ≥0.
Or la fonction ln est défini sur ]0;+inf[ donc j'en déduis que E=]-inf;1[ U ]1;+inf[.
Je le vois graphiquement mais comment le justifier correctement en partant du domaine de la valeur abs et du domain de ln ?
2) Soit g la restriction de f à ]0;2[. Montrer que g est bijective et donner l'expression de g^-1.
Je sais qu'une fonction est bijective lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Ce que je ne comprends pas c'est comment exprimer g pour ensuite déterminer la bijectivité ?
3) Déterminer . Donner le tableau de variations de h et tracer sa courbe
Cette question ne devrait pas me poser de problèmes une fois débloqué sur la 2.
Je vous remercie
Bonne journée 
La fonction est définie sur IR privé de 0 et 2.
Pour montrer qu'une fonction continue est bijective, il est pratique de montrer qu'elle est monotone.
Je vous remercie je vais donc étudier ses varations et le montrer ! Auriez-vous des indications pour déterminer proprement E pour la 1 ?
L'expression à l'intérieur du ln doit être strictement positive. On est déjà sûr qu'elle est supérieure ou égale à 0 (c'est une valeur absolue), il faut donc juste qu'elle ne soit pas nulle (numérateur non nul donc x différent de 0) et qu'elle soit bien définie (dénominateur non nul donc x différent de 2).
J'ai montré la bijectivité de g, pour déterminer sa réciproque, j'arrive à l'équation y=g(x) soit y= ln (x / (-x+2) ). On change le signe du dénominateur lors du retrait de la valeur absolu puisque sur ]0;2[ il est négatif.
Mais comment résoudre cette équation et en déduire g^-1 ?
Je vous remercie
On a donc e^y=e^(ln(x/(-x+2))
De là est-ce correct d'en déduire que y=x/-x+2 ? D'ou x=y(-x+2)
Ensuite on sait que x=f^-1(y) donc f^-1=x/y=-x+2
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