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la récurence

Posté par
nadege3 22-10-14 à 10:16

Bonjour,

donné q(n) définie par q0=0 et pour tout n>= 0 , qn+1 =2qn + (-1)^n
comparait la suite qn à la suite pn qui est géométrique définie pour tout n , par pn=2^n
dans u tableau il y a une colonne n allant de 0 à 30, une q(n), une p(n) et une qui est une conjecture (1/3)p(n)

1) créé une nouvelle colonne pour tester la conjecture (1/3)p(n)
2) améliorer cette conjecture si elle n'est pas vérifier ? Elle n'est pas vérifier
tester à nouveau cette nouvelle conjecture .
3) Par récurrence vérifier l'expression de qn en fonction de n
4) qn, qn+1 et qn+2 sont a observer. Déduire une conjecture pour obtenir qn+2 en fonction de qn+1 et qn.
Vérifier sur exel et démonter si elle est vrai

je suis bloqué, pouvez vous m'aider s'il vous plais

Posté par
david9333re : la récurence 22-10-14 à 17:38

Bonjour,

Qu'est-ce qui te pose problème ?

Posté par
nadege3re : la récurence 22-10-14 à 19:19

je sais pas comment il faut modifier la conjecture

Posté par
david9333re : la récurence 22-10-14 à 19:40

Regarde les premiers termes de la suite et essaye de rajouter quelque chose à la suite (pn) pour que ça te donne les bons termes

Posté par
nadege3re : la récurence 22-10-14 à 19:54

on ajoute des multiple de 2

Posté par
david9333re : la récurence 22-10-14 à 20:18

?
Regarde : q_1=1=\frac{1}{3}2^1+\frac{1}{3}
q_2=1=\frac{1}{3}2^2-\frac{1}{3}
q_3=3=\frac{1}{3}2^3+\frac{1}{3}
q_4=5=\frac{1}{3}2^4-\frac{1}{3}

Est-ce que tu veux ce qu'on peut conjecturer ?

Posté par
nadege3re : la récurence 22-10-14 à 20:58

on conjecture (-1)^n=-(-1)^n??

Posté par
david9333re : la récurence 22-10-14 à 21:05

Non.
On peut conjecturer que q_n=\frac{1}{3}2^n +(-1)^{n+1}.
Essaye de le montrer

Posté par
david9333re : la récurence 22-10-14 à 23:28

pardon c'est q_n=\frac{1}{3}2^n+\frac{1}{3}(-1)^n

Posté par
david9333re : la récurence 22-10-14 à 23:29

je vais y arriver :
q_n=\frac{1}{3}2^n+\frac{1}{3}(-1)^{n+1}

Posté par
nadege3re : la récurence 23-10-14 à 09:11

donc on conjecture que qn=(1/2)2^n +1/3 (-1)^n+1

je fais la récurrence au brouillon et je vous direz mon résultat

Posté par
nadege3re : la récurence 23-10-14 à 09:58

pour l'initialisation on part de q0=(1/2)2^0 +1/3 (-1)^0+1
q0=0

pour l'hérédité : on sait que qk+1=2qk + (-1)^k  
il faut artire de qk+1 de l'enoncer ou de qk=(1/3)*2^k +1/3 (-1)^k+1

Posté par
david9333re : la récurence 23-10-14 à 19:07

Pour l'hérédité : soit k un entier tel que q_{k}=\frac{1}{3}2^k+\frac{1}{3}(-1)^{k+1}.
Il faut montrer que q_{k+1}=\frac{1}{3}2^{k+1}+\frac{1}{3}(-1)^{k+2}

Pour cela on part de la définition de la suite :
q_{k+1}=2q_k+(-1)^{k+1}.
Ensuite, tu utilises l'hypothèse de récurrence pour remplacer q_k par sa valeur et en simplifiant, tu obtiens le résultat

Posté par
nadege3re : la récurence 30-10-14 à 09:42

désoler de vous répondre qu'aujourd'hui, j'avais un problème d'internet,
q{k+1}=2qk+(-1)^{k+1}= 2(1/3 *2^k + 1/3 (-1)^k+1) +(-1)^k+1

Posté par
nadege3re : la récurence 30-10-14 à 17:18

est ce sue c'est ça le début q{k+1}=2qk+(-1)^{k+1}= 2(1/3 *2^k + 1/3 (-1)^k+1) +(-1)^k+1

Posté par
david9333re : la récurence 30-10-14 à 17:39

Oui. Par définition q_{k+1}=2q_k+(-1)^{k+1}
Or par hypothèse de récurrence q_k=\frac{1}{3}2^k+\frac{1}{3}(-1)^{k+1}
Donc q_{k+1}=2\times(\frac{1}{3}2^k+\frac{1}{3}(-1)^{k+1})+(-1)^{k+1}
Ensuite, il faut développer et réduire et obtenir q_{k+1}=\frac{1}{3}2^{k+1}+\frac{1}{3}(-1)^{k+2}

Posté par
nadege3re : la récurence 30-10-14 à 18:00

q{k+1}=2*((1/3*2^k)+1/3(-1)^k+1)+(-1)^{k+1}
=2(2/3^k -1/3^k+1) +(-1)^k+1
=4/3^k -1/3^k+1

je trouve pas du tout ça

Posté par
david9333re : la récurence 30-10-14 à 18:09

Attention \frac{1}{3}2^k\neq\left(\cfrac{2}{3}\right)^k en général !!

Et je me suis trompé dans la relation qui définit la suite : c'est q_{k+1}=2q_k+(-1)^k
On a q_{k+1}=2\times\frac{1}{3}2^k+\frac{2}{3}(-1)^{k+1}+(-1)^{k}=\frac{1}{3}2^{k+1}+\frac{2}{3}(-1)^{k+1}+(-1)^k
Or (-1)^{k+2}=(-1)^k\times(-1)^2=(-1)^k et (-1)^{k+2}=-1\times(-1)^{k+1}
donc \frac{2}{3}(-1)^{k+1}+(-1)^k=\frac{-2}{3}(-1)^{k+2}+(-1)^{k+2}=\frac{1}{3}(-1)^{k+2} : exactement ce que l'on voulait..

Posté par
nadege3re : la récurence 30-10-14 à 18:25

ok j'ai compris ce que vous avez fait merci

4) Déduire une conjecture pour obtenir qn+2 en fonction de qn+1 et qn.

je conjecture sue qn+2 =2*qn+1 ??

Posté par
nadege3re : la récurence 30-10-14 à 18:31

a la ligne on a  il y a que des k+1 et a la ligne or, un k+2 apparaît, g un petit soucie

Posté par
nadege3re : la récurence 01-11-14 à 13:10

4) Déduire une conjecture pour obtenir qn+2 en fonction de qn+1 et qn.

je conjecture sue qn+2 =2*qn+1 ??

s'il vous plais c a dernière question

Posté par
david9333re : la récurence 01-11-14 à 15:04

Non, par définition, q_{n+2}=2q_{n+1}+(-1)^{n+1}=2q_{n+1}-(-1)^n
Or q_{n+1}=2q_n+(-1)^n donc (-1)^n=q_{n+1}-2q_n
donc q_{n+2}=2q_{n+1}-q_{n+1}+2q_n=q_{n+1}+2q_n

Posté par
nadege3re : la récurence 02-11-14 à 13:43

ok d'accord, merci pour tout


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