Forum : limites :
Je ne comprends pas comment calculer des limites

Bonjour,

Ayant raté mes premiers cours sur les limites, j'ai beaucoup de mal, je cherche un cours bien expliqué sur le calcul des limites ou tout simplement de bonnes explications.

Pourriez vous m'aider svp ?

Merci à vous

@++

Va voir les fiches de maths

Ou alors essaye de faire un exercice et poste-le si tu es bloqué. Rien de tel qu'un problème pour apprendre. Tracer les courbes des fonctions que tu étudies aide bien aussi, car on peut visualiser les limites et vérifier ce qu'on a trouvé.

Bonsoir

Bon allez je me lance :

Méthodes sur les limites

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Limite d'une fonction en un réel de son ensemble de définition :

En 1ère, la plupart des fonctions qu'on étudie sont continues sur leur ensemble de définition, c'est à dire que la limite de ces fonctions en un réel est simplement l'image de ce réel.
Plus particulièrement :
Les polynômes, les fractions rationnelles, les fonctions irrationnelles et les fonctions trigonométriques sont continues sur leur ensemble de définition.
On écrit formellement :
Soient f est une fonction définie et continue sur un intervalle I et a un élément de cet intervalle.
Alors :


Certaines fonctions ne sont pas continues sur leur ensemble de définitions comme certaines fonctions affines par morceau ou même la fonction partie entière, mais les limites de ces fonctions sont hors programme.

Exemples :






Limite d'une fonction en un réel "exclu" de l'ensemble de définition.

Déjà traduisons ce titre barbare :
Il arrive que certaines fonctions ne soient pas définies en certains réels, comme par exemple la fonction inverse qui n'est pas définie en 0.
Mais ce n'est pas parce qu'une fonction n'est pas définie en un réel qu'elle n'y admet pas de limites.
La méthode ici va être plus délicate car il n'en existe pas qu'une, faisons en plusieurs étapes :

a)Limites des fractions rationnelles
On peut tomber sur deux types de problèmes (dont un qui n'en est pas vraiment) :
Quand seul le dénominateur de la fraction s'annule en a où a est le réel en lequel on cherche la limite
Une méthode :
Il faut savoir que :
(c'est-à-dire que la limite de lorsque x tend vers 0 mais en partant de valeurs positives est )
et
(x tend vers 0 mais en partant de valeurs négatives)

Aussi, lorsqu'on tombe sur un cas du type (cette notation n'est pas très rigoureuse mais assez explicite) il s'agit de savoir le signe du dénominateur suivant si l'on fait tendre x vers a par la droite ou par la gauche.

Exemple :

Il est clair qu'on est sous la forme car lorsqu'on remplace x par 1, on a bien x-1=0
Il faut donc savoir de quel signe est x-1 suivant si l'on fait tendre x vers 1 par la droite ou par la gauche
On voit rapidement que :

Ainsi :

et


Je voudrais signaler ici que les limites à droite et à gauche de 1 de la fonction sont différentes. En fait, on dit que cette fonction admet une limite à gauche et à droite de 1, mais vu qu'elles sont différentes, elle n'admet pas de limite en 1

Autre exemple :

Ici aussi nous sommes en présence de la forme sauf qu'ici on peut conclure rapidement car que x soit > 0 ou < 0, x² sera toujours positif, donc finalement :


Dernier exemple plus concret :


Malheureusement, le dénominateur s'annule en 2 (mais pas le numérateur, ouf !).
Ainsi nous allons chercher à savoir de quel signe est ce numérateur suivant que l'on est à gauche ou à droite de 2. Pour cela un tableau de signe va nous aider :


Aussi voit-on qu'à gauche de 2, le dénominateur est négatif, alors qu'à droite il est positif.
Ainsi :
(le 1 au numérateur vient du fait que x-1 vaut 1 en 2)
et


Quand le numérateur et le dénominateur s'annule
On appelle cela une forme indéterminée du type
Pour s'en sortir, dans le cas toujours d'un quotient de deux polynômes (le reste est hors programme ou donné sous forme d'énoncé guidé), il suffit de factoriser numérateur et dénominateur par (x-a) (ce qui est possible puisqu'ils s'annulent tout les deux en a) et de simplifier
Exemple :

On a évidemment :

Mais on remarque que :
et
Ainsi :

et par conséquent :


b)Autres cas, un peu plus rares en 1ére
Ces autres cas concernent le plus souvent les racines carrées, comme par exemple :


On est sous la forme indeterminée
On la lève facilement en utilisant la notion de nombre dérivé :

Ici, f est la fonction et a=0. f est bien dérivable en 0 et il advient :



je ne m'etends pas plus sur le sujet car en général si l'on doit calculer ce genre de limite en 1ére, on sera guidé par l'énoncé.

Limite d'une fonction en une borne infinie

Une limite en une borne infinie est une limite en plus ou moins .

Là encore, il y a plus cas, je vais étudier précisément les plus fréquents et m'étendre un peu moins sur les plus rares en premières.

a)Limites usuelles
Pour comprendre la suite, il faut connaitre les limites usuelles en l'infini qui sont :
et ce quelque soit n entier
Par contre :

Il faut aussi connaitre :


A APPRENDRE PAR COEUR !

b)Limites infinies des polynômes
Une méthode réccurente que tout le monde ici connait et répète malheureusement sans cesse : On factorise par le monôme du plus haut degré et on conclut en utilisant les limites usuelles.

Il n'y a pas de formule générale pour expliciter cette méthode, un exemple me semble le plus parlant :


On ne peut pas conclure directement, car et
Or, les cas sont des formes indeterminées.
Pour les lever, comme je l'ai dis, on factorise par le monôme du plus haut degré qui est ici 5x³ :

Or, avec les limites usuelles :
et donc par sommation :

Or on a par surcroît (limite usuelle) et on en conclut :
(ne pas écrire la deuxiéme égalité, je me suis permis de l'écrire moi pour comprendre comment conclure)

c)Dans le cas des fractions rationnelles
La méthode est la même, sauf qu'on factorise numérateur et dénominateur par leur monôme du plus haut degré

Exemple :

On est en présence de la forme indeterminée
Pour la lever, on utilise la méthode ci-dessus. On écrit alors :


Ainsi au voisinage de :

Or :

et

Il s'ensuit :

(les deux égalités du centre encore une fois sont à rayer des DS, je les ai mise pour faciliter la compréhension)
La dernière "égalité" vient du fait que (c'est d'ailleur avec cette formule qu'on devrait conclure le problème durant un DS)

Autre exemple :

Encore une forme du type
On a lève en écrivant :
et
ainsi au voisinage de :

Cependant :

et

Ainsi :


d)autres cas
Les autres cas sont les cas à radical plus rares encore une fois en première.
par exemple :

Comme et , nous sommes en présence de la forme indeterminée
On la lève en multipliant par la quantitée conjuguée qui ici est
On écrit :

et là la forme indeterminée est levée car le dénominateur tend vers en donc :


__________________________________________________

je pense que c'est à peu près tout ce qu'il y a à savoir en première, n'hésite pas si tu as des questions ou si quelqu'un à quelque chose à ajouter.

merci mais bon, si seulement c'était vrai ...

Bonsoir Nightmare...

Je vois que tu ne te lasses pas des maths et de l'; Toujours aussi présent et aussi motivé, un grand Bravo à toi !!
S'il y a une chose dont je suis sûr, c'est que tu iras loin, très loin...Continues ainsi (Ca fait des posts en plus dans les favoris tout ça )

++
Louis

Merci beaucoup Frip44, ça fait plaisir d'être encouragé

C'est qu'on ne rencontre pas beaucoup de gens passionnés comme tu l'es tous les jours

Merci beaucoup Nightmare, désolée de ne pas avoir répondu plutôt, mais grace à toi, je crois avoir compris, je m'entraine sur des exos corrigés de mon boukin.

Encore merci ( Qu'est ce que je ferais sans toi ? lol)

@+
Bizoux

Bonsoir:
On ne peut pas passer et lire ce post sans dire à

Merci à toi Sabor-Sophia

bonjour,
lorsqu'on te donne une limite à calculer, fait comme si on te demande de calculer l'image d'une fonction quelquonque. lorsqu'il y a indétermination, plusieurs methodes te sont offertes pour pouvoir lever cette indétermination. nous avons: la fatorisation, la simplification, aussi l'expression conjuguée parlant de fonction rationnelles et racines carrées, le changement de variable, le développement ou même le taux de variation. les formes indéterminées dont nous disposons en classe de terminale sont:
.-
./
.0/0
.0*
bon il est temps que je te laisse et merci de pouvoir accepter mes insignifiants conseils

Il y a aussi : (-infini) + (+infini)  ,  (+infini) + (-infini)  pour les formes indéterminées

je te remercie pour ta réponse si riche je vois qu'il résume presque tt la partie d'appliquation de la leçon de limites

Merciiii !! C'est très bien détaillé et cela m'a permis de faire un grand pas en avant !merci pour cette explication!!

ReEeEeEeEeE !!

J'ai bien compris la méthode mais j'ai du mal à l'adapter à cet exemple. Il y a juste une étape que je ne suis pas trop.. l'énoncé est celui que j'ai cité au dessus. On calcule donc la lim à gche et à dte et on a :

lim de x tend vers 2 à dte = (x2-1) / (x2-5x+6) (g bien mis le () cette fois! ) = 3 / 0 exposant-

et lim de x tend vers 2 à gche = -3/ 0 exposant+
ma question======================>Comment a t-on trouvé le moins et le plus en exposant??

Ps: Si ma question ou enoncé n'est pas clair n'hesitez pa à me le signaler

Merci       

Fait un tableau de signe.

Merci infiniment pour ce guide.

merci nugthmare car grace a tes explications j'ai eu une méthode plus interressante de calcul

bonjour, je n'ai pas compris la partie du cours de nightmare : quand le numérateur et le dénominateur s'annule; pourquoi dans ton exemple tu passe de x²-4x+4 a x²-5x+6??

Il a factorisé et simplifié.