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JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j

   
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exercicesJFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j

#msg538442 Posté le 11-05-06 à 17:27
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Bonjour,

Je ne résiste pas au plaisir de vous proposer cet exercice (dont je connais une réponse) mélangeant deux de mes domaines favoris des mathématiques.

Soit a_1, a_2, ..., a_7 sept nombres réels tels que, \forall i\neq j,\;a_ia_j\neq -1.
Montrer qu'il existe au moins un couple (i,j) avec i\neq j tel que :
3$0<\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}<\frac{1}{\sqrt{3}}

Ce n'est pas un exercice inédit.
Si vous connaissiez la réponse, ou si vous la trouvez, peut-être pouvez-vous attendre un peu avant de la poster, pour laisser les personnes intéressés chercher un peu. Ou alors en blanqué ?

Niveau Terminale corsé.

Nicolas

Indice blanqué :
\rm\white Avez-vous d'ej`a essay'e de faire de la trigonom'etrie en rangeant vos chaussettes dans leur tiroir ?
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg538446 Posté le 11-05-06 à 17:28
Posté par philoux (invité)

la zone bleue !

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg538447 Posté le 11-05-06 à 17:30
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Un peu d'indulgence : je débute en JFF !
(et la mienne n'est pas très F)
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg538454 Posté le 11-05-06 à 17:36
Posté par Profilborneo borneo

Salut Nicolas et Philoux

Bonne idée, une JFF. Mais niveau terminale (surtout corsé), ça devra attendre quelques années
re: JFF serieuse ...#msg538521 Posté le 11-05-06 à 18:35
Posté par Profiljacqlouis jacqlouis

    Bonsoir. Ce n'est plus du SMS, ni du charabia, mais des abréviations ou initiales, pleines de sous-entendus (pour ceux qui les comprennent !). Vous pourriez expliquer, pour que les "nouveaux" soient un peu moins ignorants ce soir.   Merci. J-L
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg538941 Posté le 12-05-06 à 02:11
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Bonjour jacqlouis,

Loin de moi l'idée d'utiliser des expressions codées ou présentant des sous-entendus. Je n'apprécie pas les échanges privés au sein d'un forum public (à l'exception d'un petit clin d'oeil de temps en temps, bien sûr). Si l'échange ci-dessus t'a donné une impression sectaire, et t'a fait sentir exclu, j'en suis désolé.

Il y a un certain nombres de JFF postées sur le forum, ce sont des énigmes posées Just For Fun, c'est-à-dire "juste pour s'amuser". Ce ne sont pas des énigmes officielles. Les messages ne sont pas cachés. C'est souvent des questions drôles, ou ouvertes, ou se résolvant par des programmes, ou difficiles, etc...

La mienne (ce message) n'est justement pas très F, c'est-à-dire pas très Fun : un peu trop sérieuse !

L'habitude dans les JFF est de répondre en blanqué, c'est-à-dire sous cette forme :
[ tex]\rm\white mon texte[ /tex]
La réponse n'apparait alors à l'écran que si on passe la souris dessus en maintenant le bouton appuyé. Cela permet de laisser les autres chercher, tout en donnant une réponse consultable par tous.

En effet, le texte est alors écrit en blanc sur fond blanc. Sauf quand le fond du message est... bleu, alors le texte apparaît alors un peu. D'où la "zone bleue".

Nicolas

re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg538957 Posté le 12-05-06 à 07:48
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Une erreur d'énoncé...

Soit a_1, a_2, ..., a_7 sept nombres réels tels que, \forall i\neq j,\;a_ia_j\neq -1.
Montrer qu'il existe au moins un couple (i,j) avec i\neq j tel que :
3$0\fbox{\le}\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}<\frac{1}{\sqrt{3}}
re: JFF serieuse ...#msg539013 Posté le 12-05-06 à 11:08
Posté par Profiljacqlouis jacqlouis

    Bonjour, Nicolas. " eh ben ouala ! " ... c'est clair, comme cela. Et merci pour l'explication.         J-L
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539082 Posté le 12-05-06 à 12:52
Posté par Profilstella stella

Bonjour

Faut dire que le titre prête à confusion, on dirait une pettie annonce pour faire des rencontres....

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539086 Posté le 12-05-06 à 13:02
Posté par philoux (invité)

il y a deux F, stella

mais même avec deux F...

Attention à la dérive

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539091 Posté le 12-05-06 à 13:08
Posté par Profilstella stella

Tu m'as bien comprise Philoux

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539092 Posté le 12-05-06 à 13:11
Posté par philoux (invité)

...dans ce cas, il eût fallu un "s" final à "sérieuse"

bon, cessons-là, (faudrait demander à Nicolas quelle est la signification codée de a_i et a_j...)

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539105 Posté le 12-05-06 à 13:37
Posté par Profilstella stella

Tout à fait quel filou ce Nicolas, sous ses airs de matheux...

PS : Pour a_i et a_j tout est possible si tu as une imagination débordante. Bon arrêtons là sinon on va se faire taper sur les doigts...

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539134 Posté le 12-05-06 à 14:21
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

J'ai l'impression que mon "?" après "sérieuse" dans le titre de cette JFF était tout à fait bienvenu, voire prémonitoire.
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539139 Posté le 12-05-06 à 14:25
Posté par philoux (invité)

avait-il été mis pour anticiper ce développement ?

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539146 Posté le 12-05-06 à 14:33
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Bien sûr. Je commence à vous connaître.
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539147 Posté le 12-05-06 à 14:34
Posté par philoux (invité)

re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539149 Posté le 12-05-06 à 14:39
Posté par philoux (invité)

je pensais plutôt que le "sérieuse" était en opposition avec le "F" de "Fun"...

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539160 Posté le 12-05-06 à 14:59
Posté par Profilstella stella

Nous ne sommes que deux à délirer sur ton titre, les autres mathiliens sont des jeunots ils n'ont pas l'esprit aussi mal tournés que nous.

PS : Il nous connaît bien Nicolas, mais savais-tu réellement qui allait délirer aussi vite ?

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539163 Posté le 12-05-06 à 15:05
Posté par philoux (invité)

Si tu connais le ch'ti, Stella (à en croire ton profil, le droit ) :

Stella, Ch'ti là, ch'eune sacrée amusette...

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539177 Posté le 12-05-06 à 15:30
Posté par Profilstella stella



PS: Tu connais le ch'ti ?

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539179 Posté le 12-05-06 à 15:34
Posté par philoux (invité)

eune tchiquette

mais je me réfère à ce dico-là, que j'ai déjà envoyé à d'autres ch'tis de l'île

S'il t'intéresse, dis-le moi, je te l'envoie par mail

Philoux

re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539182 Posté le 12-05-06 à 15:37
Posté par Profilstella stella

D'accord si ce n'est pas trop lourd...

Stella

PS : tu me traduis ce que tu as écris car je suis une ch'ti d'adoption.
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539183 Posté le 12-05-06 à 15:41
Posté par philoux (invité)

eune tchiquette = un peu

Amusette = qui aime s'amuser

Je te l'envoie À'ch't'heure

Philou
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539190 Posté le 12-05-06 à 15:54
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Philoux, tu parles combien de langues ?
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539192 Posté le 12-05-06 à 15:56
Posté par philoux (invité)

le ch'ti n'est pas une langue, quoique ...

Et puis, internet est polyglotte

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539205 Posté le 12-05-06 à 16:09
Posté par Profilstella stella

Merci Philoux pour le dico. Reçu 5/5.

Attention Philoux tu vas vexer les ch'ti.

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539211 Posté le 12-05-06 à 16:13
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

J'étais à mille lieux de penser que mon exercice pas-Fun allait ouvrir la voie à une discussion de café.
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539213 Posté le 12-05-06 à 16:14
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Tu vois, jacqlouis, c'est ça une JFF !
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539220 Posté le 12-05-06 à 16:19
Posté par Profilstella stella

Une discussion de café avec sulement trois personnes, apparemment cela n'intéresse que nous.

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539221 Posté le 12-05-06 à 16:20
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Oui, personne ne s'intéresse à mon exercice.
Si au moins j'ai pu offrir une tribune libre aux ch'ti-fans, tout n'est pas perdu.
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539222 Posté le 12-05-06 à 16:21
Posté par philoux (invité)

Tu vois, jacqlouis, c'est ça une JFF

tu es dur, nicolas, avec les JFF

Elles ne sont pas toutes comme celle-ci qui a dérivé du fait de ton titre (que ne dirais-je pour défendre Stella )

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539223 Posté le 12-05-06 à 16:23
Posté par Profilstella stella

En effet c'est un bide complet avec ton exercice mais qui nous a bien fait délirer tout de même, alors ne sois pas trop triste. Appremment ton JFF est trop prise de tête.

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539229 Posté le 12-05-06 à 16:28
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Bon...
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539233 Posté le 12-05-06 à 16:32
Posté par Profilahahah ahahah

salut

niveau terminale cet exo?

jespere que ca ne tombera jamais au bac alors
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539236 Posté le 12-05-06 à 16:33
Posté par philoux (invité)

D'ailleurs, Nicolas, je l'ai cherché mais elle m'est innacessible...

Ton indice sent le Dirichlet mais ...

Tu peux donner la soluce ?

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539242 Posté le 12-05-06 à 16:35
Posté par Profilstella stella

Merci Philoux

Stella
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539243 Posté le 12-05-06 à 16:36
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Je vais la donner bientôt.
Je viens de découvrir une faiblesse que je tente d'éradiquer.

Indice plus clair :
a) Reconnais une formule trigonométrique (tan(a-b)=...), et simplifie l'expression proposée ; des arctan apparaissent
b) Applique le principe de Dirichlet
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539253 Posté le 12-05-06 à 16:42
Posté par philoux (invité)

0 <= tan(ai - aj) < tan(pi/6)

-pi/2 < ai-aj < pi/6 (pi)

maintenant, comment relier le pi sur SIX avec les SEPT ai ?

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539254 Posté le 12-05-06 à 16:43
Posté par Profilborneo borneo

En blanqué !!!!! j'ai presque trouvé !!!!
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539255 Posté le 12-05-06 à 16:44
Posté par Profilborneo borneo

Je rigolais

re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539261 Posté le 12-05-06 à 16:48
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Tu es sûr de ton -pi/2 à gauche ?
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539262 Posté le 12-05-06 à 16:48
Posté par philoux (invité)

oups !

0 <= tan(ai - aj) < tan(pi/6)

0 <= ai-aj < pi/6 (pi)

maintenant, comment relier le pi sur SIX avec les SEPT ai ?

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539264 Posté le 12-05-06 à 16:48
Posté par philoux (invité)

posts croisés

Philoux
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539266 Posté le 12-05-06 à 16:49
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Et ce ne sont pas des a_i, mais des arctan(a_i).
Mais ce n'est pas grave, tu y es presque.
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539268 Posté le 12-05-06 à 16:50
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Et les arctan sont par définition compris dans l'intervalle...
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg539704 Posté le 13-05-06 à 07:18
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Devant le succès phénoménal remporté par cet exercice, voici une correction que j'espère claire, et surtout juste. Les lecteurs intéressés mais pressés peuvent sauter directement à la partie 3.

Enoncé
Soit a_1, a_2, ..., a_7 sept nombres réels tels que, \forall i\neq j,\;a_ia_j\neq -1.
Montrer qu'il existe au moins un couple (i,j) avec i\neq j tel que :
3$0\le\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}<\frac{1}{\sqrt{3}}

1. Idée générale de la démonstration

Reconnaître une formule trigonométrique et montrer que le problème revient à montrer qu'il existe i\neq j tels que :
0\le\arctan a_i-\arctan a_j<\frac{\pi}{6}.
Or les sept \arctan a_i appartiennent tous à \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, intervalle de largeur \pi. On peut donc créer facilement six boîtes de largeur \frac{\pi}{6} dans lesquelles il s'agit de les ranger. Il y en aura donc nécessairement 2 dans la même boîte. D'où le résultat.

2. Recherche de la solution

1. L'expression \frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j} fait penser à la formule trigonométrique :
\fbox{\forall a,\, b\in\mathbb{R}\;\mathrm{tels}\,\mathrm{que}\;a,\, b,\, a-b\,\not\in\,\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\,\quad\tan(a-b) = \displaystyle\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\quad (*)}
sachant que la condition a-b\,\not\in\,\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z} est alors équivalente à \tan a\cdot\tan b\neq -1, puisque :
\tan a\cdot\tan b=-1\Leftrightarrow -\sin a\cdot\sin b=\cos a\cdot\cos b\Leftrightarrow\cos(a-b)=0\Leftrightarrow a-b\in\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}

2. Remplaçons donc a_i par \tan(\arctan a_i), ce qui est toujours possible.
On obtient :
\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}=\frac{\tan(\arctan a_i)-\tan(\arctan a_j)}{1+\tan(\arctan a_i)\tan(\arctan a_j)}
On veut appliquer la formule (*).
Pour cela, il faut vérifier :
(i) \forall i\in\{1,...,7\},\quad\arctan a_i\,\not\in\,\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z} : c'est immédiat puisque \arctan a_i\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[ ;
(ii) \forall i\neq j\in\{1,...,7\},\quad\tan(\arctan a_i)\tan(\arctan a_j)\neq -1 : c'est dans l'énoncé.
Donc :
\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}=\tan\left(\arctan a_i-\arctan a_j\right)

3. Il faut donc montrer qu'il existe i\neq j tels que :
0\le\tan\left(\arctan a_i-\arctan a_j\right)<\frac{1}{\sqrt{3}}
ou encore :
\tan 0\le\tan\left(\arctan a_i-\arctan a_j\right)<\tan\frac{\pi}{6}

4. Or la fonction arctangente est strictement croissante sur \mathbb{R}.

On peut donc essayer de montrer qu'il existe i\neq j tels que :
0\le\arctan\left[\tan\left(\arctan a_i-\arctan a_j\right)\right]<\frac{\pi}{6}

Ici, une difficulté apparaît, car \arctan(\tan x)=x uniquement si x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[. Or, puisque les \arctan a_i sont dans \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, on sait juste que : \arctan a_i-\arctan a_j\in]-\pi;\pi[

On arrive à :
0\le\arctan a_i-\arctan a_j+\vareps\pi<\frac{\pi}{6}
où \vareps=-1\;\mathrm{ou}\; 0\;\mathrm{ou}\; +1

On contournera ce problème en prenant la démonstration dans l'autre sens (moins naturel) tout-à-l'heure. Prenons pour l'instant \vareps=0 pour voir l'esprit de la fin de la preuve :
Montrer qu'il existe i\neq j tels que 0\le\arctan a_i-\arctan a_j<\frac{\pi}{6}

5. Chacun des sept \arctan a_i est dans \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[ de largeur \pi.
Divisions cet intervalle en six sous-intervalles de largeur \frac{\pi}{6} :
\left]-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}\right[,\quad\left[-\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{6}\right[,\quad\left[-\frac{\pi}{6};0\right[,\quad\left[0;\frac{\pi}{6}\right[,\quad\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right[,\quad\left[\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right[,\quad

On applique le principe des tiroirs de Dirichlet : si n tiroirs sont occupés par n+1 objets, alors il y a au moins un tiroir occupé par plus d'un objet.

Donc il existe au moins deux \arctan a_i dans le même sous-intervalle. Or ces intervalles sont de largeur \frac{\pi}{6} avec au moins une borne exclue.
Donc il existe i\neq j tels que |\arctan a_i-\arctan a_j|<\frac{\pi}{6}

D'où le résultat.

3. Solution rédigée

(En prenant la démonstration par l'autre bout, moins naturel, la difficulté identifiée disparaît.)

Chacun des sept \arctan a_i est dans \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, intervalle de largeur \pi.
Divisions cet intervalle en six sous-intervalles de largeur \frac{\pi}{6} :
\left]-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}\right[,\quad\left[-\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{6}\right[,\quad\left[-\frac{\pi}{6};0\right[,\quad\left[0;\frac{\pi}{6}\right[,\quad\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right[,\quad\left[\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right[,\quad

On applique le principe des tiroirs de Dirichlet : si n tiroirs sont occupés par n+1 objets, alors il y a au moins un tiroir occupé par plus d'un objet.

Donc il existe au moins deux \arctan a_i dans le même sous-intervalle. Or ces intervalles sont de largeur \frac{\pi}{6} avec au moins une borne exclue.
Donc il existe i\neq j tels que |\arctan a_i-\arctan a_j|<\frac{\pi}{6}
C'est-à-dire : il existe i\neq j tels que 0\le \arctan a_i-\arctan a_j<\frac{\pi}{6}
La fonction tangente est strictement croissante sur \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, donc :
Il existe i\neq j tels que \tan 0\le \tan\left(\arctan a_i-\arctan a_j\right)<\tan\frac{\pi}{6}
Il existe i\neq j tels que 0\le \tan\left(\arctan a_i-\arctan a_j\right)<\frac{1}{\sqrt{3}}

On veut appliquer la formule :
\forall a,\, b\in\mathbb{R}\;\mathrm{tels}\,\mathrm{que}\;a,\, b,\, a-b\,\not\in\,\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\,\quad\tan(a-b) = \displaystyle\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\quad (*)
sachant que la condition a-b\,\not\in\,\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z} est alors équivalente à \tan a\cdot\tan b\neq -1, puisque :
\tan a\cdot\tan b=-1\Leftrightarrow -\sin a\cdot\sin b=\cos a\cdot\cos b\Leftrightarrow\cos(a-b)=0\Leftrightarrow a-b\in\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}
On a bien :
(i) \forall i\in\{1,...,7\},\quad\arctan a_i\,\not\in\,\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z} : c'est immédiat puisque \arctan a_i\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[ ;
(ii) \forall i\neq j\in\{1,...,7\},\quad\tan(\arctan a_i)\tan(\arctan a_j)\neq -1 : c'est dans l'énoncé.

Donc la formule s'applique et :
Il existe i\neq j tels que 0\le\displaystyle\frac{\tan(\arctan a_i)-\tan(\arctan a_j)}{1+\tan(\arctan a_i)\cdot\tan(\arctan a_j)}<\frac{1}{\sqrt{3}}
Or, pour tout x réel, \tan(\arctan x)=x, donc on obtient :

Il existe i\neq j tels que 0\le\displaystyle\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}<\frac{1}{\sqrt{3}}

ce qui est le résultat cherché.

Sauf erreur.

Nicolas
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg548652 Posté le 22-05-06 à 15:47
Posté par celinenounours (invité)

Merci pour cette réponse si détaillée.

N.B.: Pas de commentaires, ne veux pas dire pas de lecteurs... SI ?!?
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg548663 Posté le 22-05-06 à 16:07
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

J'ai bien peur que si !
re : JFF "sérieuse" (?) avec plein de a_i et a_j#msg548681 Posté le 22-05-06 à 16:44
Posté par Profilborneo borneo

Bonsoir, c'est une très jolie correction. Je l'ai ajoutée à mes favoris pour le jour où j'aurai récupéré un niveau terminale en maths. Ce n'est pas pour tout de suite, je vais d'abord m'attaquer à ça et à ça

Philoux sera ravi de trouver ton corrigé à son retour

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