Forum Mathématique (Lycée) :
limite(suite du topic posté par _Estelle_)

Bonjour à tous,

je suis désolé de recréer un nouveau topic sur le même thème, mais apparemment il n'y a plus moyen de répondre sur l'autre(est-ce une erreur?)
Ceci pour répondre à Nicolas75, un peu tard il est vrai(pardonne-moi, je n'ai pas eu le temps avant)que ton nouvel énoncé de la règle de l'Hôpital me paraît en effet plus satisfaisant que le premier.Je changerais juste une chose: inutile de préciser que I est un intervalle ouvert, la propriété reste valable si b en est une extrémité (dans ce cas, on pourra bien-sûr seulement conclure que f(x)/g(x)admet une limite à gauche(ou à droite selon le cas) en b (à moins que f et g ne soient pas du tout définies en-dehors de I, mais bon je chipote et de toute façon ce cas ne contredit pas ma phrase précédente )

Bonne journée!

Tigweg

Bonjour Tigweb,

Pas la peine de t'excuser pour le retard. Chacun est libre ici. D'autant plus que nous nous souvenons que tu es parti en altitude.

Je propose à ton verdict rigoureux une nouvelle formulation. Les modifications sont soulignées.

Nicolas

Théorème. Soit un point d'un intervalle non réduit à . Soient et deux fonctions définies sur (et même éventuellement sur tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de . Si :
(i) et admettent la même limite, finie ou infinie, en , et
(ii) ne s'annule pas sur ,
alors, sous réserve d'existence de la limite de droite :

Dans le cas où serait l'extrémité gauche (resp. droite) de , ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).

Salut Nicolas_75,

c'est en effet très rigoureux à présent!
Peut-être faudrait-il simplement, pour parfaire le tout, énoncer dans un premier temps que, sous les conditions énoncées, l'écriture f(x)/g(x) est bien définie dans un voisinage de a privé de a (la raison en étant le lemmme de Rolle).
En efet, avant même de s'interroger sur l'existence de la limite d'une fct en un point, il est de bon ton de s'assurer que la fct est définie sur un voisinage de ce point, et privé de ce point.

Après ça, promis, je n'aurai plus aucune objection à la publication de ton bouquin sur l'Hôpital (non , non, je ne me fous pas de la charité!!


Tigweg (avec un g à la fin )

Tout d'abord, je te prie de m'excuser pour avoir écorché ton nom. J'ai dû t'imaginer comme un Tigre du Web.

Merci pour ta nouvelle remarque très judicieuse.

Pour être sûr que nous parlons de la même chose :
(i) si la limite de g en a est non nulle, alors il est évident qu'il existe un voisinage de a où g ne s'annule pas
(ii) si la limite de g en a est nulle, alors il existe un voisinage de a où g ne s'annule pas ; sinon, selon le lemme de Rolle, g' s'annulerait, ce qui contraire aux hypothèses.
OK ?

Nouvelle version. Modification soulignée. N'hésite pas à proposer de nouvelles corrections : tu toucheras une partie des droits d'auteur sur mon bouquin consacré à L'Hospital. Promis, je ne te fais pas la charité.

Théorème. Soit un point d'un intervalle non réduit à . Soient et deux fonctions définies sur (et même éventuellement sur tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de . Si :
(i) et admettent la même limite, finie ou infinie, en , et
(ii) ne s'annule pas sur ,
alors il existe un voisinage de tel que ne s'annule pas sur , et, sous réserve d'existence de la limite de droite :

Dans le cas où serait l'extrémité gauche (resp. droite) de , ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).

Mort de rire, le tigre du Web!!!!!!!!!
Tu me donnes presque envie de changer de pseudo, tu sais?!
Pour tout dire, mon pseudo vient de la prononciation avec l'accent créole de 'tit Greg

Cette fois-ci, je souscris intégralement à ton énoncé, et nous parlions bien de la même chose
Quant aux droits d'auteur, parle-en plutôt aux descendants de Monsieur L'Hospital, s'ils existent

Merci beaucoup pour ton aide patiente, Tigweg
Je file à l'imprimerie, ou plutôt dans mon lit.
A bientôt,

Nicolas

Lol, merci à toi ausi pour cette fructueuse et sympathique collaboration
Bonne nuit!

Greg

Merci.

bonne fin de journée

Nicolas c'est une blague ou tu vas vraiment te coucher?

^{Je remarque qu'en fin de journée tu conclus toujours par un "Je vais me coucher"...}

Benoît

Non non c'est pas une blague, il va vraiment se coucher.

Fractal

Pas encore levé, benitoelputoamo ?

Skops

Bonjour,

Les défis posés par monrow m'ont donné envie de creuser la formulation et la démonstration de la règle de l'Hôpital, pour complètement clarifier ce sujet dans mon esprit. D'autant plus que la démonstration de Wikipedia, sans être fausse, me semblait quelquefois elliptique.

Ci-dessous mes quelques réflexions.

Je suis preneur de toute remarque destinée à corriger / améliorer cette fiche !

Et, au passage, un salut amical à Tigweg, le Tigre du Web, qu'on ne croise plus depuis 6 mois.

Nicolas

1. Forme simple de la règle de l'Hôpital

Théorème 1 (forme simple de la règle de l'Hôpital)
Soient et deux fonctions définies sur un intervalle contenant le point et non réduit à .
On suppose que :
(i) et s'annulent en ;
(ii) et sont dérivables en ;
(iii) est non nul
Alors il existe un voisinage de tel que ne s'annule pas sur , et :

Dans le cas où serait l'extrémité gauche (resp. droite) de , les limites ci-dessus sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche) et les nombres dérivés ci-dessus sont à entendre comme des nombres dérivés à droite (resp. à gauche).

Démonstration.

(1) Montrons d'abord qu'il existe un voisinage de tel que ne s'annule pas sur .

On sait que non nul
Donc
Donc :

(2) Puis :
Pour tout de :
quand

Exemple d'utilisation 1 :

C'est une forme indéterminée 0/0.
Numérateur et dénominateur sont définis sur R.
Les trois hypothèses du théorème sont vérifiées :
(i) numérateur et dénominateur s'annulent en 1
(ii) numérateur et dénominateur sont dérivables en 1 (en fait sur R)
(iii) le nombre dérivé du dénominateur en 1 est non nul (il vaut 5)
Donc la limite cherchée est égale au rapport des nombres dérivés du numérateur et du dénominateur en 1, à savoir

Autre méthode, sans la règle de l'Hôpital :
Pour , quand

Exemple d'utilisation 2 :

C'est une forme indéterminée 0/0.
Numérateur et dénominateur sont définis sur R.
Les trois hypothèses du théorème sont vérifiées :
(i) numérateur et dénominateur s'annulent en 0
(ii) numérateur et dénominateur sont dérivables en 0 (en fait sur R)
(iii) le nombre dérivé du dénominateur en 0 est non nul (il vaut 1)
Donc la limite cherchée est égale au rapport des nombres dérivés du numérateur et du dénominateur en 0, à savoir

Autre méthode, sans la règle de l'Hôpital :
En utilisant les formules trigonométriques, il vient :
quand (puisque )

Remarque.
Que faire quand et ne sont pas dérivables, voire pas définies en ?
Que faire quand et ne tendent pas vers 0 en , mais vers la même limite infinie ?
Que faire quand on s'intéresse à une limite en l'infini ?

C'est l'objet de la partie suivante.

2. Forme généralisée de la règle de l'Hôpital

Avant de généraliser la règle de l'Hôpital, quelques rappels...

Rappel 1 - théorème de Rolle. Soit une fonction continue sur , dérivable sur , et telle que .
Alors

Rappel 2 - théorème des accroissements finis. Soit une fonction continue sur et dérivable sur .
Alors

Rappel 3 - théorème des accroissements finis généralisé. Soit une fonction et deux fonctions continues sur et dérivables sur .
Alors
Si ne s'annule pas sur , alors est nécessairement non nul, et :


Allons-y maintenant...

Théorème 2 (forme généralisée de la règle de l'Hôpital - cas de la limite à droite en un nombre réel )
Soient et deux fonctions définies sur . (On remarque qu'on n'impose pas aux fonctions d'être définies en , même si elles peuvent l'être, bien sûr.)
On suppose que :
(i) et sont dérivables sur
(ii) et admettent en la même limite, soit nulle, soit infinie
(iii) ne s'annule pas sur
(iv) admet une limite en par valeurs supérieures, éventuellement infinie, notée
Alors il existe un intervalle sur lequel ne s'annule pas et :


Remarque. Les trois expressions en gras dans l'énoncé du théorème sont les trois généralisations apportées à la forme simple.

Démonstration.

Cas 1 :
On prolonge alors et par continuité sur .
(1) Remarquons d'abord que ne s'annule pas sur , sinon le théorème de Rolle permettrait d'en déduire que s'annule sur , ce qui est contraire aux hypothèses.
(2) Puis, soit un quelconque dans .
On applique le théorème des accroissements finis généralisé à et sur :

On fait tendre vers , ce qui fait tendre vers :


Cas 2 :
Alors il existe tel que ne s'annule pas sur .
Soient et dans avec .
On applique le théorème des accroissements finis généralisé à et sur :

Comme on sait que ne s'annule pas, on peut transformer cette expression en :



Sous-cas 2.1 :
On veut montrer que,
Soit .
On a :

Donc :

Quand , .
On peut donc d'abord choisir suffisamment proche de pour que (*)
Puis, étant ainsi fixé, on fait tendre vers .
Comme , et comme est borné par (*), on peut choisir suffisamment proche de pour rendre les deux autres termes aussi proches de 0 qu'on le veut :

Finalement :


Sous-cas 2.2 :
On veut montrer que,
Soit .
On a :



Or , donc :
(**)
Quand , .
On peut donc d'abord choisir suffisamment proche de pour que
Puis, étant ainsi fixé, on fait tendre vers .
Comme , on peut choisir suffisamment proche de pour obtenir les résultats suivants :

Alors :
et
Donc, au sein de (**), on peut enlever les valeurs absolues extérieures :

Et finalement minorer :


Sous-cas 2.3 :
Analogue au sous-cas précédent.

Théorème 3 (forme généralisée de la règle de l'Hôpital - cas de la limite à gauche en un nombre réel )
Analogue au théorème 2.

Théorème 4 (forme généralisée de la règle de l'Hôpital - cas de la limite en )
Soit un intervalle de la forme .
Soient et deux fonctions définies sur .
On suppose que :
(i) et sont dérivables sur
(ii) et admettent en la même limite, soit nulle, soit infinie
(iii) ne s'annule pas sur
(iv) admet une limite en , éventuellement infinie, notée
Alors il existe un intervalle tel que ne s'annule pas sur et :


Démonstration. Analogue au théorème 2. Ou bien, poser avec

Théorème 5 (forme généralisée de la règle de l'Hôpital - cas de la limite en )
Analogue au cas de la limite en (théorème 4).

Exemple d'utilisation 1 : indétermination avec des fonctions définies en , mais pas dérivables

On note :
(i) et sont dérivables sur
(ii) et tendent toutes deux vers en
(iii) ne s'annule pas sur
(iv) quand
Donc

Autre méthode, sans utiliser la règle de l'Hôpital :

Le second facteur est un taux d'accroissement. Il tend vers 1.
Le premier facteur tend vers
Donc le tout tend vers

Exemple d'utilisation 2 : indétermination avec des fonctions non définies en

On note :
(i) et sont dérivables sur
(ii) et tendent toutes deux vers en
(iii) ne s'annule pas sur
(iv) quand
Donc

Autre méthode, sans utiliser la règle de l'Hôpital :
quand car

Exemple d'utilisation 3 : indétermination en

On note :
(i) et sont dérivables sur
(ii) et tendent toutes deux vers en
(iii) ne s'annule pas sur
(iv) quand
Donc

Autre méthode, sans utiliser la règle de l'Hôpital :
quand ,en raison de la "limite connue" , qui peut également se montrer... grâce à la règle de l'Hôpital.

Génial Nicolas

Et hop, in the favoris

Skops

où en est ton livre, Nicolas ? aux éditions "l'île des maths" ?

de grande beauté et très intéressant, merci

t'es un boss , Nicolas !
_{hop en favori}

Waow, bravo Nicolas et merci

_{PS : Et merci d'avoir choisi mon topic
PS-2 : Coucou à Tigweb qu'on ne voit plus}

Estelle

Euh... merci

Nicolas, c'est vraiment impressionnant ce que tu fais... Non juste le latex qui me rend fou, mais aussi le contenu brillant et simplifié que tu essaie de faire. Vraiment toutes mes félicitations.

Merci, monrow. Mais c'est... trop.

citation :
le latex qui me rend fou

Je pensais que c'était l'HTML ?
_{(Désolé, je n'ai pas pu m'en empêcher)}

oui ce HTML aussi

_{(tu regroupes deux options encore en même temps?}

Je me rends compte que la démonstration du théorème 4 () n'est pas si trivialement "analogue" que cela au cas . En effet, il faut utiliser des versions différentes du théorème de Rolle ou des accroissements finis, adaptées à ), ce dont Wikipedia ne fait pas clairement mention. Et la démonstration elle-même doit aussi être soigneusement adaptée.

On va également essayer de rédiger la 2ème démonstration proposée (poser ).

Lemme 1 - théorème de Rolle généralisé à . Soit une fonction continue sur dérivable sur . On suppose que et . Alors il existe un point de tel que .

Démonstration. Si la fonction est constante nulle, le résultat est évident. On suppose maintenant que la fonction n'est pas constante nulle. Donc :

(1) En se plaçant sur , le théorème des valeurs intermédiaires garantit que :

Or ne peut pas être égal à , puisqu'ils n'ont pas même image, donc :

(2) Par ailleurs, , donc :

On prend un quelconque supérieur strictement à .
En se plaçant sur , le théorème des valeurs intermédiaires garantit que :

Or ne peut pas être égal à , puisqu'ils n'ont pas même image, donc :

(3) Finalement, le théorème de Rolle appliqué sur l'intervalle (non réduit à un point) permet de conclure que s'y annule.

Lemme 2 - théorème des accroissements finis généralisé, encore généralisé au cas de . Soit et définies et continues sur , dérivables sur et admettant une limite en . Alors :

Si ne s'annule pas sur , alors est non nul, et :


Démonstration. On pose :

Les hypothèses du lemme 1 sont vérifiées :
(i) est continue sur
(ii) est dérivable sur
(iii)
Donc, d'après le lemme 1 :

C'est-à-dire :

Par contraposée du lemme 1, si ne s'annule pas sur , alors est non nul, et :


Théorème 4 (forme généralisée de la règle de l'Hôpital - cas de la limite en )
Soit un intervalle de la forme .
Soient et deux fonctions définies sur .
On suppose que :
(i) et sont dérivables sur
(ii) et admettent en la même limite, soit nulle, soit infinie
(iii) ne s'annule pas sur
(iv) admet une limite en , éventuellement infinie, notée
Alors il existe un intervalle tel que ne s'annule pas sur et :


Démonstration 1.

Cas 1 :
(1) Remarquons d'abord que ne s'annule pas sur , sinon le théorème de Rolle généralisé énoncé ci-dessus en lemme 1 permettrait d'en déduire que s'annule sur , ce qui est contraire aux hypothèses.
(2) Puis, soit un quelconque dans .
On applique le théorème des accroissements finis généralisé deux fois (lemme 2) à et sur :

On fait tendre vers , ce qui fait tendre vers :


Cas 2 :
Alors il existe tel que ne s'annule pas sur .
Soient et dans avec .
On applique le théorème des accroissements finis généralisé (pas le lemme 2 ci-dessus, mais celui "habituel") à et sur :

Comme on sait que ne s'annule pas, on peut transformer cette expression en :



Sous-cas 2.1 :
On veut montrer que,
Soit .
On a :

Donc :

Quand , .
On peut donc d'abord choisir suffisamment grand pour que (*)
Puis, étant ainsi fixé, on fait tendre vers .
Comme , et comme est borné par (*), on peut choisir suffisamment grand pour rendre les deux autres termes aussi proches de 0 qu'on le veut :

Finalement :


Sous-cas 2.2 :
On veut montrer que,
Soit .
On a :



Or , donc :
(**)
Quand , .
On peut donc d'abord choisir suffisamment grand pour que
Puis, étant ainsi fixé, on fait tendre vers .
Comme , on peut choisir suffisamment grand pour obtenir les résultats suivants :

Alors :
et
Donc, au sein de (**), on peut enlever les valeurs absolues extérieures :

Et finalement minorer :


Sous-cas 2.3 :
Analogue au sous-cas précédent.

Démonstration 2.

On peut supposer, sans perte de généralité, que .

On définit les deux fonctions et sur par :

Vérifions que les hypothèses du théorème 2 sont vérifiées :
(i) et sont dérivables sur , et :

(ii) et admettent en la même limite, soit nulle, soit infinie :

(iii) ne s'annule pas sur
(iv) admet en une limite, éventuellement infinie, notée
Donc, d'après le théorème 2 :
il existe un intervalle où ne s'annule pas, et
Donc :
il existe un intervalle où ne s'annule pas, et

Sauf erreur !

N'hésitez pas à me signaler toute erreur ou amélioration possible !

Nicolas

Comment veux tu qu'on critique ?

Skops

Judicieusement.

(Je ne parlais pas du LaTeX, mais du contenu ! )

Waow, bravo une fois de plus, Nicolas

Estelle

Tout cela en ton honneur, Estelle !

Merci
Edit Kaiser

et j'en suis très honorée, merci Nicolas

Estelle

Bravo Nicolas c'est joli

Pour le contenu, j'avoue que ma flemmardise me rattrape

Sinon c'est vrai qu'on a toujours pas revu Tigweg, allez reviens

Nicolas>> BRAVO

Mais avec tous ces privilèges, html, css et tout, les smileys ne marchent pas (ton message de 21h26 )

Plait-il ?

Skops

Joliiiii

Bonsoir à tous

Nicolas > en effet, très joli.
Par contre (je sens que je vais me faire taper sur les doigts ) pour le lemme 1, je pense qu'on peut directement se ramener au théorème "classique" en posant pour x appartenant à et en posant .

Ensuite, on peut appliquer Rolle à la fonction g.

Kaiser

Au contraire, merci Kaiser.
J'avais initialement essayé avec , mais cela pose un problème si . Je me suis alors dit qu'on pouvait mettre les mains dans le cambouis pour s'amuser un peu.

Génial Nicolas!

J'ai juste relevé une petite faute (parce que tu sembles vouloir corriger toutes tes erreurs) dans le tout dernier exemple. f(x)=ln(x) et non pas f(x)=-ln(x).

Sinon, je suppose que tu as déja corrigé l'article de wikipédia, non?

citation :
je me suis alors dit qu'on pouvait mettre les mains dans le cambouis pour s'amuser un peu.

Je vois ça !

Kaiser

Merci, Justin.

Bonjour à tous!!

Pardonnez-moi ma longue absence du forum, j'ai eu fort à faire cette année.
Cependant, à la demande générale, je viens vous faire un petit coucou pour vous prouver que je ne vous oublie pas
J'espère que vous allez bien, et que ceux qui passent des examens ou des concours(Kaiser, Estelle, Cauchy, Rouliane, Justin...) ont brillamment réussi (est-ce le cas??)


Cela dit, toutes mes félicitations à Nicolas pour son remarquable travail, je n'ose même pas imaginer combien de temps cela a-t-il pu te prendre!!
De plus il y a plusieurs résultats que je ne soupçonnais pas, c'est vraiment chouette d'avoir creusé le sujet!
Un joli traité pas simplifié sur la question, en somme!
A quand l'étude de ces résultats en classes prépas au fait?

Bon, que ceux qui ont du mal avec les ne paniquent pas, le cas le plus classique est le seul qui soit au programme de Maths Spé, ne vous rendez pas malades (n'allez pas à l'Hôpital ) si vous séchez! (Oui oui, toute cette phrase pour cette brillante vanne... )

Bonne soirée à tous!
Tigweg

Salut Tigweg

Salut Tigweg

De retour ou de passage ?

Super contente de te revoir

Estelle

Salut Tigweg,

tu nous as écouté t'es de retour

Ca fait plaisir

Oui heureux de te revoir

Merci merci, quel accueil!
Le plaisir est partagé!
Alors vos exams, Estelle, Cauchy et infophile??

De retour ou de passage, nous verrons,Estelle!

Le bac ne s'est pas trop mal passé dans l'ensemble

Maintenant un peu (2 mois et demi ) de vacances, entre autre sur l'

Bravo infophile!
Et que feras-tu à la rentrée?

Attention aux coups de soleil