Forum : dénombrement :
techniques de denombrement

un homme travaille a Manhattan, dans un quartier ou les avenues sont orientées Nord-Sud et les rues Est-Ouest. Il travaille (B) a 7 patés de maison a l'est et huit patés de maison (O) au nord du domicile (A). Pour aller a son travail il parcourt donc la longueur de 15 patés de maison (il ne se dirige ni au sud ni a l'ouest).
On suppose qu'il existe une voie le long de chaque paté de maisons et qu'il peut prendre n'importe lesquelles dans ce schema rectangulaire.
Le dessin ci dessous illustre la situation;
un trajat y est representé:

O O O O O O O O B
............................_
O O O O O O O O|O
..............................
O O O O O O O O|O
........................_....
O O O O O O O|O O
................ _ _........
O O O O O|O O O O
............_ _.............
O O O|O O O O O O
..............................
O O O|O O O O O O
..............................
O O O|O O O O O O
..............................
O A O|O O O O O O
......._....................

(le nord est vers le haut et l'est vers la droite)

1) proposer un "codage" permettant de decrire letrajet representé
2) Combien de trajets differtents l'homme peut il emprunter?
3) L'homme pretend que le nombre de trajets est auusi le nombre de suites de huit entiers naturels dont la somme est 8!
A-t-il raison? (woah!)
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ok alors mon probleme est evidement a la derniere question!
meme si je ne peux m'empecher de demander une petite verification pour les deux premieres:

R1) une section de rue allant de l'ouest vers l'est d'un paté de maison sera assimilé au vecteur i;
une section de rue allant du sud vers le nord d'un paté de maison sera assimilé au vecteur j.

le code sera (i,j,j,j,j,i,i,j,i,i,j,i,j,j,i)

R2) vect(AB)=7i+8j
donc il faut 7 i et 8 j pour aller de A a B
Donc le combinaisons (15,Cool=(15,7)=6435 donnent le nombre de trajets differents.

R3) Je bloque, faut il enoncer les chiffres inférieurs a 8 qui sommés donnent 8, puis denombrer les combinaisons possibles en enlevant les fois ou il y a plusieur fois le meme chiffre?

assez complexe...j'en peux plus
merci de l'aide

Pour la question 3, il faut voir que les deux dénombrements (la suite et les chemins) sont équivalents.
Si on considère les 7 pâtés de maisons est-ouest : ils sont longés par 8 avenues.
Pour aller à B, l'homme devra parcourir 8 pâtés de maison vers le nord.
Il en parcourt un certain nombre (peut-être zéro...) dans chacune des 8 avenues.
Si on les appelle ces nombres A1, ..., A8, on a que A1+...+A8=8.
Normalement tu devrais voir l'analogie.

Remarque : tu pourras montrer que c'est encore équivalent à dénombrer les suites de 9 entiers naturels dont la somme est 7.

ah tres bien je ne l'avais pas vu comme ca, interessant!
Mais y a t il plutot (ou aussi ) une maniere de disjoindre les cas de maniere judiscieuse afin de denombrer plus simplement?

je me permets d'insister pour savoir si oui il existe une bonne maniere de denombrer en disjoignant ou pas...sinon c pas grave..merci

A priori, je ne vois pas de solution simple au dénombrement de ces suites. À mon avis, ça revient à peu près à compter manuellement tous les cas. Sauf s'il y a une technique qui m'échappe.
Mais de toute façon la question n'est pas de dénombrer ces suites.

effectivement, il n'est pas question de denombrer! j'avais pas fait la difference

Hello!franz2b!
J'ai pas compris ce que veux dire
à R2) vect(AB)=7i+8j et la derniere phrase
donc il faut 7 i et 8 j pour aller de A a B
Donc le combinaisons (15,Cool=(15,7)=6435 donnent le nombre de trajets differents.
merci

Au départ je pensais que la question 3) se déduisait de la 2) en codant simplement le trajet avec des 0 ou des 1.
Mais en fait, le trajet 010101010101011 (qui correspond bien à un des trajets possibles) est compté dans l'ensemble des trajets de la 2) mais ne peut se représenter par une suite de 8 entiers naturels dont la somme est 8.
Modulo une erreur de raisonnement ou d'incompréhension totale de la question, l'explicitation de ce contre exemple montre que la réponse est : NON. Non ?? :p