Inscription / Connexion Nouveau Sujet
exercice de suite
Bonjour à tous
Voici un exercice typique des suite qui me semblait sans difficulté majeur à première vue, mais qui s'est très vite compliqué à mes yeux...
Un jardinier amateur tond sa pelouse toutes les semaines et récolte à chaque fois 120 litres de gazon qu'il stocke dans un bac à compost d'une capacité de 300 litres.
Chaque semaine, par décomposition ou prélèvement, les matières stockées perdent les trois quarts de leur volume.
On désigne par vn le volume, en litres, stocké après n tontes. On a v0 = 0.
1)a) Vérifier que v1 = 120 ; v2 = 150 ; v3 = 157.5.
b) Déterminer une relation de récurrence liant vn et vn+1.
c) La suite (vn) est-elle arithmétique ou géométrique ?
2) On définit la suite (an) des accroissements de (vn) par, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, an = vn - vn -1.
a)Quelle est la nature de la suite (an) ?
b) Exprimer an en fonction de n.
3)a)Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : vn = v0 + a1 +a2 + … + an.
b) En déduire l'expression de vn en fonction de n.
4) Les conditions restant les mêmes, le bac de stockage sera-t-il plein un jour ?
1)a) c'est bon aucun problème
b)j'ai écrit vn+1 = 3/4vn + 120
c) suite ni arithmétique ni géométrique
2)Les problèmes arrivent:
a) je pense à: an = 3/4n+120 - 120
an = 3/4n et (an) est une suite géométrique?
Quelqu'un peut-il me remettre dans "le droit chemin" svp?
1)
V(0) = 0
V(n+1) = 120 + 0,25.V(n)
V1 = 120 + 0,25*0 = 120
V2 = 120 + 0,25*120 = 150
V3 = 120 + 0,25*150 = 157,5
V2-v1 = 30
V3-V2 = 7,5
--> la suite n'est pas arithmétique.
V2/V1 = 150/120 = 1,25
V3/V2 = 157,5/150 = 1,05
--> la suite n'est pas géométrique.
---
2)
a(n) = v(n) - V(n-1)
V(n+1) = 120 + 0,25.V(n)
V(n) = 120 + 0,25.V(n-1)
a(n) = 120 + 0,25.V(n-1) - V(n-1)
a(n) = 120 - 0,75.V(n-1)
a(n+1) = 120 - 0,75.V(n)
a(n+1) = 120 - 0,75.(120 + 0,25.V(n-1))
a(n+1) = 120 - 90 - (3/16).V(n-1)
a(n+1) = 30 - (3/16).V(n-1)
a(n+1) = (1/4).(120 - 0,75.V(n-1))
a(n+1) = (1/4).a(n)
an est donc une suite géométrique de raison 1/4 et de terme a(1) = V(1) - V(0) = 120
--> a(n) = 120.(1/4)^(n-1) pour n >= 1
-----
3)
a)
a(n) = v(n) - V(n-1)
V(n) = V(n-1) + a(n)
V(n-1) = V(n-2) + a(n-1)
V(n-2) = V(n-3) + a(n-2)
...
V(n-(n-1)) = V(n-(n-0)) + a(n-(n-1))
En faisant la somme membre à membre des égalités ci dessus:
V(n) + V(n-1) + V(n-2) + ...+V(n-(n-1)) = V(n-1) + V(n-2) + V(n-3)+ ... + V(n-(n-0)) + a(n) + a(n-1) + a(n-2) + ...+ a(n-(n-1))
V(n) = V(n-(n-0)) + a(n) + a(n-1) + a(n-2) + ...+ a(n-(n-1))
V(n) = V(0) + a(n) + a(n-1) + a(n-2) + ...+ a(1)
V(n) = V(0) + a(1) + a(2) + ...+ a(n)
---
b)
V(n) = 0 + a(1) + a(2) + ... + a(n)
V(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n)
Soit la somme de n termes en progression géométrique de raison 1/4 et de premier terme = 120
V(n) = 120 * (1 - (1/4)^n)/(1 - (1/4))
V(n) = 160.(1-(1/4)^n)
-----
4)
lim(n->oo) Vn = 160
Le bac ne sera jamais plein.
-----
Sauf distraction. 
bon ben merci pour l'aide je pense que je ne peut pas voir plus clair que ça!
Bonjour tout le monde,
J'ai eu le même problème de Maths (à croire que c'est un exercice aimé des profs de maths). J'ai réussi jusqu'à la question 2)a) mais je bloque pour la 2)b) et la suite. J'ai pas très bien compris pourquoi l'expression de a(n) en fonction de n était a(n) = 120.(1/4)^(n-1) pour n >= 1 et pas a(n)=120.(1/4)^n. Quelqu'un peut il m'aider??? S'il vous plait.Merci
Pour le 2b, cela a été fait dans ma réponse.
On est arrivé a: --> a(n) = 120.(1/4)^(n-1) pour n >= 1
-----
Pour a(n), on démarre avec n = 1
et on sait que a(1) = V(1) - V(0) = 120
et on sait que an est une suite géométrique de raison 1/2
--> a(n) = 120.(1/4)^(n-1)
que dire de plus.
Avec a(n)=120.(1/4)^n
si on fait n = 1 --> a(1) = 120 * (1/4)^1 = 120 * (1/4) = 30
Au lieu de 120.
-----
Il faut prendre garde au fait que certaines suites commencent en n = 0 et d'autres en n = 1 ...
Réfléchis-y
Ah oui!Ok c'est bon j'ai compris. Merci de ton explication ^^
Annuler
connectez vous