exercice 1
Une unité de longueur a été choisie.
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3, B' est le milieu de [AC] et D le point défini par la relation :
1. a) Démontrer que D est le barycentre du système : {(A,3); (B,-2); (C,3)}
b) En déduire que D appartient à la médiatrice du segment [AC].
2. Démontrer que
3. Calculer DA² et DB²
4. Déterminer l'ensemble (E) des points M vérifiant la relation : 3 MA² - 2 MB² + 3 MC² = 12
Vérifier que le centre de gravité G du triangle ABC appartient à (E).
exercice 2
On considère dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.
Soit I le milieu de [BC].
1. Montrer que AI =
cm.
2. a) Soit M un point du plan.
Pour quelle valeur du réel
m le vecteur
est-il égal à un vecteur
indépendant du point M ?
Déterminer alors
en fonction du vecteur
.
b) Déterminer et construire l'ensemble
des points M du plan tels que : -MA² + MB² + MC² = -25.
exercice 3
Écrire une équation cartésienne du plan
, sachant que le projeté orthogonal de l'origine sur
est le point A(1; 5; 7).
exercice 4
Écrire une équation de la sphère de centre I(3; 1; -4), passant par le point A(4; 2; 1).
exercice 5
Vérifier que A(4; -1; 2) est un point de la sphère
; écrire une équation du plan tangent en A à
.
.
exercice 6
Calculer la distance
d du point A à la droite
sachant que :
la droite
a pour équation
;
et le point A a pour coordonnées (-1; 3).
exercice 7
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal
, on considère les points A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) et D(0; -1; 0).
1. Vérifier que le triangle ABC est équilatéral.
2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles orthogonales ?
3. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AD].
Calculer
. En déduire une mesure en degrés de l'angle
.
4. On appelle H le projeté orthogonal de J sur la droite (CI).
Calculer les coordonnées de H.
Quel rôle joue le point H sur le triangle ABC ?
exercice 8
ABCD est un tétraèdre, tel que AB = CD = a. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de [AD], [BC], [AC] et [BD].
1. Montrer que
et que
.
2. Montrer que (IJ) et (KL) sont sécantes et orthogonales.
3. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Calculer la longueur de ses côtés en fonction de a.
4. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que IKJL soit un carré.
exercice 9
Soit
et
.
Calculer
; qu'en déduit-on pour
et
?
Vérifier ce résultat par un autre calcul.
exercice 10
Soient A, B, C, D quatre points quelconques du plan.
Démontrer que (AB² + CD²) - (AD² + CB²) = 2
à l'aide de relations de Chasles judicieusement choisies dans le premier membre.
exercice 11
1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l'égalité :
.
2. Application : montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Indication : On appelle H le point d'intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur.
exercice 1
1. a) Le point D est défini par la relation suivante :
donc :
D'où :
D est le barycentre du système {(A,3); (B,-2); (C,3)}
1. b) On sait que :
D est le barycentre du système (A, 3) (B, -2) (C, 3),
B' est le milieu du segment [AC], donc B' est le barycentre de (A, 3) (C, 3).
D'après le théorème d'associativité du barycentre, D est le barycentre de (B', 6) (B, -2).
D appartient donc à la droite (BB'), médiatrice du segment [AC] (car ABC est un triangle équilatéral).
2. On sait que D est le barycentre de (B', 6) (B, -2). Donc :
3.
Comme
, alors :
4.
L'ensemble des points M est le cercle de centre D et de rayon
Vérifions que le centre de gravité G du triangle ABC appartient à l'ensemble (E) :
Comme ABC est un triangle équilatéral, alors GA = GB = GC, donc :
G appartient à l'ensemble (E).
exercice 2
1. Montrons que AI = :
Première méthode :
D'après le théorème de la médiane, on a :
Donc :
D'où : AI =
cm.
Deuxième méthode :
Remarquons d'abord que (AI) est la médiane du triangle ABC issue de A.
Identité du parrallélogramme :
Pour tous vecteurs
et
du plan, on a :
En prenant
et
, on a :
et
.
L'identité du parrallèlogramme devient alors :
L'application numérique donne :
D'où : AI =
cm.
2. a) Pour quelle valeur du réel m le vecteur est-il égal à un vecteur indépendant du point M ?
Donc
est indépendant du point M si et seulement si
m = -2.
On obtient alors :
.
2. b) Déterminons l'ensemble des points M du plan tels que -MA² + MB² + MC² = -25 :
Transformons -MA² + MB² + MC² afin de faire apparaître le point I.
Or, on remarque que -25 = -33 + 2^2 + 2^2 = -IA² + IB² + IC², donc :
Soit J le point du plan tel que
On a donc que
.
est donc le cercle de diamètre [IJ].
exercice 3
Ecrivons une équation cartésienne du plan , sachant que le projeté orthogonal de l'origine sur est le point A(1; 5; 7) :
Le vecteur
est un vecteur normal au plan
, c'est-à-dire que pour tout point M(x; y; z) du plan
,
M appartient au plan
.
D'où l'équation du plan
.
exercice 4
Ecrivons une équation de la sphère de centre I(3; 1; -4), passant par le point A(4; 2; 1) :
Calculons le rayon de la sphère : R² = AI² = (3 - 4)² + (1 - 2)² + (-4 - 1)² = 27.
On en déduit l'équation de la sphère : (
x - 3)² + (y - 1)² + (z + 4)² = 27.
exercice 5
Vérifions que A(4; -1; 2) est un point de la sphère :
Transformons l'équation de
:
Regardons si les coordonnées de A vérifient l'équation de
:
(4 - 3)² + (-1 + 1)² + (2 + 2)² = 1² + 0² + 4² = 17.
Donc le point A appartient à la sphère
.
Ecrivons une équation du plan tangent en A à :
Appelons ce plan
.
Le centre de la sphère est le point I(3; -1; -2).
est donc un vecteur normal au plan
.
M (x ;y ;z) appartient à
D'où l'équation du plan
.
exercice 6
Calculons la distance d du point A à la droite :
Distance d'un point à une droite dans le plan :
On considère la droite
: a
x + by + c = 0, avec
et
.
M(
xM; y
M; z
M) est un point du plan.
La distance
vaut ainsi :
En appliquant la formule, il vient :
D'où,
Remarque : Quand on a oublié la formule, on la redémontre...
Soit H(
xH; y
H) le projeté orthogonal de A sur
.
On note
la perpendiculaire à la droite
passant par A.
est un vecteur directeur de
(car c'est un vecteur normal de
)
Soit B(
xB; y
B) un point de
D'autre part, avec l'autre formule du produit scalaire,
On en déduit que :
exercice 7
1. Vérifions que le triangle ABC est équilatéral :
On a facilement que
donc le triangle ABC est équilatéral.
2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles orthogonales ?
On a :
Donc les droites (AD) et (BC) ne sont pas orthogonales.
3. Calculons :
On a
et
, donc :
Déduisons-en une mesure de l'angle :
.
Or,
, donc ;
.
Avec la calculatrice, on obtient :
.
4. Calculons les coordonnées du point H :
Le point H est l'intersection de la droite (CI) et du plan
normal à la droite (CI) passant par I. On choisit pour vecteur normal de
le vecteur
qui a pour coordonnées (1; 1; -2).
L'équation de
est donc de la forme :
.
Pour trouver
, on dit que :
.
D'où,
.
D'autre part,
,
.
On injecte l'équation de (CI) dans l'équation de
et on trouve :
.
On en déduit,
.
Quel rôle joue le point H sur le triangle ABC ?
On remarque que
, donc H = G, centre de gravité du triangle ABC.
exercice 8
1. Montrons que et que :
De même,
2. Montrons que (IJ) et (KL) sont sécantes et orthogonales :
.
Donc (IJ) et (KL) sont orthogonales.
On note
le plan engendré par les vecteurs
passant par I.
Ainsi M appartient au plan
Il existe deux réels
tels que
.
Or,
, donc
.
, donc
.
, donc
.
Donc, les points I, J, K et L sont coplanaires. De plus,
sont non colinéaires, donc les droites (IJ) et (KL) sont sécantes.
3. Déterminons la nature du quadrilatère IKJL :
Les diagonales (IJ) et (KL) de ce quadrilatère sont orthogonales, donc IKJL est un losange de côté
.
4. Trouvons une condition nécessaire et suffisante pour que IKJL soit un carré :
IKJL est un carré
sont orthogonaux.
exercice 9
Calculons :
Vérifions ce résultat par un autre calcul :
Donc
.
D'où :
.
exercice 10
Démontrons que :
exercice 11
1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l'égalité :
.
2. Application : montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Indication : On appelle H le point d'intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur.
1. Montrons, pour tout point M du plan, l'égalité : :
.
2. Montrons que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes :
Soit H le point d'intersection de la hauteur issue de A et de celle issue de B. Montrons que H appartient à la hauteur issue de C.
Pour cela, on doit montrer que
.
.
D'où : le point H appartient à la hauteur issue de C. Les trois hauteurs d'un triangle sont donc concourantes.