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L'île des Mathématiques

Le produit scalaire

 Exercice 1

Une unité de longueur a été choisie.
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3, B' est le milieu de [AC] et D le point défini par la relation :
1. a) Démontrer que D est le barycentre du système : {(A,3); (B,-2); (C,3)}
    b) En déduire que D appartient à la médiatrice du segment [AC].
2. Démontrer que
3. Calculer DA² et DB²
4. Déterminer l'ensemble (E) des points M vérifiant la relation : 3 MA² - 2 MB² + 3 MC² = 12
Vérifier que le centre de gravité G du triangle ABC appartient à (E).

 Exercice 2

On considère dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.
Soit I le milieu de [BC].
1. Montrer que AI = cm.
2. a) Soit M un point du plan.
Pour quelle valeur du réel m le vecteur est-il égal à un vecteur indépendant du point M ?
Déterminer alors en fonction du vecteur .
b) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que : -MA² + MB² + MC² = -25.

 Exercice 3

Ecrire une équation cartésienne du plan , sachant que le projeté orthogonal de l'origine sur est le point A(1; 5; 7).

 Exercice 4

Ecrire une équation de la sphère de centre I(3; 1; -4), passant par le point A(4; 2; 1).

 Exercice 5

Vérifier que A(4; -1; 2) est un point de la sphère ; écrire une équation du plan tangent en A à .
: x² + y² + z² - 6x + 2y + 4z - 3 = 0.

 Exercice 6

Calculer la distance d du point A à la droite sachant que :
la droite a pour équation -x + 4y -2 = 0;
et le point A a pour coordonnées (-1; 3).

 Exercice 7

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on considère les points A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) et D(0; -1; 0).
1. Vérifier que le triangle ABC est équilatéral.
2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles orthogonales ?
3. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AD].
Calculer . En déduire une mesure en degrés de l'angle .
4. On appelle H le projeté orthogonal de J sur la droite (CI).
Calculer les coordonnées de H.
Quel rôle joue le point H sur le triangle ABC ?

 Exercice 8

ABCD est un tétraèdre, tel que AB = CD = a. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de [AD], [BC], [AC] et [BD].
1. Montrer que et que .
2. Montrer que (IJ) et (KL) sont sécantes et orthogonales.
3. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Calculer la longueur de ses côtés en fonction de a.
4. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que IKJL soit un carré.

 Exercice 9

Soit    et    .
Calculer ; qu'en déduit-on pour et ?
Vérifier ce résultat par un autre calcul.

 Exercice 10

Soient A, B, C, D quatre points quelconques du plan.
Démontrer que (AB² + CD²) - (AD² + CB²) = 2 à l'aide de relations de Chasles judicieusement choisies dans le premier membre.

 Exercice 11

1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l'égalité : .
2. Application : montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Indication : On appelle H le point d'intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur.

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