Fiche de mathématiques

Le produit scalaire

exercice 1

Une unité de longueur a été choisie.
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3, B' est le milieu de [AC] et D le point défini par la relation : $4\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}$
1. a) Démontrer que D est le barycentre du système : {(A,3); (B,-2); (C,3)}
b) En déduire que D appartient à la médiatrice du segment [AC].

2. Démontrer que $\overrightarrow{BD} = \dfrac{3}{2} \overrightarrow{BB'}$

3. Calculer DA² et DB²

4. Déterminer l'ensemble (E) des points M vérifiant la relation : 3 MA² - 2 MB² + 3 MC² = 12
Vérifier que le centre de gravité G du triangle ABC appartient à (E).

exercice 2

On considère dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.
Soit I le milieu de [BC].

1. Montrer que AI = $\sqrt{33}$ cm.

2. a) Soit M un point du plan.
Pour quelle valeur du réel m le vecteur $m\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ est-il égal à un vecteur $\vec{u}$ indépendant du point M ?
Déterminer alors $\vec{u}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AI}$ .
b) Déterminer et construire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points M du plan tels que : -MA² + MB² + MC² = -25.

exercice 3

Ecrire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ , sachant que le projeté orthogonal de l'origine sur $\mathcal{P}$ est le point A(1; 5; 7).

exercice 4

Ecrire une équation de la sphère de centre I(3; 1; -4), passant par le point A(4; 2; 1).

exercice 5

Vérifier que A(4; -1; 2) est un point de la sphère $\mathcal{S}$ ; écrire une équation du plan tangent en A à $\mathcal{S}$ .
$\mathcal{S} \, : \, x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y + 4z - 3 = 0$ .

exercice 6

Calculer la distance d du point A à la droite $\mathcal{D}$ sachant que :
la droite $\mathcal{D}$ a pour équation $-x + 4y -2 = 0$ ;
et le point A a pour coordonnées (-1; 3).

exercice 7

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O}; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$ , on considère les points A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) et D(0; -1; 0).

1. Vérifier que le triangle ABC est équilatéral.

2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles orthogonales ?

3. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AD].
Calculer $\overrightarrow{\text{CI}} \cdot \overrightarrow{\text{CJ}}$ . En déduire une mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ICJ}}$ .

4. On appelle H le projeté orthogonal de J sur la droite (CI).
Calculer les coordonnées de H.
Quel rôle joue le point H sur le triangle ABC ?

exercice 8

ABCD est un tétraèdre, tel que AB = CD = a. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de [AD], [BC], [AC] et [BD].
1. Montrer que $\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} = 2\overrightarrow{\text{IJ}}$ et que $\overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{DC}} = 2 \overrightarrow{\text{KL}}$ .
2. Montrer que (IJ) et (KL) sont sécantes et orthogonales.
3. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Calculer la longueur de ses côtés en fonction de a.
4. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que IKJL soit un carré.

exercice 9

Soit $\vec{u}\left(\sqrt{2} - 1; 1; \sqrt{2} + 1\right)$ et $\vec{v}\left(1; \sqrt{2} + 1; -4 + 2\sqrt{2}\right)$ .
Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ; qu'en déduit-on pour $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
Vérifier ce résultat par un autre calcul.

exercice 10

Soient A, B, C, D quatre points quelconques du plan.
Démontrer que (AB² + CD²) - (AD² + CB²) = 2 $\overrightarrow{\text{DB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}$ à l'aide de relations de Chasles judicieusement choisies dans le premier membre.

exercice 11

1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l'égalité : $\overrightarrow{\text{MA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} + \overrightarrow{\text{MB}} \cdot \overrightarrow{\text{CA}} + \overrightarrow{\text{MC}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$ .
2. Application : montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Indication : On appelle H le point d'intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la troisième hauteur.

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