Fiche de mathématiques
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Les probabilités

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La maîtrise du cours sur les Probabilités est importante pour résoudre ces exercices

exercice 1

Relever la (ou les) réponse(s) exacte(s).

I.

On lance 200 fois un dé pipé. Le tableau ci-dessous donne le nombre d'apparitions de chaque numéro. On admet la stabilité des résultats si on procède à d'autres jets.
1 2 3 4 5 6
30 40 36 28 35 31


1. Le pourcentage d'apparition d'un numéro pair est :
   a) 50 %
   b) 49,5 %
   c) 50,5 %

2. Le pourcentage d'apparition d'un numéro impair est :
   a) 50 %
   b) 49,5 %
   c) 50,5 %

3. Le pourcentage d'apparition d'un numéro supérieur ou égal à 4 est :
   a) 41 %
   b) 50 %
   c) 47 %

4. Le numéro qui apparaît le plus souvent est :
   a) pair
   b) 6
   c) 2

II.

Dans une population de lycéens, 30 % font du sport hors du lycée. Parmi les sportifs, 15 % font du volley, 20 % de la natation, et 5 % font à la fois du volley et de la natation. Alors, le pourcentage de lycéens faisant :

5. du volley hors du lycée est :
   a) 4,5 %
   b) 50 %
   c) 15 %

6. aucun sport hors du lycée est :
   a) 70 %
   b) 65 %
   c) 30 %

7. un sport mais ni volley, ni natation est :
   a) 65 %
   b) 21 %
   c) 19,5 %

8. du volley, mais pas de natation est :
   a) 3 %
   b) 10 %
   c) 4,5 %

III.

On s'intéresse aux variations de prix d'un produit donné.

9. Deux augmentations successives de 10 % donnent une augmentation de :
   a) 20 %
   b) 12,1 %
   c) 21 %

10. Une augmentation de 10 % puis une baisse de 10 % donnent :
   a) un prix inchangé
   b) une augmentation de 1 %
   c) une baisse de 1 %




exercice 2

La COVECO est une coopérative de vente par correspondance. Chaque sociétaire est muni d'un indicatif. De plus, pour commander par le réseau Minitel, il doit posséder un code secret personnel.

1.L'indicatif de sociétaire est formé d'un numéro de six chiffres suivi d'une lettre, répondant aux conditions suivantes :
il peut y avoir répétition des chiffres,
le premier chiffre à gauche ne peut être zéro,
la lettre ne peut être O.
Il y a autant d'indicatifs que de sociétaires. Combien peut-il y avoir de sociétaires ?

2. Le code secret est composé de quatre lettres prises parmi les vingt-six de l'alphabet (donc O est, cette fois, utilisable), avec répétition possible.
Est-ce que tout sociétaire peut posséder un code secret ? (Justifier la réponse).




exercice 3

On utilise un dé pipé, à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Lorsqu'on le lance :
les faces portant un chiffre pair ont la même probabilité d'apparition,
les faces portant un chiffre impair ont la même probabilité d'apparition,
la probabilité d'apparition d'un chiffre impair est le double de la probabilité d'apparition d'un chiffre pair.

1. Calculer la probabilité de voir apparaître chaque face ;

2. Calculer la probabilité de voir apparaître un chiffre pair, un chiffre impair.




exercice 4

Le sang humain est classé en 4 groupes distincts : A, B , AB et O. Indépendamment du groupe, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d'un individu possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif (Rh+), sinon il est dit de Rhésus négatif (Rh-).
Sur une population P les groupes sanguins se répartissent d'après le tableau suivant :
A B AB O
40% 10% 5% 45%


Pour chaque groupe, la population d'individus possédant ou non le facteur Rhésus se répartit d'après le tableau suivant :
Groupe A B AB O
Rh+ 82% 81% 83% 80%
Rh- 18% 19% 17% 20%


Un individu ayant un sang de groupe O et Rhésus négatif est appelé un donneur universel.

1. Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard dans la population P ait un sang du groupe O ?

2. Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard dans la population P soit un donneur universel ?

3. Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard dans la population P ait un sang de Rhésus négatif ?




exercice 5

Dans un sac, il y a des grosses boules et des petites; ces boules sont blanches ou noires. On sait qu'il y a 5 grosses et 4 petites parmi lesquelles 6 sont blanches et 3 noires.

1. Sachant qu'il y a trois boules à la fois blanches et grosses, déterminer le nombre de boules " petites et noires ", " grosses et noires ", " petites et blanches ". (On pourra utiliser un tableau à double entrée).

2. On tire une boule au hasard, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée; quelles sont les probabilités pour qu'elle soit:
blanche et petite ?
blanche ?
petite ?
blanche ou petite ?




exercice 6

Deux grossistes produisent des bulbes de tulipes:
le premier, des bulbes à fleurs rouges dont 90 % donnent une fleur,
le second, des bulbes à fleurs jaunes dont 80 % donnent une fleur.
Un horticulteur achète 70 % des bulbes qu'il cultive au premier grossiste et le reste au second. Un bulbe donne au plus une fleur. L'horticulteur plante un bulbe au hasard. Quelle est la probabilité :

1. d'obtenir une fleur rouge ?

2. d'obtenir une fleur jaune ?

3. de ne pas obtenir de fleur ?




exercice 7

Un appareil fabriqué en très grande série peut être défectueux à cause de deux défauts seulement désignés par A et B.
Dans un lot de 1 000 appareils prélevés, on a constaté que 100 appareils présentaient le défaut A (et peut-être aussi le défaut B), 80 appareils présentaient le défaut B (et peut-être aussi le défaut A) et 40 présentaient simultanément les défauts A et B.
Un client achète un des appareils produites. Calculer:

1. la probabilité pour qu'il ne présente aucun défaut.

2. la probabilité pour qu'il présente le défaut A seulement.

3. la probabilité pour qu'il présente le défaut B seulement.




exercice 8

Une enquête est faite auprès de la population étudiante d'un campus universitaire. On note F la population féminine, I l'ensemble des étudiants, garçons et filles, sachant jouer d'un instrument de musique.
L'enquête révèle que:
F représente 48 % de la population étudiante;
I représente 40 % de la population étudiante;
chez les étudiants du groupe I, 45 % sont des filles.
On interroge un étudiant au hasard. Quelle est la probabilité pour que ce soit :

1. un garçon ?

2. un étudiant du groupe I ?

3. une fille sachant jouer d'un instrument de musique ?

4. un garçon sachant jouer d'un instrument de musique ?




exercice 9

Un institut de sondage réalise une enquête sur les goûts des Français en matière de sport. Dix sports différents ont été retenus, quatre sports d'équipe (football, rugby, volley-ball, basket-ball), six sports individuels (tennis, golf, natation, escrime, patinage, équitation).
Lors de l'enquête, on demande à la personne interrogée de choisir cinq sports parmi les dix cités et de les classer par ordre de préférence, sans ex-aequo.
On suppose que toutes les réponses possibles sont équiprobables.

1. Dénombrer toutes les réponses possibles.

2. Quelle est la probabilité pour que le tennis soit cité en premier ?

3. Quelle est la probabilité pour que la réponse ne mentionne que des sports individuels ?

4. Quelle est la probabilité pour que les trois premiers sports cités soient des sports d'équipe, les deux derniers étant des sports individuels ?




exercice 10

Dans un club sportif, quinze garçons, dont Eric et Paul, jouent au football ; l'entraînement est fait de telle sorte que chaque garçon est capable d'occuper n'importe quel poste.
Pour former une équipe, on tire au sort onze joueurs parmi les quinze joueurs du club et on leur attribue au hasard un numéro de 1 à 11, chaque numéro correspondant à un poste.
Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants :

1. Eric occupe le poste de gardien de but ?

2. Paul est dans l'équipe ?

3. On sélectionne Eric et Paul ?

4. On sélectionne Eric ou Paul ?




exercice 11

Une représentation simplifiée des conditions météorologiques consiste à classer le temps en trois catégories : beau, variable et mauvais. Le tableau suivant fournit la probabilité pour avoir un temps donné le lendemain en fonction du temps du jour même.

1er jour \ 2ème jour beau variable mauvais
beau 0,6 0,3 0,1
variable 0,3 0,4 0,3
mauvais 0,1 0,3 0,6


Nous sommes vendredi et il fait beau.
Quelle est la probabilité pour qu'il fasse beau :

1. samedi et dimanche ?

2. dimanche ?

3. samedi ou dimanche ?




exercice 12

Dans un jeu de dominos, on rappelle que les dominos sont numérotés de 0 à 6. On tire un domino au hasard, les tirages étant équiprobables.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 ?

2. On additionne les nombres de points inscrits sur les dominos. Soit S le résultat obtenu. Quelles sont les différentes valeurs prises par S ? Pour chacune de ces valeurs n, calculer la probabilité pn pour que S soit égal à n.

3. Calculer p0 + p1 + ... + p12.



exercice 1

I.

1. réponse b) 49,5%
= 99/200

2. réponse c) 50,5%
= 100% - 49,5% ou 101/200

3. réponse c) 47%
= 94/200

4. réponses a) et c) pair et 2
car 2, qui apparaît 40 fois, est un chiffre pair

II.

5. réponse a) 4,5%
30% × 15% = 4,5%

6. réponse a) 70%
100% - 30% = 70%

7. réponse b) 21%
Celui-ci est assez difficile. On aurait facilement tendance à répondre 19,5%. Ceux qui ont répondu 19,5% se sont trompés en comptant le pourcentage de sportifs ne faisant ni du volley, ni de la natation : ils ont trouvé 65% au lieu des 70% qui étaient à trouver en utilisant la formule suivante :
p(V \cup N) = p(V) + p(N) - p(V \cap N)
p(V \cup N) = 15% + 20% - 5%
p(V \cup N) = 30%
On trouve les 70% en faisant 100% - 30%. Ensuite, il ne reste plus qu'à faire 70% × 30% = 21%
Ce qu'il ne fallait surtout pas faire était : p(V \cup N) = p(V) + p(N) = 15% + 20% = 35%

8. réponse a) 3%
[30% × (15 - 5)% = 30% × 10% = 3%.
Le (15 - 5)% s'explique par le fait que l'on veut le pourcentage de sportifs faisant du volley mais ne faisant pas de natation. Or il y a 15% de sportifs qui font du volley, mais parmi ces 15%, il y en a 5% qui font aussi de la natation et qu'il faut donc soustraire.

III.

9. réponse c) 21%
La première hausse de 10% amène le prix à 110% de ce qu'il était initialement. Ensuite, on fait la seconde hausse de 10%. Ce ne sont plus 10% du prix initial qui sont ajoutés, mis 10% du prix obtenu, soit 110% de l'initial.
Or : 10% × 110% = 11%. Ceci porte donc le prix à 110% + 11% = 121% de ce qu'il était initialement.
On voit donc bien que deux hausses successives de 10% équivalent à une seule de 21%.

10. réponse c) une baisse de 1%
La première hausse de 10% amène le prix à 110% de ce qu'il était initialement.
Mais 10% de 110% équivalent à 11%, donc lorsqu'on applique une baisse de 10% sur le nouveau prix, on obtient : 110% - 11% = 99% du prix initial.
Ainsi, une hausse de 10% suivie d'une baisse de 10% correspond à une seule baisse de 1%.




exercice 2

1. Le premier chiffre est différent de 0, ce qui nous donne 9 possibilités (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9),
les 5 chiffres suivants ont chacun 10 possibilités,
et enfin, pour la dernière lettre, celle-ci devant être différente de O, on a 25 possibilités. Ce qui nous donne :
9 × 105 × 25 = 225 × 105 = 22 500 000 sociétaires.

2. Le code est composé de 4 lettres prises parmi les 26 de l'alphabet. Ceci nous donne un total de nombres secrets différents égal à :
264 = 456 976 codes

Conclusion : Comme 456 976 < 22 500 000, alors tous les sociétaires ne peuvent pas posséder un code secret unique.




exercice 3

Soit p la probabilité d'apparition d'un chiffre pair donné et q la probabilité d'apparition d'un nombre ilpair donné.
Récapitulons les hypothèses de l'énoncé sous forme algébrique :
Selon l'énoncé, les faces portant un chiffre pair ont la même probabilité d'apparition, donc :
p({2}) = p({4}) = p({6}) = p
De même pour les faces portant un chiffre impair, on a :
p({1}) = p({3}) = p({5}) = q
On nous dit enfin que la probabilité d'apparition d'un chiffre impair est le double de la probabilité d'apparition d'un chiffre pair, donc :
q = 2p

1. Calculons la probabilité de voir apparaître chaque face. On sait que la somme des probabilités est égale à 1, donc :
p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) + p({5}) + p({6}) = 1
soit : 3p + 3q = 1
Or, q = 2p, donc : 3p + 6p = 1
p = 1/9

Conclusion : p({2}) = p({4}) = p({6}) = 1/9     et     p({1}) = p({3}) = p({5}) = 2 × 1/9 = 2/9.

2. Probabilité de voir apparaître un chiffre pair : p({2}) + p({4}) + p({6}) = 3 × 1/9 = 1/3
Probabilité de voir apparaître un chiffre impair : p({1}) + p({3}) + p({5}) = 3 × 2/9 = 2/3




exercice 4

On note :
N l'événement : " l'individu est de rhésus négatif "
O l'événement : " l'individu est du groupe sanguin O "
A l'événement : " l'individu est du groupe sanguin A "
B l'événement : " l'individu est du groupe sanguin B "
C l'événement : " l'individu est du groupe sanguin AB "

1. Cette probabilité est donnée par le premier tableau : p(O) = 45% = 45/100 = 9/20 = 0,45

2. Calculons la probabilité pour qu'un individu pris au hasard dans la population P soit "donneur universel", c'est-à-dire qu'il sera de groupe sanguin O et de rhésus négatif.
On vient de voir qu'un individu pris au hasard avait 45% de chance d'être d groupe sanguin O.
De plus le second tableau nous indique qu'un individu de groupe sanguin O a 20% de chance d'être de rhésus négatif. On a donc :
p(O \cap N) = 45% × 20% = 9/20 × 1/5 = 9/100 = 0,09
Conclusion : Un individu pris au hasard dans la population P a 9% de chance d'être un "donneur universel".

3. Calculons la probabilité pour qu'un individu pris au hasard dans la population P ait un sang de rhésus négatif.
Un individu pris au hasard dans la population P a 40% de chance d'être de groupe sanguin A, et si c'est le cas, il a alors 18% de chances d'être de rhésus négatif.
En raisonnant de même avec les groupes sanguins B, AB et O, on obtient :
p(N) = p(A \cap N) + p(B \cap N) + p(C \cap N) + p(O \cap N)
p(N) = 40% × 18% + 10% × 19% + 5% × 17% + 9%
p(N) = 18/250 + 19/1000 + 17/2000 + 9/100
p(N) = 379/2000
p(N) = 0,1895
Conclusion : Un individu pris au hasard dans la population P a une probabilité de 379/2000 d'être de rhésus négatif.




exercice 5

1. On nous dit qu'il y a 3 boules "blanches et grosses". Or, sachant par hypothèse qu'il y a en tout 6 boules blanches, on déduit facilement que les 3 boules blanches restantes sont petites.
Sachant également par hypothèse qu'il y a 5 boules grosses, on en déduit que les 2 boules grosses restantes sont noires, et, de même, sachant qu'il n'y a que 4 boules petites, on en déduit que la dernière d'entre elles est également noire.
Le tableau à double entrée à remplir était le suivant (en rouge, l'hypothèse donnée dans la questions : " il y a trois boules à la fois blanches et grosses ") :
  grosses petites
blanches 3 3
noires 2 1
Conclusion : Il y a 1 boule "petite et noire", 2 boules "grosses et noires" et 3 boules "petites et blanches" (ainsi, évidemment, que 3 boules "grosses et blanches").

2. On note ainsi les événements suivants :
B : "on obtient une boule blanche"
N : "on obtient une boule noire"
P : "on obtient une boule petite"
G : "on obtient une boule grosse"

Ici, on tire une boule au hasard, chacune de ces boules ayant la même probabilité d'être tirée. On se retrouve donc en situation d'équiprobabilité. On nous demande de calculer :
la probabilité que la boule tirée soit petite et blanche : il y a 9 boules parmi lesquelles 3 sont " petites et blanches ", on a donc :
p(B \cap P) = 3/9 = 1/3


la probabilité que la boule tirée soit blanche : il y a 9 boules parmi lesquelles 6 sont " blanches ", on a donc :
p(B) = 6/9 = 2/3


la probabilité que la boule tirée soit petite : il y a 9 boules parmi lesquelles 4 sont " petites ", on a donc :
p(P) = 4/9


la probabilité que la boule tirée soit blanche ou petite : ici, il va falloir utiliser la formule suivante :
p(B \cup P) = p(B) + p(P) - p(B \cap P)
p(B \cup P) = 2/3 + 4/9 - 1/3
p(B \cup P) = 7/9

remarque : Les seules données du tableau permettaient de répondre à ces questions beaucoup plus rapidement.




exercice 6

Considérons les événements suivants :
J : "le bulbe à fleur jaune donne bien une fleur"
\overline{\text{J}} : "le bulbe à fleur jaune ne donne pas de fleur"
R : "le bulbe à fleur rouge donne bien une fleur"
\overline{\text{R}} : "le bulbe à fleur rouge ne donne pas de fleur"

On a par hypothèse :
p(J) = 8/10 = 4/5     et     p(R) = 9/10
On en déduit que : p(\overline{\text{J}}) = 1/5     et     p(\overline{\text{R}}) = 1/10

Considérons ensuite les événement suivants :
A : "le bulbe choisi provient du premier grossiste"
B : "le bulbe choisi provient du second grossiste"
On a par hypothèse : p(A) = 70% = 7/10     et     p(B) = 30% = 3/10

L'horticulteur plante un bulbe au hasard : nous sommes en situation d'équiprobabilité.

1. Calculons la probabilité d'obtenir une fleur rouge. Pour cela, il faut tout d'abord que l'horticulteur ait choisi un bulbe du premier grossiste et ensuite, il faut que ce bulbe rouge donne une fleur :
p(A \cap R) = p(A) × p(R) = 7/10 × 9/10 = 63/100 = 0,63

2. Calculons la probabilité d'obtenir une fleur jaune. Pour cela, il faut tout d'abord que l'horticulteur ait choisi un bulbe du second grossiste et ensuite, il faut que ce bulbe jaune donne une fleur :
p(B \cap J) = p(B) × p(J) = 3/10 × 4/5 = 12/50 = 6/25 = 0,24

3. Calculons la probabilité de l'événement T : "ne pas obtenir de fleur".
Pour que T soit réalisé, il faut que le bulbe choisi soit du premier grossiste et que ce bulbe rouge ne donne pas fleur, ou que ce bulbe soit issu du second grossiste et que ce bulbe jaune ne donne pas fleur. Ceci nous donne :
p(T) = p(\text{A} \cap \overline{\text{R}}) + p(\text{B} \cap \overline{\text{J}})
p(T) = p(A) × p(\overline{\text{R}}) + p(B) × p(\overline{\text{J}})
p(T) = 7/10 × 1/10 + 3/10 × 1/5
p(T) = 7/100 + 3/50
p(T) = 13/100
p(T) = 0,13

Remarque : On aurait pu aussi calculer p(T) en utilisant l'événement contraire, ce qui aurait été beaucoup plus simple puisque l'on aurait utilisé des probabilités déjà connues dans le calcul.
L'événement contraire de T : "pas de fleur" est (A \cap R) \cup (B \cap J) : "on obtient une fleur rouge ou une fleur jaune".
On en déduit :
p(T) = 1 - p((A \cap R) \cup (B \cap J))
Les événements (A \cap R) et (B \cap J) étant incompatibles (on ne peut pas obtenir une fleur qui soit à la fois rouge et jaune), on a :
p((A \cap R) \cup (B \cap J)) = p(A \cap R) + p(B \cap J)
Donc :
p(T) = 1 - p((A \cap R) \cup (B \cap J))
p(T) = 1 - [p(A \cap R) + p(B \cap J)]
p(T) = 1 - (63/100 + 6/25)
p(T) = 1 - (87/100)
p(T) = 13/100
p(T) = 0,13




exercice 7

Considérons les événements suivants :
A : "l'appareil présente le défaut A"
B : "l'appareil présente le défaut B"

Par hypothèses, on a : p(A) = 100/1000 = 1/10, p(B) = 80/1000 = 2/25 et p(A \cap B) = 40/1000 = 1/25

1. Calculons la probabilité que l'appareil ne présente aucun défaut.
Pour cela, nous allons passer par l'événement contraire, c'est-à-dire "l'appareil présente le défaut A ou le défaut B" :
p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)
p(A \cup B) = 1/10 + 2/25 - 1/25
p(A \cup B) = 7/50

Les événements "l'appareil ne présente aucun défaut" et "l'appareil présente le défaut A ou le défaut B" sont contraires, donc on a :
p(\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}) = 1 - p(A \cup B)
p(\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}) = 1 - 7/50
p(\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}) = 43/50

2. Calculons la probabilité pour que l'appareil présente le défaut A seulement.
Pour cela, il suffit que l'appareil fasse partie de ceux qui présentent le défaut A mais qui ne présentent pas simultanément les deux défauts. On a donc :
p(A \cap \overline{\text{B}}) = p(A) - p(A \cap B)
p(A \cap \overline{\text{B}}) = 1/10 - 1/25
p(A \cap \overline{\text{B}}) = 3/50

3. Calculons la probabilité pour que l'appareil présente le défaut B seulement.
Pour cela, il suffit que l'appareil fasse partie de ceux qui présentent le défaut B mais qui ne présentent pas simultanément les deux défauts. On a donc :
p(B \cap \overline{\text{A}}) = p(B) - p(A \cap B)
p(B \cap \overline{\text{A}}) = 2/25 - 1/25
p(B \cap \overline{\text{A}}) = 1/25




exercice 8

Considérons les événements suivants :
F : "il s'agit d'une fille"
G : "il s'agit d'un garçon"
I : "la personne sait jouer un instrument de musique"

On a par hypothèses, dans l'ensemble des étudiants :
p(F) = 48% = 12/25
p(I) = 40% = 2/5
D'après l'énoncé, on a aussi, pour l'ensemble des élèves du groupe I : pI(F) = 45% = 9/20

On interroge un étudiant au hasard. On est donc en situation d'équiprobabilité.

1. Calculons la probabilité que cet étudiant soit un garçon.
Pour cela, utilisons l'événement contraire "il s'agit d'une fille". On a :
p(G) = 1 - p(F)
p(G) = 1 - 12/25
p(G) = 13/25

2. Calculons la probabilité qu'il s'agisse d'un étudiant du groupe I.
Cette probabilité est donnée par l'énoncé :
p(I) = 40% = 2/5

3. Calculons la probabilité qu'il s'agisse d'une fille jouant un instrument de musique.
Pour cela, il faut que la personne fasse partie du groupe I (la probabilité est de 2/5) et, ensuite si c'est le cas, qu'il s'agisse d'une fille (la probabilité est alors de 9/20) :
p(I \cap F) = p(I) × pI(F)
p(I \cap F) = 2/5 × 9/20
p(I \cap F) = 18/100
p(I \cap F) = 9/50

4. Calculons la probabilité qu'il s'agisse d'un garçon jouant un instrument de musique.
Pour cela, il faut que la personne fasse partie du groupe I (la probabilité est de 2/5) et, ensuite si c'est le cas, qu'il ne s'agisse pas d'une fille, mais d'un garçon (la probabilité est alors de 1 - 9/20) :
p(I \cap G) = p(I) × pI(\bar{\text{F}})
p(I \cap G) = 2/5 × (1 - 9/20)
p(I \cap G) = 2/5 × 11/20
p(I \cap G) = 22/100
p(I \cap G) = 11/50




exercice 9

1. Dénombrons le nombre de réponses possibles. Il y a 10 sports.
La personne interrogée a donc 10 possibilités pour choisir le sport préféré, mais une fois ce choix effectué elle n'aura plus que 9 possibilités pour le second sport préféré, puis 8 pour le troisième sport préféré, ensuite 7 pour le quatrième sport préféré, et enfin 6 pour le cinquième sport préféré. Ceci nous donne :
10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30 240
Conclusion : Il y a 30 240 réponses possibles équiprobables (d'après l'énoncé).

2. Calculons la probabilité que le tennis soit cité en premier.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité, donc chacun des 10 sports à la même probabilité d'être cité en premier.
On en déduit que le tennis a une probabilité égale à 1/10 d'être cité en premier.

3. Calculons la probabilité de l'événement I : "la réponse ne mentionne que des sports individuels.
Il y a 6 sports individuels, donc pour que la personne interrogée fournisse une réponse ne mentionnant que les sports individuels, elle a 6 possibilité pour le premier sport préféré, après, 5 pour le second sport préféré, puis 4 pour le troisième sport préféré, ensuite 3 pour le quatrième sport préféré et enfin 3 pour le cinquième sport préféré. Ceci nous donne :
6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 120 × 6 = 720

On a donc 720 réponses possibles ne mentionnant que des sports individuels sur un total de 30 240 réponses. Comme nous sommes en situation d'équiprobabilité, on peut appliquer la formule :
p(A) = (nombre de cas favorables à A)/(nombre de cas total). On a donc :
p(I) = 720 / 30 240
p(I) = 1/42

4. Calculons la probabilité de l'événement M : "les trois premiers sports cités sont d'équipes et les 2 derniers sont individuels".
On a 4 sports d'équipe et 6 sports individuels.
Il faut que les trois premiers sports cités soient d'équipe. On a donc 4 possibilité pour le premier sport préféré, 3 pour le second sport préféré et 2 pour le troisième sport préféré.
Il faut aussi que les 2 derniers sports soient individuels. On a donc 6 possibilités pour le quatrième sport préféré et 5 pour le cinquième sport préféré.
Ceci nous donne :
4 × 3 × 2 × 6 × 5 = 720

On a donc 720 réponses possibles sur un total de 30 240.
D'où : p(M) = 1/42




exercice 10

Pour former une équipe, on tire au sort onze joueurs parmi les quinze joueurs du club et on leur attribue au hasard un numéro de 1 à 11, chaque numéro correspondant à un poste.
On est en situation d'équiprobabilité.

1. Calculons la probabilité de l'événement A : "Éric occupe le poste de gardien de but".
Parmi les 15 joueurs, seul 1 occupera ce poste. Nous sommes en situation d'équiprobabilité, donc cette probabilité est la même pour chacun des 15 joueurs :
p(A) = 1/15


2. Calculons la probabilité de l'événement P : "Paul est dans l'équipe".
Parmi les 15 joueurs, 11 sont tirés au hasard pour être dans l'équipe. On a donc :
p(B) = 11/15


3. Calculons la probabilité de l'événement P \cap E : "Paul et Éric sont dans l'équipe".
Pour cela, il faut tout d'abord que l'un d'entre eux soit dans l'équipe (probabilité de 11/15), et ensuite que l'autre le soit aussi (probabilité qui devient alors de 10/14). On obtient :
p(P \cap E) = 11/15 × 10/14
p(P \cap E) = 11/21

4. Calculons la probabilité de l'événement P \cup E.
Pour cela on va utiliser la formule suivante :
p(P \cup E) = p(P) + p(E) - p(P \cap E)
p(P \cup E) = 11/15 + 11/15 - 11/21
p(P \cup E) = 99/105
p(P \cup E) = 33/35




exercice 11

Considérons les événements suivants :
B : "il fait beau"
V : "il fait variable"
M : "il fait mauvais"

Nous sommes vendredi et il fait beau.

1. Calculons la probabilité de l'événement S \cap D : "il fait beau Samedi et Dimanche".
Comme nous somme Vendredi et qu'il fait beau, la probabilité qu'il fasse également beau Samedi est égale à 6/10. De même, s'il fait beau Samedi, la probabilité qu'il fasse beau Dimanche sera égale à 6/10. On a donc :
p(S \cap D) = 6/10 × 6/10
p(S \cap D) = 3/5 × 3/5
p(S \cap D) = 9/25

2. Calculons la probabilité de l'événement D : "il fait beau Dimanche".
Il y a trois possibilités pour que l'événement D se réalise. Soit il fait beau Samedi et Dimanche (probabilité calculée précédemment), soit il fait variable Samedi (probabilité de 3/10) et il fait beau Dimanche (probabilité qui est alors de 3/10), soit il fait mauvais Samedi (probabilité de 1/10) et il fait beau Dimanche (probabilité qui est alors de 1/10). On a donc :
p(D) = 9/25 + 3/10 × 3/10 + 1/10 × 1/10
p(D) = 9/25 + 9/100 + 1/100
p(D) = 23/50

3. Calculons la probabilité qu'il fasse beau Samedi ou Dimanche. Pour cela, utilisons la formule suivante :
p(S \cup D) = p(S) + p(D) - p(S \cap D)
p(S \cup D) = 6/10 + 23/50 - 9/25
p(S \cup D) = 7/10




exercice 12

L'exercice parle d'un jeu de dominos. Il faut savoir qu'un jeu de domino est composé de 28 pièces et que :
sur 7 de ces pièces, se trouve au moins une fois le chiffre 6 (sur 1 des 7, il y est en double)
sur 7 de ces pièces, se trouve au moins une fois le chiffre 5 (sur 1 des 7, il y est en double)
sur 7 de ces pièces, se trouve au moins une fois le chiffre 4 (sur 1 des 7, il y est en double)
sur 7 de ces pièces, se trouve au moins une fois le chiffre 3 (sur 1 des 7, il y est en double)
sur 7 de ces pièces, se trouve au moins une fois le chiffre 2 (sur 1 des 7, il y est en double)
sur 7 de ces pièces, se trouve au moins une fois le chiffre 1 (sur 1 des 7, il y est en double)
sur 7 de ces pièces, se trouve au moins une fois le chiffre 0 (sur 1 des 7, il y est en double)

Ceci peut paraître difficile à comprendre pour ceux qui ne sont pas très familiarisés avec les dominos. Il faut penser que sur chaque domino, il y a deux chiffres inscrits, ce qui nous donne 2 × 28 = 56 chiffres inscrits (8 fois chaque chiffre).

Les tirages sont équiprobables.

1. Calculons la probabilité de l'événement A : "on obtient un 6". Nous avons vu qu'il y a 7 pièces parmi les 28 qui portent au moins une fois le chiffre 6 (une le porte en double, mais on doit la compter car la question ne précise pas " on obtient un seul 6 "). Les tirages étant équiprobables, on en déduit que :
p(A) = 7/28 = 1/4

2. Les différentes valeurs prises par S sont celles comprises entre 0 (= 0 + 0) et 12 (= 6 + 6), c'est-à-dire 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12.
Pour chacune de ces valeurs 'n', calculons la probabilité pn pour que S soit égal à n. On a un total de 28 dominos.
Pour p0, on a 1 seul domino qui convient : {0-0} donc p0 = 1/28
Pour p1, on a 1 seul domino qui convient : {1-0} donc p1 = 1/28
Pour p2, on a 2 dominos qui conviennent : {2-0} et {1-1} donc p2 = 2/28 = 1/14
Pour p3, on a 2 dominos qui conviennent : {3-0} et {2-1}donc p3 = 2/28 = 1/14
Pour p4, on a 3 dominos qui conviennent : {4-0}, {3-1} et {2-2} donc p4 = 3/28
Pour p5, on a 3 dominos qui conviennent : {5-0}, {4-1} et {3-2} donc p5 = 3/28
Pour p6, on a 4 dominos qui conviennent : {6-0}, {5-1}, {4-2} et {3-3} donc p6 = 4/28 = 1/7
Pour p7, on a 3 dominos qui conviennent : {6-1}, {5-2} et {4-3} donc p7 = 3/28
Pour p8, on a 3 dominos qui conviennent : {6-2}, {5-3} et {4-4} donc p8 = 3/28
Pour p9, on a 2 dominos qui conviennent : {6-3} et {5-4} donc p9 = 2/28 = 1/14
Pour p10, on a 2 dominos qui conviennent : {6-4} et {5-5} donc p10 = 2/28 = 1/14
Pour p11, on a 1 seul domino qui convient : {6-5} donc p11 = 1/28
Pour p12, on a 1 seul domino qui convient : {6-6} donc p12 = 1/28

3. On a :
p0 + p1 + p2 + p3 + p4 + p2 + p5 + p6 + p7 + p8 + p9 + p10 +p11+p12= 1
Ce résultat est cohérent (puisque nous savons que la somme des probabilités associées aux différentes éventualités d'une expérience aléatoire est toujours égale à 1), et on peut donc confirmer nos résultats de la question précédente.
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