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Fiche de mathématiques




Durée de l'épreuve : 2 h00       Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

exercice 1

Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante :

«Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte.»

1. Peut-il choisir de découper des plaques de 10 cm de côté ? Justifier votre réponse.

2. Peut-il choisir de découper des plaques de 11 cm de côté ? Justifier votre réponse.

3. On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles.
    a) Quelle sera la longueur du côté d'un carré ?
    b) Combien y aura-t-il de carrés par plaques ?




exercice 2

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation

La note de restaurant suivante est partiellement effacée.
Retrouvez les éléments manquants; en présentant les calculs effectués dans le tableau fourni en Annexe 1.
RESTAURANT «la Gavotte»
4 menus à 16,50 € l'unité......
1 bouteille d'eau minérale......
3 cafés à 1,20 € l'unité......
Sous total......
Service 5,5 % du sous total4,18 €
Total......


ANNEXE 1

RESTAURANT «la Gavotte» Calculs effectués
4 menus à 16,50 € l'unité..........................................
1 bouteille d'eau minérale..........................................
3 cafés à 1,20 € l'unité..........................................
Sous total..........................................
Service 5,5 % du sous total4,18 €....................................
Total..........................................





exercice 3

Dans un pot au couvercle rouge on a mis 6 bonbons à la fraise et 10 bonbons à la menthe.
Dans un pot au couvercle bleu on a mis 8 bonbons à la fraise et 14 bonbons à la menthe.
Les bonbons sont enveloppés de telle façon qu'on ne peut pas les différencier.
Antoine préfère les bonbons à la fraise.
Dans quel pot a-t-il le plus de chance de choisir un bonbon à la fraise ?
Justifier votre réponse.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Un jeune berger se trouve au bord d'un puits de forme cylindrique dont le diamètre vaut 75 cm : il aligne son regard avec le bord inférieur du puits et le fond du puits pour en estimer la profondeur.
Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est vertical.

1. En s'aidant du schéma ci-dessous (il n'est pas à l'échelle), donner les longueurs CB, FG, RB en mètres.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2012 - troisième : image 1

2. Calculer la profondeur BG du puits.

3. Le berger s'aperçoit que la hauteur d'eau dans le puits est 2,60 m.
Le jeune berger a besoin de 1 m3 d'eau pour abreuver tous ses moutons.
En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits ?




exercice 2

Voici la figure à main levée d'un quadrilatère :
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2012 - troisième : image 2

1. Reproduire en vraie grandeur ce quadrilatère .

2. Pourquoi peut-on affirmer que OELM est un losange ?

3. Marie soutient que OELM est un carré, mais Charlotte est sûre que ce n'est pas vrai.
Qui a raison ? Pourquoi ?


12 points

Problème

Rappel
On rappelle que l'aire d'un triangle se calcule par la formule :
\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2012 - troisième : image 3


Rémy dispose de 96 m de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney. Il cherche quelle forme donner à son enclos pour que celui-ci ait la plus grande surface possible.

Toutes les parties sont indépendantes


Partie 1

Sa première idée est de réaliser un rectangle avec les 96 m de grillage.
1. Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle sachant que :
   * la longueur est le double de la largeur.
   * son périmètre est 96 m.
2.Calculer l'aire de ce rectangle de 96 m de périmètre.

Partie 2

Sa deuxième idée est de réaliser un carré.
Calculer l'aire d'un carré de 96 m de périmètre.

Partie 3

Sa troisième idée est de réaliser un hexagone régulier.
Le schéma à main levée ci-dessous représente un hexagone régulier ABCDEF de 96 m de périmètre. Il est inscrit dans un cercle de centre 0 et de rayon 16 m. Le segment [OH] est une hauteur du triangle équilatéral OBA.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2012 - troisième : image 4

1. Calculer la longueur OH, exprimée en m.
En donner l'arrondi au centimètre près.

2. Utiliser ce résultat pour calculer l'aire du triangle OBA, exprimée en m2 et arrondi au 1/10.

3. En déduire l'arrondi à l'unité de l'aire d'un hexagone régulier de 96 m de périmètre.

Partie 4

Sa quatrième idée est de réaliser un octogone régulier de 96 m de périmètre.
La figure en annexe 2 représente le plan réalisé par Rémy.
Cet octogone est inscrit dans un cercle de centre I. Le segment [IK] est une hauteur du triangle isocèle IMN.

ANNEXE 2
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2012 - troisième : image 5


1. Vérifier que MN = 12 m dans la réalité.

2. En prenant pour échelle 1 cm pour 3 m, représenter dans le cadre en annexe 3 le triangle IMN, puis le point K. Laisser apparents tous les traits de construction.

ANNEXE 3
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2012 - troisième : image 6


3. Mesurer sur votre plan la longueur IK.
Combien de mètres cela représente-t-il dans la réalité ?

4. En déduire l'aire du triangle MIN, puis, à partir de cette valeur, calculer l'aire d'un octogone régulier de 96 m de périmètre.

Partie 5

Les recherches ont permis à Rémy de remarquer que l'aire d'un polygone régulier de 96 m de périmètre semble augmenter quand on augmente le nombre de ses côtés. Il imagine qu'un enclos circulaire aurait peut-être une surface encore plus grande.

1. Quel rayon faut-il prendre pour avoir un disque de périmètre 96 m ?

2. En déduire l'aire d'un disque ayant pour périmètre 96 m.



Activités numériques

exercice 1

1. \dfrac{88}{10} n'est pas un nombre entier, donc 10 n'est pas un diviseur de 88.
Il ne peut donc pas choisir de découper des plaques de 10 cm de côté.

2. \dfrac{110}{11} = 10 et \dfrac{88}{11} = 8, donc 11 est un diviseur commun à 110 et à 88.
Il peut donc choisir de découper des plaques de 11 cm de côté.

3. a) La longueur d'un côté d'un carré doit diviser la longueur et la largeur de la plaque. C'est donc un diviseur commun à 110 et à 88. De plus, il doit découper des carrés les plus grands possibles. La longueur d'un côté d'un carré est donc le PGCD de 110 et de 88.
Déterminons ce PGCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide. On a :
110 = 88 \times 1 + 22\\ 88 = 22 \times 4 + 0
Le dernier reste non nul est 22, donc : PGCD(110 ; 88) = 22.
La longueur du côté d'un carré est de 22 cm.

3. b) On a : 110 \div 22 = 5 et 88 \div 22 = 4
Il y aura donc 5 × 4, soit 20 carrés par plaque.




exercice 2


RESTAURANT «la Gavotte» Calculs effectués
4 menus à 16,50 € l'unité66 €4 × 16,50 = 66
1 bouteille d'eau minérale6,40 €76 - (66 + 3,60) = 6,40
3 cafés à 1,20 € l'unité3,60 €3 × 1,20 = 3,60
Sous total76 €\bold{4,18 \times \dfrac{100}{5,5} = 76}
Service 5,5 % du sous total4,18 €....................................
Total80,18 €76 + 4,18 = 80,18

Le service représente 5.5 % du sous-total. Si on appelle x le sous-total, on a donc :
x \times \dfrac{5,5}{100} = 4,18
Donc : x = 4,18 \times \dfrac{100}{5,5} = 76
Le sous-total est de 76 euros.




exercice 3

Dans le pot au couvercle rouge, il y a 6 bonbons à la fraise parmi 16 bonbons. La probabilité d'obtenir un bonbon à la fraise est donc de : \dfrac{6}{16} = 0,375.
Dans le pot au couvercle bleu, il y a 8 bonbons à la fraise parmi 22 bonbons. La probabilité d'obtenir un bonbon à la fraise est donc de : \dfrac{8}{22} \approx 0,364
Or 0,375 > 0,364, donc Antoine a le plus de chance de choisir un bonbon à la fraise dans le pot au couvercle rouge.

Activités géométriques

exercice 1

1. A l'aide du schéma, on a :
CB = 20 cm = 0,2 m (correspond à l'épaisseur du mur)
FG = 75 + 20 = 95 cm = 0,95 m (correspond au diamètre du puits plus l'épaisseur du mur)
RB = 1,80 - 1 = 0,80 m (correspond à la hauteur du regard moins la hauteur du rebord)

2. Calculons la profondeur BG du puits :
Les droites (CF) et (BG) sont sécantes en R, les droites (CB) et (FG) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{RC}{RF} = \dfrac{RB}{RG} = \dfrac{CB}{FG}
Donc : \dfrac{RC}{RF} = \dfrac{0,8}{RG} = \dfrac{0,2}{0,95}
De \dfrac{0,8}{RG} = \dfrac{0,2}{0,95}, on déduit RG = \dfrac{0,8 \times 0,95}{0,2} = 3,8 \text{ m}
Or, B appartient au segment [RG], donc : BG = RG - RB = 3,8 - 0,8 = 3.
La profondeur du puits est de 3 mètres.

3. Calculons le volume d'eau dans le puits (on utilise la formule permettant de déterminer le volume d'un cylindre) :
\pi \times R^2 \times h (où R désigne le rayon du puits et h la hauteur d'eau dans le puis)
= \pi \times \left( \dfrac{0,75}{2} \right)^2 \times 2,6 \approx 1,15 \text{ m}^3.
Le puits contient environ 1,15 m³ d'eau. Le jeune berger ayant besoin de 1 m³ d'eau trouvera assez d'eau dans ce puits.




exercice 2

1. Figure en vraie grandeur :
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2012 - troisième : image 7
2. D'après le codage de la figure, on voit que le quadrilatère OELM a ses quatre côtés de même longueur.
Or, un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange.
Donc on peut affirmer que le quadrilatère OELM est un losange.

3. Regardons si le triangle MEL est rectangle.
dans le triangle MEL , le côté le plus long est [ME].
On a : ME² = 5,6² = 31,36
et EL² + ML² = 4² + 4² = 32
Donc ME² \neq EL² + ML².
Si le triangle MEL était rectangle en L, on aurait d'après le théorème de Pythagore, ME² = ML² + ML². Or, ce n'est pas le cas, donc le triangle MEL n'est pas rectangle en L.
D'où : le quadrilatère OELM n'est pas un carré. Charlotte a donc raison.


Problème

Partie 1

1. Calculons la longueur et la largeur du rectangle :
Soit x la largeur du rectangle.
On veut que la longueur soit le double de la largeur, donc sa longueur est 2 x.
On veut que le périmètre du rectangle soit égal à 96 m, donc : 2(L + \ell) = 96, soit :
2(2 x + x) = 96 \\ 2 \times 3 x = 96 \\ 6 x = 96 \\ x = \dfrac{96}{6} = 16
D'où : le rectangle a pour largeur 16 m et pour longueur : 2 \times 16 = 32 \text{ m.}

2. Calculons l'aire de ce rectangle de 96 m de périmètre :
L \times \ell = 32 \times 16 = 512
L'aire du rectangle est de 512 m².

Partie 2

Soit c la longueur du côté du carré de périmètre 96 m. On a :
4 \times c = 96 \\ c = \dfrac{96}{4} \\ c = 24
Le côté du carré a pour longueur 24 m.
Déterminons l'aire de ce carré :
c^2 = 24^2 = 576
Le carré a pour aire 576 m².

Partie 3

1. Calculons la longueur OH :
AOB est un triangle équilatéral, donc (OH) est la hauteur issue de O et aussi la médiane issue de O. Donc H est le milieu de [AB] \left( HB = \dfrac{AB}{2} = 8 \text{ m}\right)
Dans le triangle OHB rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
OB² = OH² + HB²
16² = OH² + 8²
OH² = 16² - 8²
OH² = 256 - 64
OH² = 192
OH = \sqrt{192} = \sqrt{8^2 \times 3} = 8 \sqrt{3}
D'où : OH = 8 \sqrt{3} \text{ m} (valeur exacte)
OH \approx 13,86 \text{ m} (arrondi au centième près).

2. Aire du triangle OBA :
\mathcal{A}_{OBA} = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{AB \times OH}{2} \approx \dfrac{16 \times 13,86}{2} \approx 110,88
L'aire du triangle OBA est environ égale à 110,9 m² (valeur arrondie au dixième).

3. Arrondi à l'unité de l'aire d'un hexagone régulier de 96 m de périmètre :
\mathcal{A}  = 6 \times \mathcal{A}_{OBA} \approx 6 \times 110,9
L'aire d'un hexagone régulier de 96 m de périmètre est égale à environ 665,4 m².

Partie 4

1. PQRSTUMN est un octogone régulier. Donc ses huit côtés sont de la même longueur.
Or, cet octogone a pour périmètre 96 m, donc MN = \dfrac{96}{8} = 12, soit MN = 12 m dans la réalité.

2. PQRSTUMN est un octogone régulier, donc \widehat{NIM} = \dfrac{360}{8} = 45°
Le triangle IMN est isocèle en I, donc ses angles à la base (\widehat{INM} et \widehat{NMI}) sont de même mesure.
La somme des angles du triangle IMN est égale à 180°, donc :
\widehat{INM} = \widehat{NMI} = \dfrac{180 - 45}{2} = \dfrac{135}{2} = 67,5°

En prenant pour échelle 1 cm pour 3 m,MN = 4 cm sur la figure.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2012 - troisième : image 8

3. Sur notre dessin, la longueur IK est égale à 4,8 cm.
Dans la réalité, cela représente 4,8 × 3, soit 14,4 mètres.

4. Aire du triangle MIN :
\mathcal{A}_{MIN} = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{MN \times IK}{2} = \dfrac{12 \times 14,4}{2} = 86,4
L'aire du triangle MIN est de 86,4 m².
\mathcal{A}_{MNPQRSTU} = 8 \times \mathcal{A}_{MIN} = 8 \times 86,4 = 691,2
L'aire de l'octogone est de 691,2 m².

Partie 5

1. Soit R le rayon du cercle de périmètre 96 m. On a :
2 \pi R = 96 \\ r = \dfrac{96}{2 \pi} = \dfrac{48}{\pi} \approx 15,28
Pour avoir un disque de périmètre 96 m, il faut donc prendre un rayon d'environ 15,28 m.

2. Dans ce cas, l'aire du disque est égale à :
\pi \times R^2 = \pi \times \left( \dfrac{48}{\pi} \right)^2 = \dfrac{2304}{\pi} \approx 733,4
L'aire du disque est d'environ 733,4 m² (valeur arrondie au centième).






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