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Fiche de mathématiques




La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

On fera apparaître les étapes de chaque calcul.

1. Écrire A = \dfrac{\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{10}}{\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{5}} sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Calculer B = 5^3 - \left(2^4 + 7,5\right)^2.

3. Montrer que C = \left(3 - 4\sqrt{5}\right)\left(3 + 4\sqrt{5}\right) est un entier relatif.




exercice 2

1. Les nombres 1 540 et 693 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

2. Donner la fraction irréductible égale \dfrac{1540}{693}.
On fera apparaître la méthode utilisée.




exercice 3

Les notes de mathématiques obtenues par les 150 élèves d'un collège lors d'un brevet blanc sont réparties dans le tableau ci-dessous :
Note n 0 \small \leq n < 8 8 \small \leq n < 16 16 \small \leq n < 24 24 \small \leq n < 32 32 \small \leq n \small \leq 40
Nombre d'élèves 14 N 55 20 9

1. Calculer le nombre N.

2. Combien d'élèves ont obtenu moins de 24 ?

3. Quel est le pourcentage d'élèves ayant obtenu au moins 24 ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

1. Tracer un cercle de centre O et de diamètre AB = 11 cm.
Placer un point C sur le cercle tel que BC = 7 cm.

2. Montrer que ABC est un triangle rectangle en C.

3. Calculer la distance AC.

4. Déterminer la mesure arrondie au degré près de l'angle \widehat{\text{BAC}}.




exercice 2

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire.
ABC est un triangle tel AB = 6 cm, AC = 7,2 cm et BC = 10 cm. Les points R et E appartiennent à la droite (AB), le point T appartient à la droite (AC). Les droites (BC) et (RT) sont parallèles. On donne AR = 4,5 cm et BE = 2 cm.
sujet du brevet 2005 : image 1

1. Calculer AT, TR et AE.

2. Les droites (BT) et (EC) sont-elles parallèles ?


12 points

Problème

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. On considère les points A(3; 1), B(2; -2) et C(-6; 4).

Partie I

1. Placer les points A, B et C dans le repère.

2. On considère la fonction affine f : x fleche2 mx + p dont la représentation graphique est la droite (AB).
    a) Déterminer les images de 2 et de 3 par la fonction f.
    b) Déterminer les valeurs de m et p de la fonction f.

Partie II

1. Montrer que AC = 3\sqrt{10}.

2. On donne AB = \sqrt{10} et BC = 10.
Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}}.

4. Construire le point D image de C dans la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}}.
Déterminer graphiquement les coordonnées du point D.

5. Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.

6. On considère le cercle \mathcal{C} circonscrit au rectangle ABDC.
Déterminer les coordonnées de son centre puis construire \mathcal{C}.



Activités numériques

exercice 1

1. Écrivons A sous la forme d'une fraction irréductible :
\text{A} = \dfrac{\dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{10}}{\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{5}}\\ \text{A} = \dfrac{\dfrac{40}{30} + \dfrac{9}{30}}{\dfrac{25}{10} - \dfrac{4}{10}}\\ \text{A} = \dfrac{\dfrac{49}{30}}{\dfrac{21}{10}}\\ \text{A} = \dfrac{49}{30} \times \dfrac{10}{21}\\ \text{A} = \dfrac{7 \times 7 \times 10}{3 \times 10 \times 7 \times 3}\\ \text{A} = \dfrac{7}{9}

2. Calculons B :
\text{B} = 5^3 - \left(2^4 + 7,5\right)^2\\ \text{B} = 125 - \left(16 + 7,5\right)^2\\ \text{B} = 125 - \left(23,5\right)^2\\ \text{B} = 125 - 552,25\\ \text{B} = -427,25

3. Montrons que C est un entier relatif :
\text{C}= \left(3 - 4\sqrt{5}\right)\left(3 + 4\sqrt{5}\right)\\ \text{C} = 3^2 - \left(4\sqrt{5}\right)^2\\ \text{C} = 9 - 16 \times 5\\ \text{C} = 9 - 80\\ \text{C} = -71




exercice 2

1. Calculons le PGCD des nombres 1 540 et 693 :
* Par la méthode des soustractions successives :
PGCD(1 540; 693) = PGCD(847; 693)
PGCD(847; 693) = PGCD(693; 154)
PGCD(693; 154) = PGCD(539; 154)
PGCD(539; 154) = PGCD(385; 154)
PGCD(385; 154) = PGCD(231; 154)
PGCD(231; 154) = PGCD(154; 77)
PGCD(154; 77) = PGCD(77; 77)
PGCD(77; 77) = 77

* En utilisant l'algorithme d'Euclide :
1 540 = 693 × 2 + 154
693 = 154 × 4 + 77
154 = 77 × 2 + 0
Donc : PGCD(1 540; 693) = 77

Comme PGCD(1 540; 693) = 77 \small \neq 1, alors les nombres 1 540 et 693 ne sont pas premiers entre eux.

2. Donnons la fraction irréductible égale à \dfrac{1540}{693} :
Comme PGCD(1 540; 693) = 77, alors : \dfrac{1540}{693} = \dfrac{77 \times 20}{77 \times 9} = \dfrac{20}{9}




exercice 3

1. Calcul du nombre N :
N = 150 - (14 + 55 + 20 + 9)
N = 150 - 98
N = 52

2. 14 + 52 + 55 = 121 élèves ont obtenu moins de 24.

3. Pourcentage d'élèves ayant obtenu au moins 24 :
\dfrac{\text{nombre d'eleves ayant eu au moins 24}}{\text{nombre total d'eleves}} \times 100 = \dfrac{29}{150} \times 100 \approx 19,3
Environ 19,3% des élèves ont obtenu au moins 24.


Activités géométriques

exercice 1

1.
sujet du brevet 2005 : image 2

2. Comme C est un point du cercle de diamètre [AB], alors le triangle ABC est rectangle en C.

3. Calculons la distance AC :
Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore :
AB² = AC² + BC²
11² = AC² + 7²
AC² = 121 - 49
AC² = 72
\text{AC} = \sqrt{72}\\ \text{AC} = \sqrt{36 \times 2}\\ \text{AC} = 6\sqrt{2} \text{ cm}

4. Mesure de l'angle \widehat{\text{BAC}} :
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a :
\sin \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{7}{11}
Donc : \widehat{\text{BAC}} \approx 40^o




exercice 2

1. Calculons AT et TR :
Les droites (AC) et (AB) sont sécantes en A.
T est un point de la droite (AC), R est un point de la droite (AB).
De plus, les droites (BC) et (RT) sont parallèles.
Alors, d'après le théorème de Thalès, \dfrac{\text{AT}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AR}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{TR}}{\text{BC}}
Donc : \dfrac{\text{AT}}{7,2} = \dfrac{4,5}{6} = \dfrac{\text{TR}}{10}
Donc : \text{AT} = \dfrac{7,2 \times 4,5}{6} = 5,4 cm et \text{TR} = \dfrac{10 \times 4,5}{6} = 7,5 cm

      Calculons AE :
Comme le point B appartient au segment [AE], alors :
AE = AB + BE
AE = 6 + 2
D'où : AE = 8 cm

2. (BT) et (EC) parallèles ?
On a : \dfrac{\text{AT}}{\text{AC}} = \dfrac{5,4}{7,2} = \dfrac{54}{72} = \dfrac{9 \times 3 \times 2}{9 \times 4 \times 2} = \dfrac34
Et \dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} = \dfrac68 = \dfrac34

Les droites (AC) et (AE) sont sécantes en A.
T est un point de la droite (AC), B est un point de la droite (AE).
Les points A, T, C d'une part et A, B, E d'autre part sont alignés dans le même ordre.
De plus, \dfrac{\text{AT}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AE}}
Alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BT) et (EC) sont parallèles.


Problème

Partie I

1.
sujet du brevet 2005 : image 3


2. a) Déterminons les images de 2 et de 3 par la fonction f :
Le point A(3; 1) appartient à la représentation graphique de la fonction affine f, donc : f(3) = 1.
L'image de 3 par la fonction f est 1.
De même, le point B(2; -2) appartient à la représentation graphique de la fonction affine f, donc : f(2) = -2.
L'image de 2 par la fonction f est -2.

2. b) Déterminons les valeurs de m et p de la fonction f :
On sait que f(2) = -2, donc 2m + p = -2.
Et on sait que f(3) = 1, donc 3m + p = 1.
On obtient alors le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2m + p  &  -2 \\ 3m + p  &  1 \\ \end{array} \right.
Résolvons ce système :
* soit par substitution :
D'après la première équation, on peut écrire p = -2 - 2m.
On remplace p par cette expression dans la deuxième équation :
3m + (-2 - 2m) = 1
3m - 2 - 2m = 1
m = 1 + 2
m = 3

En remplaçant cette valeur de m dans l'expression de p, on obtient :
p = -2 - 2 × 3 = -2 - 6 = - 8.

* soit par combinaison :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2m + p  &  -2 \\ 3m + p  &  1 \\ \end{array} \right.
On soustrait les deux équations membre à membre :
2m - 3m = -2 - 1
-m = -3
m = 3

On remplace m par 3 dans la première équation :
2 × 3 + p = -2
6 + p = -2
p = -2 - 6
p = -8

D'où : f(x) = 3x - 8

Partie II

1. Calculons AC :
AC² = (xC - xA)² + (yC - yA
AC² = (-6 - 3)² + (4 - 1)²
AC² = (-9)² + 3²
AC² = 81 + 9
AC² = 90
Donc : AC = \sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10}
D'où : AC = 3\sqrt{10} cm.

2. Montrons que le triangle ABC est rectangle en A :
BC² = 10² = 100
AC² + AB² = 90 + 10 = 100
Comme BC² = AC² + AB², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. Coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)\\ \overrightarrow{AB}(2 - 3; -2 - 1)\\ \overrightarrow{AB}(-1; -3)

4. cf graphique
Graphiquement, les coordonnées du point D sont (-7; 1).

5. ABDC rectangle ?
Comme le point D est l'image du point C dans la translation de vecteur \overrightarrow{AB} alors \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
Le quadrilatère ABDC est donc un parallélogramme.
De plus, le triangle ABC est rectangle en A, donc l'angle \widehat{BAC} est droit.
On en déduit que le quadrilatère ABDC est un rectangle.

6. Coordonnées du centre du cercle circonscrit au rectangle ABDC :
Le centre de ce cercle est le point d'intersection des diagonales du rectangle ABDC, c'est-à-dire le milieu du segment [BC]. Ce milieu a pour coordonnées :
\left(\dfrac{x_B + x_C}{2}; \dfrac{y_B + y_C}{2}\right)\\ \left(\dfrac{2 + (-6)}{2}; \dfrac{-2 + 4}{2}\right)\\ (-2; 1)
Les coordonnées du centre du cercle circonscrit au rectangle ABDC sont (-2; 1).






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