Le théorème des milieux

Pour les exercices 1 à 4, on considère un triangle ABC et on désigne par I,J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

Exercice 1

On suppose que ABC est rectangle en A.
1. Que peut-on dire des droites (IJ) et (AB) ? des droites (IJ) et (AC) ?
2. Préciser la nature du quadrilatère AJIK.

Exercice 2

Tracer un triangle ABC sachant que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm.
1. Prouver que la droite (BJ) coupe le segment [KI] en son milieu.
2. Calculer les périmètres du triangle IJK et des quadrilatères AKIJ, BKJI et CIKJ.

Exercice 3

On suppose que AB = 7 cm, AC = 8 cm et BC = 12 cm. On désigne par L et M les milieux respectifs de [KJ] et [KI].
1. Prouver que la droite (LM) est parallèle à la droite (AB).
2. Calculer le périmètre du triangle KLM.

Exercice 4

Soit M le milieu de [AK] et N celui de [KB].
1. Préciser la nature du quadrilatère MJIN.
2. Comment choisir le triangle ABC pour que MJIN soit un rectangle ? un losange ? un carré ?

Exercice 5

racer un triangle ABC, puis construire les points D, E, F, G, H et I, symétriques respectifs de A par rapport à C, de A par rapport à B, de C par rapport à B, de C par rapport à A, de B par rapport à A et de B par rapport à C.
Comparer les périmètres du triangle ABC et de l'hexagone DEFGHI.

Exercice 6

Les trois parallélogrammes

Dans la figure ci-contre, ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes de centres I et J.
1. Montrer que les droites (CE) et (DF) sont parallèles
(indication : on pourra utiliser la droite (IJ)).
2. En déduire la nature du quadrilatère DFEC.

Exercice 7

I et J sont les milieux de [BC] et de [CD]. La parallèle à (AB) passant par I et la parallèle à (AD) passant par J se coupent en P.
Montrer que P est le milieu de [AC].