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Fiche de mathématiques







I. Formules de Taylor

1. Formule de Taylor avec reste intégrale

Soit I un intervalle de \mathbb{R} \, , n \in \mathbb{R} et f : I \longrightarrow  \mathbb{R} une fonction de classe \mathfrak{C}^{n+1} sur I.
On a alors la formule suivante :
\forall (a \, , \, b) \in I^2  \: : \: f(b) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} + \displaystyle \int_a^b \frac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx
C'est la formule de Taylor avec reste intégrale d'ordre n.
Le terme \displaystyle \int_a^b \frac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx est dit le reste intégrale d'ordre n.

Remarque : Formule de "Taylor - Maclaurin"
En posant b = a+ h, la formule de Taylor avec reste intégrale s'écrit :
f(a+h) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{h^k}{k!} + \displaystyle \int_a^{a+h} \frac{(a+h-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx
Et en particulier, si a = 0 \text{ et } h = x, on obtient ce qu'on appelle la formule de Taylor-Maclaurin :
f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0) \frac{x^k}{k!} + \displaystyle \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt

Exemples : Pour a = 0 :
    * e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \displaystyle \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} e^t dt
    * \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + (-1)^{n+1} \displaystyle \int_0^n \frac{(x-t)^{2n+1}}{(2n+1)!} \sin(t) dt


2. Inégalité de Taylor - Lagrange

Soit I un intervalle de \mathbb{R} \, , \, n \in \mathbb{N} \text{ et } f  : I \longrightarrow  \mathbb{R} une fonction de classe \mathfrak{C}^{n+1} sur I, alors :
\forall (a \, , \, b) \in I^2 \: : \: \|f(b) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} \| \leq M \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!} avec : M = sup\|f^{(n+1)}(x)\| \, , \, x \in [a \, , \, b]
C'est l'inégalité de Taylor-Lagrange.


3. Formule de Taylor - Young

Soit I un intervalle de \mathbb{R} \, , \, n \in \mathbb{N} et f : I \longrightarrow \mathbb{R} une fonction n fois dérivable au point a.
Alors : \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \: \frac{1}{(x-a)^n}\left[f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k\right] = 0
Et on note : f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = o_{a}((x-a)^n)
C'est la formule de Taylor - Young.

Exemples :
    * \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)
    * \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}).


II. Développements limités

1. Généralités

Définition i) :
Soit I un intervalle de \mathbb{R} contenant 0, n \in \mathbb{N} et f : I \longrightarrow \mathbb{R}.
On dit que f admet un développement limité d'ordre n au point x_0 = 0 lorsqu'il existe (a_0, \cdots , a_n) \in \mathbb{R}^{n+1} tel que pour x \in I :
f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + x^n \epsilon(x)   avec   \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon (x) = 0
et on note : f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n)
Cette expression s'appelle le développement limité d'ordre n de f au point 0.

Définition ii) :
Soit I un intervalle contenant x_0 \in \mathbb{R} et f : I \rightarrow \mathbb{R} .


On dit que f admet un développement limité au point x_0 si la fonction g définie par : g(x) = f(x + x_0) admet un développement limité au point 0.
c'est-à-dire : f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k (x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)


Remarque :
Toute l'étude suivante concerne les développements limités au point 0 mais se généralise aisément d'après la définition ii) précédente aux développements limités au point x_0 \in I quelconque.

Vocabulaire :
Avec les hypothèses et les résultats de la définition i) :
      * La partie \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k est appelée la partie régulière du développement limité.
      * La partie f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k est appelée la partie complémentaire du developpement limité.

Notation :
L'ensemble des fonctions admettant un developpement limité à l'ordre n en un point x_0 est noté DL_n(x_0).
Proposition :

Si f \in DL_n(0) alors \forall p \leq n \: : \: f \in DL_p(0)
C'est-à-dire :
Si f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n) alors : \forall p \leq n \: : \: f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^p a_k x^k + o(x^p).




2. Opérations sur les developpements limités

* Linéarité :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0) respectivement de parties régulières A \, , \, B et \lambda \in \mathbb{R}
Alors f + \lambda g \in DL_n(0) de partie regulière A + \lambda B.

* Produit :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0) respectivement de parties régulières A \, , \, B.
Alors f \times g \in DL_n(0) de partie regulière obtenue à partir de A \times B en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à n (c'est-à-dire tronqué à l'ordre n).

* Composition :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0) avec f(0) = 0 respectivement de parties régulières A \, , \, B.
Alors g \circ f \in DL_n(0) dont la partie régulière est B \circ A tronqué à l'ordre n.

* Inverse :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f \in DL_n(0) tel que f(0) \not = 0.
Alors \frac{1}{f} \in DL_n(0).

* Primitive :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f : I \longrightarrow \mathbb{R} continue avec f \in DL_n(0) de partie régulière \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k.
Alors si F est une primitive de f alors F \in DL_{n+1}(0) avec :
F(x) = F(0) + \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k \frac{x^{k+1}}{k+1} + o(x^{n+1}).


3. Formule de quelque developpements limités usuels en 0

\bullet \displaystyle \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n) \\ \bullet \ln(1+x) = x - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n+1} \displaystyle \frac{x^n}{n} + o(x^n)
\bullet \ln(1-x) = -x - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots - \displaystyle \frac{x^n}{n}+o(x^n) \\ \bullet e^x = 1 + x + \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots + \displaystyle \frac{x^n}{n!} + o (x^n) \\ \bullet \sin(x) = x - \displaystyle \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o (x^{2n+1})
\bullet \cos(x) = 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o (x^{2n}) \\ \bullet \text{sh}(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{3!} + \cdots +  \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o (x^{2n+1}) \\ \bullet \text{ch}(x) = 1 + \displaystyle \frac{x^2}{2!} + \cdots +  \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o (x^{2n})
\bullet \displaystyle \frac{1}{1-x^2} = 1 +x^2+x^4 + \cdots  + x^{2n} + o(x^{2n}) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{1+x^2} = 1 -x^2+x^4 + \cdots  +(-1)^n x^{2n} + o(x^{2n}) \\ \bullet \text{Arctan}(x) = x - \displaystyle \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o (x^{2n+1})
\bullet (1+x)^a = 1+ax + \displaystyle \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \cdots + \frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \text{ avec } a \in \mathbb{R} \\ \bullet \sqrt{1+x} = 1  + \displaystyle \frac{x}{2} - \displaystyle \frac{x^2}{8} + \displaystyle \frac{x^3}{16} + o(x^3) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{3x^2}{8} - \displaystyle \frac{5x^3}{16} + o(x^3)
\bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{3x^4}{8} + o(x^4) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1 + \displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{3x^4}{8} + o(x^4)
\bullet \text{Arcsin}(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{6} + \displaystyle \frac{3x^5}{40}+ o(x^5) \\ \bullet \tan(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15} + o(x^5)




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