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ImprimerFormules de Taylor - Développements limités
I. Formules de Taylor
1. Formule de Taylor avec reste intégrale
SoitOn a alors la formule suivante :
C'est la formule de Taylor avec reste intégrale d'ordre
Le terme
Remarque : Formule de "Taylor - Maclaurin"
En posant
Et en particulier, si
Exemples : Pour
2. Inégalité de Taylor - Lagrange
SoitC'est l'inégalité de Taylor-Lagrange.
3. Formule de Taylor - Young
SoitAlors :
Et on note :
C'est la formule de Taylor - Young.
Exemples :
II. Développements limités
1. Généralités
Définition i) :
Soit
un intervalle de 
contenant 
, 
et 
.
On dit que
admet un développement limité d'ordre 
au point 
lorsqu'il existe  \in \mathbb{R}^{n+1})
tel que pour 
:
 = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + x^n \epsilon(x))
avec  = 0)
et on note : = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n))
Cette expression s'appelle le developpement limité d'ordre de au point .
Soit
On dit que
et on note :
Cette expression s'appelle le developpement limité d'ordre
Définition ii) :
Soit un intervalle contenant 
et 
.
On dit que admet un développement limité au point 
si la fonction 
définie par :  = f(x + x_0))
admet un développement limité au point .
c'est-à-dire : = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k (x - x_0)^k + o((x - x_0)^n))
Soit
On dit que
c'est-à-dire :
Remarque :
Toute l'étude suivante concerne les développements limités au point
Vocabulaire :
Avec les hypothèses et les résultats de la définition i) :
La partie La partie Notation :
L'ensemble des fonctions admettant un developpement limité à l'ordre
Proposition :
Si)
alors )
C'est-à-dire :
Si alors :  = \displaystyle \sum_{k=0}^p a_k x^k + o(x^p))
.
Si
C'est-à-dire :
Si
2. Opérations sur les developpements limités
Linéarité :
Soit
Alors
Produit :
Soit
Alors
Composition :
Soit
Alors
Inverse :
Soit
Alors
Primitive :
Soit
Alors si
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